2022年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：圓的綜合含答案

2022年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)專練:

圓的綜合

1.定義：當(dāng)點(diǎn)戶在射線》上時，把空的的值叫做點(diǎn)戶在射線。上的射影值；當(dāng)點(diǎn)夕

OA

不在射線）上時，把射線）上與點(diǎn)戶最近點(diǎn)的射影值，叫做點(diǎn)。在射線。上的射

影值.

例如：如圖1,三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，8。是以邊上的高，則點(diǎn)夕和點(diǎn)8在射

線以上的射影值均為當(dāng)=5.

OA3

②點(diǎn)8在射線以上的射影值等于1時，則是直角三角形；

③點(diǎn)8在射線以上的射影值大于1時，則△）8是鈍角三角形.

其中真命題有.

4①②8①③C.②③2①②③

（2）已知：點(diǎn)C是射線力上一點(diǎn)，勿="=1,以O(shè)為圓心，04為半徑畫圓，點(diǎn)8

是。。上任意點(diǎn).

①如圖2,若點(diǎn)8在射線以上的射影值為求證：直線8c是。。的切線；

②如圖3,已知〃為線段8c的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。在射線）上的射影值為點(diǎn)。在射線

08上的射影值為y,直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.

2.如圖所示，48是。0的直徑，點(diǎn)尸是半圓上的一動點(diǎn)（尸不與4,8重合），弦AO

1

平分N班門，過點(diǎn)、D作DEVAF交射線AF于點(diǎn)AF.

(1)求證：與。0相切：

(2)若〃'=8,48=10,求比長；

(3)若48=10,4尸長記為x,4長記為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出AF

3.如圖，在平面直南坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(0,4),點(diǎn)8是x軸正半軸上一點(diǎn)，連

接AB,過點(diǎn)A作AC1.AB,交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，連接BD,

以4?為直徑作。。交8D于點(diǎn)￡連接并延長力￡交x軸于點(diǎn)尸，連接〃尸.

(1)求線段的長；

(2)若AB-BO=2,求tanN〃f的值；

(3)若△際與△/用相似，求)的值.

4.如圖，在中，NO=90°,AD*■分ZBAC交BC于點(diǎn)D,0為48上一點(diǎn)，經(jīng)

2

過點(diǎn)4〃的圓0分別交48,4c于點(diǎn)￡F,連接寧：

(1)求證：8c是圓0的切線;

(2)求證：Al}=AF*AB-,

5.如圖，在△48C中，AB=AC,以48為直徑的。。交8。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作日」4c于點(diǎn)

E,交期延長線于點(diǎn)尸.

(1)判斷直線&與的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若。0半徑為5,CD=b,求處的長；

(3)求證：B?=4CE?AB.

6.已知△48C內(nèi)接于。0,N膽C的平分線交。0于點(diǎn)。，連接員?,DC.

(1)如圖①，當(dāng)4847=120°時，請直接寫出線段4氏AC,之間滿足的等量關(guān)系

式；

(2)如圖②，當(dāng)N84a90°時，試探究線段為昆AC,4。之間滿足的等量關(guān)系，并

3

證明你的結(jié)論;

(3)如圖③，若BC=m,BD=n,求一劃一的值(用含m,〃的式子表示).

AB+AC

圖①圖②圖③

7.已知：。。是△A8C的外接圓，4。為。。的直徑，ADVBC,垂足為￡,連接8。，延長

8。交4c于點(diǎn)F.

(1)如圖1,求證：/BFC=34CAD;

(2)如圖2,過點(diǎn)〃作〃G〃好交00于點(diǎn)G,點(diǎn)〃為國的中點(diǎn)，連接0”,求證：BE

=0H;

性叵，求線

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CG,若DG=DE,△40F的面積為

5

8.已知，。。中兩條弦47、BD交于裊E.

4

(1)如圖1,求證：EA*EC=EB?ED;

(2)如圖2,若點(diǎn)8是弧/4C中點(diǎn)，4。是。0直徑，4)=10,CD=b,

①求仇?的長；

②求SsE：

9.如圖①，在矩形48CZ?中，AB=b,仇=9,點(diǎn)￡是8C邊上一動點(diǎn)，連接作、DE,作

△M的外接。0,交4)于點(diǎn)尸，交/F于點(diǎn)G,連接尸G.

