2023學(xué)年北京通州區(qū)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.由曲線(xiàn)y=x3,y=?圍成的封閉圖形的面積為（）

2.函數(shù)/(x)=sin2x+msinx+3x在上單調(diào)遞減的充要條件是()

63

A.m<-3B.m<-4C.m<-^HD.m<4

3

3.將函數(shù)/（x）=sin（2x-e）的圖象向右平移:個(gè)周期后，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則夕的最小正值是（）

8

3兀兀

D.-

T4

4.對(duì)于函數(shù)/*）,若與々滿(mǎn)足/（希）+/（々）=/（%+々），則稱(chēng)為為函數(shù)/（幻的一對(duì)“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)若實(shí)數(shù)。

與〃和a+D與c為函數(shù)/。）=3'的兩對(duì)“線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)"，貝I"的最大值為（）

B.log34+1C.g

A.log34D.log34-l

5.已知集合4={小2一31一4>0},8=3—1。43},貝」1(\4)05=()

A.(-1,3)B.[-1,3]

C.[-1,4]D.(-1,4)

6.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處

開(kāi)始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開(kāi)始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便

領(lǐng)先他10（）米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10（）米時(shí)，烏龜先他1（）米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)1（）米時(shí)，烏龜先他1米.…所以,

阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為0.1米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）

A.您」米105-9

B.米

90090

c.a富米

7.若復(fù)數(shù)z=（m+l）+（2-⑹i（加eR）是純虛數(shù)，則一^一=（）

A.3B.5C.75D.3A/5

8.已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,2&),焦點(diǎn)為尸，則直線(xiàn)ME的斜率為(

)

A.272B.受C.—D.-272

42

9.已知非零向量￡,萬(wàn)滿(mǎn)足0-血3卜￡,[b-42a）lb,則￡與坂的夾角為（）

10.已知4={小|<1},3=1|2*<1},則AU5=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,+<?)D.(-oo,l)

11.如圖，平面四邊形AC8。中，AB1BC,AB=6BC=2,AABO為等邊三角形，現(xiàn)將△ABO沿AB翻

折，使點(diǎn)。移動(dòng)至點(diǎn)P,且PBLBC,則三棱錐ABC的外接球的表面積為（）

A.8%B.6〃C.47D.----n

3

12.某中學(xué)有高中生1500人，初中生1000人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生

中抽取一個(gè)容量為〃的樣本.若樣本中高中生恰有30人，則〃的值為（）

A.20B.50C.40D.60

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知下列命題：

2M

①W題FxoGR,片+l>3x°”的否定是“VxGR,x+l<3x;

②已知p,q為兩個(gè)命題，若“pVq”為假命題，則”（r?）A（F）”為真命題；

③%>2"是“>5”的充分不必要條件；

④“若孫=0,則x=0且y=0”的逆否命題為真命題.

其中所有真命題的序號(hào)是.

14.已知數(shù)列｛凡｝的前“項(xiàng)和S“=—；+4%且4=；,設(shè)/(x)=e'-e2r+l,貝lj

loa

/(log2?1)+/(log2。2)+...+/(g2l)的值等于.

15.直線(xiàn)=0(，〃>0,”>0)過(guò)圓C:V+y-2》+2〉-1=0的圓心，則一+一的最小值是.

mn

16.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體)，觀(guān)察向上的點(diǎn)數(shù),

則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為一.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況，某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生，收集了他們參加公益勞

動(dòng)時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，繪制圖表的一部分如表.

時(shí)人數(shù)

[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)

學(xué)上匕類(lèi)別

性男69101094

別女51213868

學(xué)初中X81111107

段高中

(1)從男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在10,20)的概率：

(2)從參加公益勞動(dòng)時(shí)間［25,30)的學(xué)生中抽取3人進(jìn)行面談，記X為抽到高中的人數(shù)，求X的分布列；

(3)當(dāng)x=5時(shí)，高中生和初中生相比，那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng).(直接寫(xiě)出結(jié)果)

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=alnx+x(aeR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)Vxe(0,+oo),/(x)-e*-ox<0恒成立，求”的取值范圍.

