第一課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

6．1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.通過實(shí)例，能歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”.能利用兩個(gè)原理解決一些簡單的實(shí)際問題.3.通過理解兩個(gè)原理的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，通過利用兩個(gè)原理解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).第一課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理知識(shí)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理(一)教材梳理填空[微思考]

若完成一件事情有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？提示：共有m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．

(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．

(

)答案：(1)√

(2)×2.完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有(

)A．5種 B．4種C．9種

D．45種解析：會(huì)用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選擇；會(huì)用第二種方法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇，故選C.答案：C

3．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為________．解析：分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，共有3＋4＋2＝9種不同的走法．答案：9知識(shí)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理(一)教材梳理填空[微思考]

完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有多少種不同的方法？提示：共有m1×m2×…×mn種不同的方法．(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)從甲地經(jīng)乙地到丙地是分步問題．

(

)(2)分類就是能“一步到位”，分步只能“局部到位”．

(

)(3)分類時(shí)，各類之間是互相獨(dú)立且排斥的，分步時(shí)，各步之間是互相依存、互相聯(lián)系的．

(

)答案：

(1)√

(2)√

(3)√2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，則x·y可表示不同的值的個(gè)數(shù)為

(

)A．10 B．6C．8 D．9解析：因?yàn)閤從集合{2,3,7}中任取一個(gè)值共有3個(gè)不同的值，y從集合{－3，

－4,8}中任取一個(gè)值共有3個(gè)不同的值，故x·y可表示3×3＝9個(gè)不同的值．答案：D

3．某地地鐵一號線正式開通的時(shí)候，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，已知該列地鐵有6節(jié)車廂，兩人進(jìn)入車廂的方法數(shù)共有

(

)A．15種

B．30種C．36種

D．64種解析：每位同學(xué)都可以進(jìn)入地鐵中的任何一節(jié)車廂，每個(gè)人都有6種方法，所以兩人進(jìn)入車廂的方法數(shù)共有6×6＝36種．故選C.答案：C

題型一分類加法計(jì)數(shù)原理

[學(xué)透用活](1)分類加法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事有兩類不同方案”，是指完成這件事的所有方案可以分為兩類，即任何一類方案中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，兩類方案中沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類方案中．(2)分類時(shí)要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，即分類要按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類，一般地，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同．(3)分類時(shí)要注意滿足一個(gè)基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案，即“不重不漏”，如下所示．[典例1]在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為__________．[解析]法一：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．法二：分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類：個(gè)位是9，則十位可以是1,2,3，…，8中的一個(gè)，故共有8個(gè)；個(gè)位是8，則十位可以是1,2,3，…，7中的一個(gè)，故共有7個(gè)；同理，個(gè)位是7的有6個(gè)；……個(gè)位是2的有1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．[答案]

36利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程[提醒]

確定分類標(biāo)準(zhǔn)時(shí)要確保每一類都能獨(dú)立的完成這件事．

[對點(diǎn)練清]1．[變條件]若本例條件變?yōu)閭€(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個(gè)？解：當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9，只有1個(gè)．當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個(gè)．當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個(gè)．同理可知，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共9個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個(gè))．2．某校高三共有三個(gè)班，其各班人數(shù)如下表：(1)從三個(gè)班中選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)從1班、2班男生中或從3班女生中選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長，有多少種不同的選法？班級男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三1班302050高三2班303060高三3班352055解：(1)從三個(gè)班中任選一名學(xué)生，可分三類：第一類，從1班任選一名學(xué)生，有50種不同選法；第二類，從2班任選一名學(xué)生，有60種不同選法；第三類，從3班任選一名學(xué)生，有55種不同選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為N＝50＋60＋55＝165.(2)由題設(shè)知共有三類方案：第一類，從1班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第二類，從2班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第三類，從3班女生中任選一名學(xué)生，有20種不同選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為N＝30＋30＋20＝80.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理

[學(xué)透用活](1)分步乘法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個(gè)步驟”，是指完成這件事的任何一種方法都要分成兩個(gè)步驟，任取一種方法，相繼完成這兩個(gè)步驟就能完成這件事，即各個(gè)步驟是相互依存的，每個(gè)步驟都要做完才能完成這件事．(2)分步時(shí)，要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定分步標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)不同，分成的步驟數(shù)也會(huì)不同．(3)合理的步驟應(yīng)當(dāng)滿足：①完成這件事情必須連續(xù)做完所有步驟，即分別從各個(gè)步驟中選一種完成該步驟的方法，將各步驟中所選方法依次完成就得到完成這件事情的一種方法；②完成任何一個(gè)步驟可選用的方法與其他步驟所選用的方法無關(guān)．簡而言之，就是應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)要做到“步驟完整”．[典例2]從－2，－1,0,1,2,3這六個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)不重復(fù)的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c，則可以組成拋物線的條數(shù)為多少？[解]由題意知a不能為0，故a的值有5種選法；b的值也有5種選法；c的值有4種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，可以組成拋物線的條數(shù)為5×5×4＝100(條)．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程[提醒]