(1)求證

(2)當(dāng)維的長為時，△/&?為等腰三角形：

(3)如圖②，若能=1,求證：與。0相切.

10.如圖，在RtZ\48C中，/ACB=90°,40是仇?的角平分線.以0為圓心，OC為

半徑作。0.

(1)求證：48是。。的切線.

5

(2)已知40交。。于點(diǎn)￡延長4。交。。于點(diǎn)。，tanNZ7=J,求普的值.

NAL*

(3)在(2)的條件下，設(shè)。。的半徑為3,求48的長.

11.如圖，48是。。的直徑，弓玄CDLAB,E是"延長線上的一點(diǎn)，連接史交00于點(diǎn)

F,連接4月，CF.

(1)若面的度數(shù)是40°,求N4T的度數(shù)；

(2)求證：AF斗分■乙CFE-,

(3)若48=5,3=4,次經(jīng)過圓心，求您的長.

12.如圖，點(diǎn)C在以48為直徑的。0上，放平分N48C交。0于點(diǎn)。過〃作8c的垂線,

垂足為E.

(1)求證："與。0相切；

(2)若AB=6,tanA=y[2,求BE的長;

(3)線段48,BE,然之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明.

6

E

D

13.如圖，點(diǎn)。在以48為直徑的。0上，過。作。。的切線交48延長線于點(diǎn)C,AELCD

于點(diǎn)￡交。0于點(diǎn)尸，連接4。FD.

(1)求證：ZDAE=4DAC;

(2)求證：DF*AC=Al>DC；

(3)若sinN6'=工，AD=4\TlQ,求的長.

4

14.定義：如圖①，00的半徑為廣，若點(diǎn)P'在射線。上，且00?OP,=r2.則稱點(diǎn)V

是點(diǎn)戶關(guān)于。。的“反演點(diǎn)”.

(1)如圖①，設(shè)射線”與。0交于點(diǎn)4若點(diǎn)P'是點(diǎn)"關(guān)于。0的“反演點(diǎn)”，且

OP=PA,求證：點(diǎn)P'為線段。戶的一個黃金分割點(diǎn)：

(2)如圖②，若點(diǎn)P'是點(diǎn)"關(guān)于。。的“反演點(diǎn)”，過點(diǎn)、P作P'BLOP,交。。于

7

點(diǎn)B,連接陽，求證：必為。。的切線：

(3)如圖③，在RtZ\C史中，Z￡=90°,CE=6,DE=8,以在為直徑作。0,若點(diǎn)

戶為緲邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)。'是點(diǎn)夕關(guān)于。。的“反演點(diǎn)”，則在點(diǎn)。運(yùn)動的過程中，

線段0P長度的取值范圍是_____________________.

15.A,8是OC上的兩個點(diǎn)，點(diǎn)戶在。C的內(nèi)部.若N4形為直角，則稱NX形為48關(guān)

于。C的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心C在工/4處邊(含頂點(diǎn))上時，然、乙APB為AB關(guān)干

0C的最佳內(nèi)直角.如圖1,是聲關(guān)于。C的內(nèi)直角，NANB是AB關(guān)于的

最佳內(nèi)直角.在平面直角坐標(biāo)系x%中.

(1)如圖2,。。的半徑為5,A(0,-5),B(4,3)是。。上兩點(diǎn).

①已知耳(1,0),8(0,3),%(-2,1),在NAP、B,乙AP￡,N4/8中，是

48關(guān)于。0的內(nèi)直角的是；

②若在直線上存在一點(diǎn)只使得N4陽是48關(guān)于。0的內(nèi)直角，求6的取值

范圍.

(2)點(diǎn)￡是以T(t,0)為圓心，4為半徑的圓上一個動點(diǎn)，。7■與x軸交于點(diǎn)。(點(diǎn)

〃在點(diǎn)7■的右邊).現(xiàn)有點(diǎn)"(1,0),N(0,ri),對于線段椒上每一點(diǎn)〃都存

在點(diǎn)T,使N。/正是如關(guān)于。7■的最佳內(nèi)直角，請直接寫出"的最大值，以及〃取得

8

最大值時亡的取值范圍.