22

19.(12分)已知橢圓C:5+4=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(—0,0)、F2(72?0).點(diǎn)M(1,0)

?'b~

與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)相互垂直.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)(n#3).過(guò)點(diǎn)M任作直線(xiàn)I與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，

設(shè)直線(xiàn)AN、NP、BN的斜率分別為ki、k2、匕，若ki+k3=2k2,試求m,n滿(mǎn)足的關(guān)系式.

20.(12分)已知多面體A8CDE中，AE、CO均垂直于平面ABC,ZABC=120AE=2CD,AB=BC=CD,

尸是命的中點(diǎn).

(1)求證：DE〃平面ABC；

(2)求直線(xiàn)3。與平面AM所成角的正弦值.

21.(12分)已知四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AD||BC,PA=AD=AB^CD=2,8C=4,

24JL底面ABCD.

(1)證明：平面PACJ_平面246；

(2)過(guò)A4的平面交BC于點(diǎn)E,若平面Q4E把四棱錐尸-A8CD分成體積相等的兩部分，求二面角A-PE-8的

余弦值.

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-a(4-1)

(1)若函數(shù)y=.f(x)在(1，收)是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍;

(2)若〃＞加＞0,證明：2+In〃＜2、/巳+In〃?.

Vm

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為(0,0),(1,1),再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.

【詳解】

封閉圖形的面積為—公=4/匕_/|；=言.選A.

o3412

【點(diǎn)睛】

本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.

2.C

【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在［￡,￡］上單調(diào)遞減則/(x)40恒成立，對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)

63

和圖象，列不等式組求解可得.

【詳解】

依題意，/(x)=2cos2x+/”cosx+3=4cos2x+mcosx+1,

令cosx=/,貝！李，故4/+/加+1^0在李上恒成立；

“11,c

4x—+〃tx—+L,0-4

42

結(jié)合圖象可知，〈3J3，解得,8G

4x—+“x=-+1,,0

42

故陞-述

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法：

(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角〃(或利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等

式求解；

(2)圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線(xiàn)，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.

3.D

【解析】

由函數(shù)y=Asin(5+9)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于。的方程，對(duì)A賦

值即可求解.

【詳解】

由題意知，函數(shù)f(x)=sin(2x-e)的最小正周期為7=尋=肛即。=[,

2oo

由函數(shù)y=Asin(mx+e)的圖象平移變換公式可得，

將函數(shù)/(x)=sin(2x-⑼的圖象向右平移:個(gè)周期后的解析式為

O

g(x)=sin2口_*)_0=sin12x_(_0),

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于3'軸對(duì)稱(chēng)，

nTT3乃

所以-----(p=——\-k7T.kGZ,gp^9=--——Fk7V,kGZ,

424

所以當(dāng)k=1時(shí)，。有最小正值為

4

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)y=Asin(5+s)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導(dǎo)公式和

正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.

4.D

【解析】

根據(jù)已知有3〃+"+3'=3"+"‘，可得3c=l+d：，只需求出3"+"的最小值，根據(jù)

3"+"=3"+3〃，利用基本不等式，得到3"+〃的最小值，即可得出結(jié)論.

【詳解】

依題意知，a與b為函數(shù)/(x)=3,的"線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，

所以3a+b=3"+3h>253"-3"=2出菽，

故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

又G+力與C為函數(shù)/(尤)=3,的"線(xiàn)性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

所以3""+3<=3"+"『，

?3'""I4

所以30=二一=1+^^<-,

3a+b-13""-13

從而c的最大值為log34-l.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出。的表達(dá)式是解題

的關(guān)鍵，屬于中檔題.

5.B

【解析】

先由/一3%一4>0得尤>4或再計(jì)算即可.

【詳解】

由％2一3%一4>()得x>4或x<-l,

A=(—co,-+oo),\A=[-1,4],

又3=何一1<％<3},.?.GA)n3=[—l,3].

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

6.D

【解析】

1(1丫*

根據(jù)題意，是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)q=100,q=—,a“=0.1,由a=0.1=100x—，解得〃=4,

1io〃"uo)

再求和.