分步時(shí)要注意不能遺漏步驟，否則就不能完成這件事．

[對點(diǎn)練清]1．[變條件]若本例中的二次函數(shù)圖象開口向下，則可以組成多少條拋物線？解：需分三步完成，第一步確定a有2種方法，第二步確定b有5種方法，第三步確定c有4種方法，故可組成2×5×4＝40條拋物線．解：據(jù)條件知m>0，n>0，且m≠n，故需分兩步完成，第一步確定m，有3種方法，第二步確定n，有2種方法，故可以組成橢圓的個(gè)數(shù)為3×2＝6(個(gè))．3．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點(diǎn)．問：(1)點(diǎn)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)點(diǎn)P可表示平面上第二象限內(nèi)多少個(gè)不同的點(diǎn)？解：(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)，可分兩步完成：第1步確定a的值，有6種不同的結(jié)果；第2步確定b的值，也有6種不同的結(jié)果．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到點(diǎn)P可表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6×6＝36.(2)確定平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)P(a，b)，可分兩步完成：第1步確定a的值，由于a<0，所以有3種不同的結(jié)果；第2步確定b的值，由于b>0，所以有2種不同的結(jié)果．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到點(diǎn)P可表示平面上第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×2＝6.題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的簡單綜合應(yīng)用

[探究發(fā)現(xiàn)]如何區(qū)分一個(gè)問題是“分類”還是

“分步”？提示：如果完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù)，則是分類；而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù)，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事，則是分步．

[學(xué)透用活][典例3]王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀．(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，有多少種不同的帶法？(2)若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，有多少種不同的帶法？[解]

(1)要完成的事情是帶1本參考書，無論是帶外語書，還是帶數(shù)學(xué)書、物理書，事情都可完成，從而根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋4＋3＝12(種)不同的帶法．(2)要完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書，只有從外語、數(shù)學(xué)、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3＝60(種)不同的帶法．利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．(2)分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹形圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．(3)綜合問題一般是先分類再分步．

[對點(diǎn)練清]某電視臺(tái)的主持人在某綜藝節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中放著競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先從中確定一名幸運(yùn)之星，再從兩箱中各確定一名幸運(yùn)觀眾，則有多少種不同結(jié)果？解：①若幸運(yùn)之星在甲箱中抽取，則有30×29×20＝17400(種)不同的結(jié)果；②若幸運(yùn)之星在乙箱中抽取，則有20×19×30＝11400(種)不同的結(jié)果．故共有17400＋11400＝28800(種)不同結(jié)果．[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．(多選)幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；(2)乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；(3)丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；(4)丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；(5)戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E.下列結(jié)論正確的有

(

)A．最高處的樹枝為G，I當(dāng)中的一個(gè)B．最低處的樹枝一定是FC．這九棵樹枝從高到低不同的順序共有33種D．這九棵樹枝從高到低不同的順序共有32種解析：由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)镚ABCEF，還剩下D，H，I，且樹枝I比C高，樹枝D在樹枝B，E之間，樹枝H比D低，故A選項(xiàng)正確；先看樹枝I，有4種可能，若I在B，C之間，則D有3種可能：①D在B，I之間，H有5種可能；②D在I，C之間，H有4種可能；③D在C，E之間，H有3種可能，此時(shí)樹枝的高低順序有5＋4＋3＝12(種)可能．若I不在B，C之間，則I有3種可能，D有2種可能，若D在B，C之間，則H有4種可能，若D在C，E之間，則H有3種可能，此時(shí)樹枝的高低順序有3×(4＋3)＝21(種)可能，故這九根樹枝從高到低不同的順序共有12＋21＝33(種)，故C選項(xiàng)正確．故選A、C.答案：AC

二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．如圖，一只螞蟻沿著長方體的棱，從頂點(diǎn)A爬到相對頂點(diǎn)C1，求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條？解：從總體上看有三類方法，分別經(jīng)過AB，AD，AA1.從局部上看每一類又需分兩步完成．故第一類：經(jīng)過AB，有1×2＝2(條)；第二類：經(jīng)過AD，有1×2＝2(條)；第三類：經(jīng)過AA1，有1×2＝2(條)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1經(jīng)過3條棱的路線共有N＝2＋2＋2＝6(條)．三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維3.若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