備用圖2

9

參考答案

1.解：(1)①錯誤.點(diǎn)8在射線上的射影值小于1時，NO"可以是鈍角，故XOAB

不一定是銳角三角形；

②正確.點(diǎn)8在射線勿上的射影值等于1時，ABA.OA,ZOAB=9Q°,AOAB是豆角

三角形;

③正確.點(diǎn)夕在射線。上的射影值大于1時，NO18是鈍南，故是鈍南三角形;

故答案為：C.

(2)①如圖2,作BHLOC于點(diǎn)、H,

?點(diǎn)8在射線OA上的射影值為,

,CA=OA=OB=\,

0C20C2

.OH=OB

‘?麗一而‘

又；ABOH=ACOB,

:./BHO=zcBgqy,

r.BCVOB,

...直線8c是的切線；

②圖形是上下對稱的，只考慮8在直線0c上及0c上方部分的情膨.過點(diǎn)。作以人

OC,作DNVOB,

當(dāng)NDOB<9G°時，設(shè)DM=h,

10

???，為線段宓的中點(diǎn),

??%渤=S^sc，

：.—OBXDN=—OCXDM,

22

：.DN=2h,

：在RtADON和RtADOM中，

4==〃"+*,

/.4/?2+y=爐+/，

：?3百=x-/①，

,:BF=CB,

.?.4萬+(1-y)2=4+(2-x)2②，

①②消去萬得：y=2x--1.

如圖，當(dāng)N800=90°時，過點(diǎn)〃作DM1.0c于點(diǎn)M,

圖4

?.?。為線段8c的中點(diǎn),

??S〉QB產(chǎn)S^ODC，

：.—OBXDO=—OCXDM,

22

"：CA=OA=OB=\,

：.OD=2DM,

：.s\nZDOM=—,

2

/./仇物=30°,

設(shè)DM=h,則勿=26，0M=Mh,

(2-gh)2=1+4萬,

11

仁返，

4

3

4

當(dāng)點(diǎn)8在0C上時，0D=^,

綜上所述，當(dāng)工時，y=0;當(dāng)時，y=2x-3.

24422

故答案為：y=0或v=2x-g-

24242

2.(1)證明：連接勿，如圖1所示：

YOD=OA,

：.NO4P=N0縱

VAD平分NBAF,

：.40AD=/FAD,

：.NODA=/FAD,

：.OD//AF,

?:DEJLAF,

:.DEJLOD,

又???必是。。的半徑，

???斯與。0相切：

(2)解：連接8a如圖2所示：

??Y8是。。的直徑，

AZADB=90°,

■:DE1AF,

:?NAED=9C=4ADB,

又丁/EAD=/DAB,

:、XAEDSMADB、

：.AD：AB=AE-.AD,

：.Ad=ABXAE=10X8=80,

22=2=4;

在Rt△力。中，由勾股定理得：^=VAD-AEV80-8

(3)連摟DF,過點(diǎn)。作，G_L48于￡如圖3所示：

12

，ZAED=ZAGD=90°

在和△4G。中，，ZDAE=ZDAG

AD=AD

:,/\AE咯/\AGD(A4S),

：.AE=AG,DE=DG,

'：Z.FAD=ZDAB,

-'-DF=DB>

：.DF=DB,

(DE=DG

在RtZ\〃E廠和RtZ\〃G8中，\,

lDF=DB

，Rt△〃爐々Rt△。第(HL),

：.EF=BG,

：.AB=AG^BG=APrEF=AXEREF=AF+2EF,

即：A+2/=10,

y--—x+5,

2

：.AF?EF=-—x+5x=-—(x-5)2+—,

222

：.AF?星有最大值，當(dāng)x=5時，AR爐的最大值為學(xué).