【詳解】

根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)4=100,q=得，紇=0?1，

n-\

1

所以紇=0.1=100X

To

解得〃=4,

((［、八

1001-4

所以q=q(1-g)=(J=10"-1.

4-1-71190

1-------

10

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.

7.C

【解析】

先由已知，求出加=-1,進(jìn)一步可得回土包=1-2i,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可

z

【詳解】

由z是純虛數(shù)，得加+1=0且2-加/0,所以m=-1,z-3i.

_..6+3z6+3zI.i/T

因此，------.■=|l-2nz|=V5.

z3/

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

先求出〃，再求焦點(diǎn)尸坐標(biāo)，最后求Mb的斜率

【詳解】

解：拋物線(xiàn)丁2=2沖(〃>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,2&)

(2何=2叱2,〃=2,

尸(1,0),kMF=25/2,

故選：A

【點(diǎn)睛】

考查拋物線(xiàn)的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式，基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn)，即可由平面向量數(shù)量積定義求得［與B的夾角.

【詳解】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得(￡-42b)a=a-42ab=0,

(b—y［2a^-b=b-y［2a-b=0,

所以:=片=&7B，即口|=M，

由平面向量數(shù)量積定義可得口2=血口-忸卜°5(￡1)，

所以cos,?=孝，而色力［0,句，

即3與B的夾角為

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

分別解出集合A、8,然后求并集.

【詳解】

解：4=卜料＜1}={止］＜1＜1},8=k|2工＜1}={?。?}

A|J8=(—/)

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

將三棱錐尸-ABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角

形的外心連線(xiàn)上，在RsOBE中,計(jì)算半徑QB即可.

【詳解】

由AB_L3C,PB上BC,可知BC_L平面Q4B.

將三棱錐P-ABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同.

由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線(xiàn)上，

記AAB尸的外心為E，由人鉆。為等邊三角形，

可得BE=1.又OE=『=1,故在R/AOBE中，OB=五,

此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8萬(wàn).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

12.B

【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.

【詳解】

由題意，30=1500x----------,解得『=50.

1500+1000

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.②

【解析】

命題FxGR,x2+l>3x”的否定是“VxCR,x2+l<3xw,故①錯(cuò)誤；"pVq”為假命題說(shuō)明p假q假，則（』）八（飛）

為真命題，故②正確；a>5=a>2,但a>2n/a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分條件，故③錯(cuò)誤；因?yàn)椤叭魓y=0,

則x=0或y=0"，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯(cuò)誤.

14.7

【解析】

根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時(shí)，&=4,可得幾=2,進(jìn)而得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，再計(jì)算可得/(x)+〃2-x)=2,進(jìn)而

可得結(jié)論.

【詳解】

由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，S]=q=-1+又解得2=2,

當(dāng)〃22時(shí)，由S,i+

所以，4=S?-S“一|=2%-2a,i，即an=2an_x，

故數(shù)列｛“"｝是以;為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故a“=；-2"T=2"-3,

又/(x)+/(2—x)=e*—e2-￥+1+e2T-e^~x]+1=2,/⑴=e—e+l=l,

所以,/(log2al)+/(log2a2)+---+/(log2a7)

=/(-2)+/(-l)+/(0)+/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=2+2+2+l=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，計(jì)算得/(x)+/(2-x)=2是解決本題的關(guān)鍵，

屬于中檔題.

15.4

【解析】

直線(xiàn)znx-町-1=0(6>0,〃>0)經(jīng)過(guò)圓好+/―2x+2y-1=0的圓心(1,-1),可得/7i+〃=l,再利用“乘1法”和

基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【詳解】

mx-ny-1=0(〃z>0,n>0)經(jīng)過(guò)圓爐+/―2x+2y-1=0的圓心(1,-1),

/?m+n-1=0,即m+n=l.

--1——(1—)(m+n)=2H--1—■22+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)一時(shí)取等號(hào).

mnmnnm2

.?.則’的最小值是4.

mn

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

總事件數(shù)為6x6=36,

目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有

（1,3）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（4,3）,（4,6）,（5,3）,（5,6）,共8種；

當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以，則有2x6=12種；

所以目標(biāo)事件共20中，所以P=W205

369

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（1）4（2）詳見(jiàn)解析（3）初中生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)

【解析】

（1）由圖表直接利用隨機(jī)事件的概率公式求解；

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率，則分布列可求;

（3）由圖表直接判斷結(jié)果.