13

3.解：(1)?.?點(diǎn)A(0,4),

：.AO=A,

?.,4)是。。的直徑，

:.aAEB=ZAED=qQ°,

：.2AEB=ZAOB=qQ°,

?.?必垂直平分CD,

：.BO=BD

：.NABO=NABE

"ZAEB=ZA0B

在△48F和△48。中，，ZABE=ZAB0,

AB=AB

：./\ABE9/\ABO(44S)

：.AE=AO=^\

(2)設(shè)BO=x,則AB=>&2,

2

在RtA/4^中，由AG+0百=A^得：42+X2=(/2),

解得：x=3,

：.OB=BE=3,48=5,

■:NEAa/ABEW,4朋/腕=90°

，NEAB=乙ACB,

,：ZBFA=aAFC,

：./\BFA^/\AFC

?BF=BE=2

**AF-AO-T

Q

設(shè)EF=x,貝U/尸=4+*,BF=—(4+x),

14

?.?在Rt△啊中，於+於二步2,

??.3W=[4（4+X）]2,

4

解得：x=手，即&=與，

2

RF7

AtanZ/1F67=—=72=—;

EF-y24

（3）①當(dāng)△陽時，2BAE=ZFDE,

J4ADE=4FDE,

???做垂直平分力￡

:?EF=AE=4；

②當(dāng)△陽"△8E4時，NABE=4FDE,

：.AB//DF,

:./ADF=/CAB=9N,

???。下相切。。，

；?/DAE=/FDE,

設(shè)。。交V軸于點(diǎn)G,連接〃G,作FH1DG于H,如圖所示:

則N87QN04G,四邊形0G配■是矩形，

：.OG=FH,

,?XABE空XABO,

：.40AB=4EAB,

\ABLAD.

:,NDAE=NCAO,

?.?NCAO=4DAE,

：./DAE=/DAE,

：./DAE=NDAG=4FDE=/FDH,

：.AG=AE=4,

：.EF=FH=0G=AOrAG=4+4=8,

綜上所述，若△的7與△力￡?相似，）的值為4或8.

15

4.(1)證明：連接必，如圖1所示:

,.,4?平分N￡1C,

???/BAD=4CAD,

°：OA=OD,

：./BAD=40DA,

：.ACAD=^ODA,

：.PD//AC,

：.ZODB=ZC=90°,

：.BC±OD,

又TO,是圓。的半徑，

???8C是圓。的切線；

(2)證明：連接分；如圖2所示：

???然是圓。的直徑，

AZAFE=90°,

AZAFE=ZC=9Q°,

C.EF//BC,

：.4AEF=MB,

??,/AEF=NADF,

：.NB=4ADF,

又???/BAD=4CAD,

:.△ABD^XADF、

：.AB：AD=AD：AF,

:.AF=ARAB；

16

(3)解：在RtZXBOZ?中，sin5=.||-=-p?,

設(shè)圓0的半徑為r,則

r+1613

解得：廠=10,

：.AE=2r=2Q,AB=A&BE=36,

AFAFR

在RtZX/4&中，ZAFE=9G,sinZ/l￡F=sin5=—=—=—

AE2013

由(2)得：AF=AF、AB,

圖1

5.解：(1)&與。0相切，理由如下:

連接47,0D,如圖所示:

?.?48為。。的直徑,

:.NADB=9G.

.".ADA.BC.

AB=AC,

：.CD=BD=—BC.

2

,?0A=OB,

，必是宛的中位線,

17

：.0D//AC.

*:EF'AC,

：.EFLOD,

J）與。0相切.

（2）解：由（1）知N/J，C=90°,AC=AB=Wf

在Rt447C中，由勾股定理得：＞4P=7AC2-CD2=V102-62=8-

VSACD=^AChCD=^AC?DE,

A—X8X6=—X10XZJF.

22

24

：.DE=—,

5

（3）證明：由（1）得：CD=^BC,ADI.BC,

：.ZADC=90°,

,?EFLAC,

：.Z/?￡￡1=90°=Z.ADC,

'：Z.C=Ac,

:ACDESACAD,

.CD=CE

,*AC-CD，

:.CF=CE*AB,

'：AB^AC,

：.—Bd=CE?AB,

4

:.Bd=4CE*AB.

6.解：(1)如圖①在加上截取熊=48,連接

18

A

圖①

VZ5X￡?=120o,NS4c的平分線交。。于點(diǎn)。

AZDBC=^DAC=60°,4DCB=NBAD=6G,

???ZU的和△成力都是等邊三角形，

:.NABE=NDBC=60°,

???NDBE=/ABC,

又YAB=BE,BC=BD,

:.XBE恒ABAC(弘S),

：.DE=AC,

：.AD=AB-DE=AB^AC\

故答案為：AB^AC=AD.

(2)A9■AC=MAD.理由如下：

如圖②，延長48至點(diǎn)K使創(chuàng)f=4C,連接ZW,

D

：?圖②

M

.四邊形力劭c內(nèi)接于。a

.??NMBD=NACD,

VZBAD=ZCAD=45°,

：.BD=CD,

:.XMB咯XACD(SAS'),

:,MD=AD,NM=NCAD=45°,

19

，MDA.AD.

:.AM=MAD,即

：.AB^AC=y[2:AD\

(3)如圖③，延長48至點(diǎn)乂使BN=AC,連接ZW,

.,?/NBA/ACD,

?.*/BAA乙CAD,

：.BD=CD,

:■△NBD^/\ACD(SAS),

:?ND=AD,/N=4CAD,

：.4N=4NAD=NDBC=NDCB,

:、XNADsMCBD、

AD

ANBD

BC-

ADBD

AN-Bc

又AN=AB^BN=AB^AC,BC=m,BD=n,

.AD_BDn

AB+ACBCm

7.證明：(1)為。0的直徑，AD±BC,

:.BE=EC,

：.AB=AC,

義?：ADLBC,

：.4BAD=/CAD,

?：OA=OB,

???NBAD=/ABO,

20

???/BAD=4ABg4CAD,

??,NBFC=NBAC+/AB0,

：.ZBFC=ZBACH-ZEACH-ZABO=3ZCAD；

圖2

是直徑，

AZAGD=90°,

???點(diǎn)〃是。G中點(diǎn)，

：.DH=HG,

叉*：AO=DO,

：.OH//AG,AG=20H,

：.ZAGD=ZOHD=90°,

。：DG〃BF,

：.4B0E=40DH,

又■：40EB=40HD=qC,BO=DO,

???△8。?△0/W(A4S),

：.BE=OH\

(3)如圖3,過點(diǎn)尸作QV_L4?,爻AD千N,

囪3

設(shè)DG=DE=2x,

：.DH=HG=x,

'：l\BO恒△()以、

21

：?OE=DH=x,

.=0D=3x=0A=OB,

???BE=VOB2-OE2=V9X2-X2=2V2^

???4BAE=4CAE,

BENF

，tanN班￡=tanN〃￡=里=^,

AEAN

.2A/2X_NF

—而

:.AN=?NF,

'：/B0E=ANOF,

BENF

，tanNBOE=tanNNOF=—

OEON

.2&X_NF

*-x--ON'

：.ON=y~^NF,

4

：.AO=AI^ON=顯短F,

4

?.?△4。尸的面積為2返，

5_

:.'乂AOXNF=LX殳匣洞=冬巨,

2245

:.NF=^2,

5

:.AO=^^-NF=3=3X,

4

/.x=1,

:.BE=24^=OH,芯=4,DG=DE=2,

?,?/,^VAE2-K?E2=116+8=2捉,

如圖3,連接AG,過點(diǎn)A作AMLCG,交GC的延長線于M,

由（2）可知：AG=2O44M，

22

???四邊形47GC是圓內(nèi)接四邊形，

AACM=^ADG,

又N械？=N4?P=90°,

:?△ACUSXADG、

?AD二J)G

**AC=AM=CM，

.6二啦二2

*'276"AM=CM'

33___

；?G0AG2-AH2=J32號

：.CG=GM-CM=^H.

3

8.(1)證明：連接48、CD,如圖1所示：

則NBAC=NCDB,

"：NBEA=NCED,

:.XEABsXEDC,

,EA=EB

??而—而’

EA?EC=EB?ED;