【詳解】

（1）100名學(xué)生中共有男生48名，

其中共有20人參加公益勞動(dòng)時(shí)間在［10,20）,

設(shè)男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在［10,20）的事件為A,

那么P（A）=衛(wèi)

V'4812

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3.

/c'c221

???P(x=o)=/7P(X=1)=3

C12445244

C2clC31

P(X=2)=等"C；222,

C123

隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

72171

P

44442222

（3）由圖表可知，初中生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查超幾何分布的分布列的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)①當(dāng)“<0時(shí)，/(%)在(0,—。)上單調(diào)遞減，在(一。,+8)上單調(diào)遞增；②當(dāng)aNO時(shí)，/(x)在(0,+8)上單調(diào)

遞增；

(2)[0,+oo).

【解析】

X4-/I

(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，((])=土/，對(duì)。討論，得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得原函數(shù)的單調(diào)性；(2)法一：由

X

f(x)-ex-ax<O^a(x-lnx)>x-ev,

分別運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)s(x)=x-e[x>0),/(x)=x-lnx(x>0)的單調(diào)性，和其函數(shù)的最值，可得

v

。>工r-_e^,可得的范圍；

x-lnx

法二:由f(x)-ex-ax<O^f(x)<ax+ex,化為f(x)</(e*)令人(x)=x—e、(x>0),研究函數(shù)的單調(diào)性，可得。

的取值范圍.

【詳解】

(1)/(%)的定義域?yàn)?o,+紇)，r(x)=f+i=—,

①當(dāng)。<0時(shí)，由廣(x)>0得x>-a,/'(x)<o得0cx<—a,

fM在(0,一。)上單調(diào)遞減，在(-?,+?))上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a20時(shí)，/'(x)>0恒成立,/(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

(2)法一：由/(x)-e*—ar<0得a(x-lnx)>x-e"

令s(x)=x-e*(x>0),則s，(x)=l-e*<0,，s(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減,

s(x)<s(0)=-1,s(x)<0,即％-e*<0，

令=x-lnx(x>0),?x)=1--=土^,

則x>l,?x)>0"(x)在(l,+8)上單調(diào)遞增，0<x<l,f(x)<0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以=

即x-lnx>0,

x-eA少

...a>------(*)

x-lnx

Y—e

當(dāng)aNO時(shí)，?.?土J<0，；.(*)式恒成立，即/(無(wú))—e'-ax<()恒成立，滿(mǎn)足題意

x-lnx

法二:由/(x)-e*-ar<0得/(x)<ta+e“，v/(eA)=ar+e',:.f(x)</(ev)

令〃(x)=x-e*(x>0),貝！J〃(x)=1-e'<0,二〃(x)在((),+℃)上單調(diào)遞減，

/.h(x)<A(0)=-1,h(x)<0,即無(wú)<e"，

當(dāng)aNO時(shí)，由(I)知/(x)在(0,+a))上單調(diào)遞增，.?./(x)</(e*)恒成立,滿(mǎn)足題意

當(dāng)。<0時(shí)，令9(x)=alnx-e”,則“(x)=@-e*<0(x>0),所以。(x)在((),+8)上單調(diào)遞減，

又0(l)=-e<0,當(dāng)xf()時(shí)，°(x)->”，二力€(0,1),使得°(r)=0,

.?.當(dāng)天e(0,r)時(shí)，°(工0)〉0(r)=(),即alnx()>e3,

Ax

又%>以0，aInx0+x0>e°+ax0,f(x0)-e°-ax0>0,不滿(mǎn)足題意，

綜上所述，。的取值范圍是［0,+8)

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論，不等式恒成立時(shí)，求解參數(shù)的范圍，屬于難度題.

2

19.(1)+y2=1；(2)m—n—1=0

3-

【解析】

試題分析：(1)利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；(2)設(shè)出過(guò)M的直線(xiàn)

1的方程，將1與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，然后將k|+k3表示為直線(xiàn)1斜率的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后得k|+k3=2,

于是可得m,n的關(guān)系式.