(2)解：①連接08交4?于點(diǎn)K如圖2所示：

?.?點(diǎn)8是弧4?中點(diǎn)，必是。0的半徑，

OBI.AC,AM=CM=^AC,

是。。直徑，

.*.43=90°,

^VAD2-DC2=V102-62=8-

：.CM=AM=A,

22=

在Rt△鶴I中，由勾股定理得：OM=VOA-AM752-42=3-

：.BM=OB-OM=5-3=2,

22=

在Rt△8欣;中，BgVBH+CMV22+42=2娓；

23

9.(1)證明：??,四邊形尸G&?是。。的內(nèi)接四邊形，

:?NFGRNAOE=180°,

NAGRNFGE=，80°,

:.NAGF=NADE,

又/GAF=/DAE,

:.XAFGsXAED：

(2)解：由(1)得：XAFGsXAED,

?,?當(dāng)△＜曰?為等腰三角形時，△/1&?為等腰三角形，

連接優(yōu)如圖①所示：

???四邊形48CZ?是矩形，48=6,BC=9,

:.CD=AB=b,AD=BC=9,ABAD=AABC=^BCD=ZADC=90°,

???。0是的外接圓，NECD=90°,

??.斯是。0的直徑，

/.ZDFE=90°,

???//笈=180°-ZP/T=180°-90°=90°,

:.NBAF=NABE=/AFE=9q0,

???四邊形ABEF是矩形,

24

：.AF=BE,EF=AB=6,

△4仍為等腰三角形，分三種情況：

①當(dāng)然="時，

,?NDFE=90°,

119

：.AF=DF=—AD=—X9=—,

222

9

:.BE=AF=m；

2

②當(dāng)DE=AD=9時，

22=22=3

在Rt△。紙中，由勾股定理得：^=VDE-CDV9-6V5.

：.BE=BC-CE=9-3?

③當(dāng)AE=AD=9時，

在RtZvl維中，由勾股定理得：5f=^AE2-AB2=792-62=3V5：

綜上所述，當(dāng)維的長為5或9-3泥或3旄時，△/(&?為等腰三角形，

故答案為：*或9-3泥或3泥；

(3)證明：過0作OHLAB于點(diǎn)、H,反向延長力/交必于點(diǎn)/,如圖②所示:

則N4//=90°,

?四邊形48CZ?是矩形，

：.CD^AB=6,ZBCD=ZBAD=ZADC=90a,

/.AAH/=ABAD=ZADC=9Q°,

，四邊形4//。為矩形，

：.H/=AD=9,N0/P=9O°,

NECD=20ID,

：.01//CE,

VZBCD=90°,

...如為直徑，

，0D=OE,

.?.0/是△加方的中位線，

：.D/=—CD=3,0l=—EC,

22

25

■:BE=\,BC=9,

:?EC=8,

.*.0/=/x8=4,

仁〃/-0/=9-4=5,

在Rt△比Z?中，由勾股定理得：^=VEC2-K：D2=V82+62=1°>

二。。的半徑0D=5

仍是。。的半徑,

又OHA.AB,

與。0相切.

10.解：（1）如圖，過點(diǎn)0作0F_L48于點(diǎn)尸,

?.MO平分NG48,

OCLAC,OFLAB,

，OC=OF,

.?J8是。0的切線；

26

,??屈?是。。的直徑，

AZECD=90°,

JNEC外/脈=90°,

?：NACB=9G,

：.ZACB-ZECO=90°,

.?./ACE=NOCD,

*：OC=OD,

：.40CD=40DC,

???/ACE=4ODC,

???4CAE=4CAE,

:?△ACESXADC、

,AE=CE

??而一而

:./AC3NECO=9G0,

VtanZP=-^-,

.CE=1

?0_］，

.AE1.

??而=一Q

（3）由⑵可知:普=,

AxzN

...設(shè)4F=x,AC=2x,

,：XACEsXADC,

.AE=AC

*'AC-AD'

：.Ad=AE?AD,

27

/.(2x)2=x(A+6),

解得：x=2或x=0(不合題意，舍去)，

：.AE=2,AC=^,

由(1)可知：AC=AF=4f

/OFB=4ACB=90",

?/N8=N8,

:ZFBSXACB,

?BF=OF

??前一記

設(shè)BF=a,

：.B&=BC-0O=—-3,

3

在RtZ\8?！钢?，

4=0戶+8戶，

/.(：y-3)2=32+a,

解得：a=早或a=0(不合題意，舍去)，

：.AB=AF^-BF=^-.

7

11.(1)解：如圖1中，連接勿，4。，設(shè)48交緲于//.

:標(biāo)的度數(shù)是40°,

:.NBOD=40°,

：.4DAB=*D0B=2O。,

'：ABI.CD,

：.ZAHD=9Q°,

:.NADH=9Q°-N%8=70°,

：.ZAFC=/AD41N.

(2)證明：,.MB是直徑，ABVCD,

?*-AC=AD

28

???/ACD=4ADC,

?；N4叱N4/77=180°,N/4松N4任=180°,

??.4AFE=NACD,

?.?/AFC=/ADC=4ACD,

：./AFC=4AFE,

即AF至分乙CFE.

(3)解：如圖2中，設(shè)AB交CD于H.

,?F8是直徑,AB工CD,

：.CH=DH=29

5

?：00=辛ZOHC=9Q°,

0仁｛℃2vH2=yj('f')2-22='|,

:?AH=O/0A=4,

?.■彳QVCH2+AH2=V22+42=2娓,

?.,c廠是直徑，

:./CDF=/AHC=9N,

:‘AH"DE、

*：CH=HD,

:.AC=AE,

:?CE=2AG=4娓.

圖2

29

圖1

12.(1)證明：連接0D,

?：OD=OB,

：./ODB=/OBD,

?：BD平分NABC,

：.ZOBD=ZCBD,

：.NODB=ZCBD,

：.0D//BE,

9：BEA.DE,

：.ODLDE,

???如與。0相切.

(2)解：??,N8是。。的直徑,

：.4ADB=9G,

,:AB=6,tan4=y,

:.BD=，^AD,

設(shè)AD=m,則BD=J^pi,

:.m+2m=36,

:?m=2{(舍棄)，

:.AD=2&,BD=2娓,

■:BE1DE,

:./ADB=/BED=9Q°,

?：BD平分4ABC,

：.NOBD=4CBD,

30

△ABD^ADBE,

?AB^BD

??麗―瓦’

.6_276

*'276~W'

:.BE=4.

(3)解：結(jié)論綏=48-宏，

理由：過D作DHLAB于H,

,:BD牛分ZABC,DELBE,

:.DH=DE,

在Rt△陽7與RSBHD中,

(DE=DH

lBD=BD，

:.RQBEgRSBHD(HL),

：.BH=BE,

■:NDCE=NA,2DHA=2DEC=9Q°,

:.△ADgACDE(AAS,

：.AH=CE,

'：AB=A*BH,

:.AB=B&CE,

：.CE=AB-BE.

13.(1)證明：如圖，連接OD.

,.?CD是。。的切線，

...ODA-EC,

31

AE1CE,

：.AE//OD,

：.NEAD=/AD0,

YOA=OD,

：.NADO=NDAO,

：?/DAE=/DAC.

(2)證明：如圖，連接8￡

???8尸是直徑，

AZAFB=90°,

9：AE±EC,

:./AFB=/E=9G,

:.BF〃EC,

：./ABF=/C,

?.?4ADF=/ABF,

：./加尸=NC,

,//DAF=4DAC,

:,MDAFSMCAD、

?AD=DF

**CA--CD,

:.DF*AC=A[>DC.

(3)解：過點(diǎn)。作ZW_L4;于"

???緲是。。的切線，

AZODC=90°,

???可以假設(shè)勿=",0C=4kf則OA=OD=k,勿=百女,

V—?妙DC=—^0C?DH,

22

??.。//=在1〃，

32

22=A>

二^VOD-DH7

5

：.AH=OA^OH=—k

4f

??,4=

???(4后)2=(%)2+座k)2

44

.?.4=8或-8(舍棄)，

???ZW=2任，AC=5k=40,DC=8y[^,

*：DF?AC=At>DC,

:?DF=4氓,

?：/ADE=/DA/NC=/ADR/EDF,/ADF=NC,

：?NEDF=/DAC,

sinZEDF=sinZDAH,

.EF=DH

?'市—而，

.EF_2V15

"W64>/10，

：.EF=6.

'：OP'=PA,

：.PP,=PA^AP'=OP'+P'A=r,

.OP'_PP'

"PP，=0P，

...點(diǎn)P'為線段OP的一個黃金分割點(diǎn);

(2)證明：PBA.OP,

:.NOPB=9Q°,

'：OP*OP'=r,

33

.QPy_QB

OB=OP,

"OB=ZBOP,

：.l\P'OB^/XBOP,

：.ZOBP=ZOP'5=90°,

PBLOB,

:.PB為G)O的切紋;

(3)解：如圖③，過點(diǎn)0作。aa?于“，連接川,

‘：CE=6,

.