試題解析：(1)由題意，c=>^,b=1>所以a=

故橢圓C的方程為土+y2=i

3

(2)①當(dāng)直線(xiàn)1的斜率不存在時(shí)，方程為x=L代入橢圓得，y=±直

3

不妨設(shè)A(1,亞)，B(1,一旦)

33

976V6

因?yàn)閗i+k3=33=2

--丁

又ki+ka=2k2,所以k2=l

〃一2

所以m,n的關(guān)系式為——=1,即m-n-l=O

m-3

②當(dāng)直線(xiàn)1的斜率存在時(shí)，設(shè)1的方程為y=k(x-1)

2

將y=k(x—1)代入土+9=1,

3

整理得：(3k2+l)x2-6k2x+3k2-3=0

6k23k2—3

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則玉+/?>k2+\'X'X~=?>k2+\

又yi=k(xi—1),y2=k(X2—1)

2f,2-必_(2f)(3-X2)+(2-%)(3f)

------1----------------------------

所以ki+k3=

3—M3—x2(3—)(3—x2)

[2—攵(％—1)](3—x2)+[2——1)](3—X1)

x}x2-3(%|+々)+9

2kxix2一(4&+2)(X1+%2)+6&+12

中2-3(.+尢2)+9

3^2-36左2

2%x^^—(42+2)x-^^+62+12

=3k2+13r+1_________

3k2—3.6k2八

子-3x,-+9

3公+13A2+1

_2(12F+6)_2

12/+6

〃_2

所以2k2=2,所以kz=-------=1

m—3

所以m,n的關(guān)系式為m—n—1=0

綜上所述，m,n的關(guān)系式為m—n—1=0.

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系，

20.(1)見(jiàn)解析；(2)顯.

4

【解析】

(1)取AB的中點(diǎn)“，連接EH、CH,推導(dǎo)出四邊形"兀D為平行四邊形，可得出DF//CH,由此能證明0/7/

平面ABC；

(2)由AE〃CQ,得CD〃平面ABE,則點(diǎn)。到平面4組的距離等于點(diǎn)C到平面的距離，在平面A3C內(nèi)過(guò)點(diǎn)C

作CGLAB于點(diǎn)G,CG就是C到平面ABE的距離，也就是點(diǎn)。到平面叱的距離，由此能求出直線(xiàn)B。與平面

4近所成角的正弦值.

【詳解】

(D取AB的中點(diǎn)H,連接FH、CH,

尸分別為AB、BE的中點(diǎn)，則切〃AE且FT/ngAE,

■.■AE.CO均垂直于平面ABC,且A￡=2C。，地CDUAE,：.FHHCD支FH=CD,

所以，四邊形/7心為平行四邊形，則DP〃C”，

?.?W平面ABC,CHu平面ABC,因此，。尸〃平面ABC；

(2)由AE〃C￡),AEu平面⑷坦，。。仁平面他^^,^^/平面⑷陽(yáng)，

???點(diǎn)。到平面/WE的距離等于點(diǎn)C到平面小的距離，

在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)。作CGJ_A3于點(diǎn)G,

QA￡A平面ABC,。6匚平面48。，，。6,4￡,

\-CG±AB,AEIAB=A,..CG，平面ABE,

即CG就是C到平面ABE的距離，也就是點(diǎn)D到平面ABE的距離，

設(shè)AB=3C=CD=2,

則D到平面ABE的距離h=BCsin60。=6，BD=\IBC2+CD2=272，

因此，直線(xiàn)BO與平面所成角的正弦值為上-=￡=".

BD2V24

【點(diǎn)睛】

本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查線(xiàn)面角的正弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

4

21.（1）見(jiàn)證明；（2）-

7

【解析】

(1)先證明等腰梯形ABC。中AC，A3,然后證明左_LAC,即可得到AC_L平面從而可證明平面P4C

_L平面B4B；(2)由匕:棱錐P”松=%棱錐P-A5CQ，可得到S^BE=S梯形，列出式子可求出BE,然后建立如圖的空

_一/