電路與電子技術(shù)第5章1

第五章交流電路重點(diǎn)：

相位差

正弦量的相量表示

復(fù)阻抗復(fù)導(dǎo)納

相量圖

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦交流電路中的功率分析

三相交流電路分析電工電子電路中，廣泛應(yīng)用交流電源和交流信號(hào)，其中以正弦交流電源和信號(hào)應(yīng)用最為廣泛。5.1正弦交流電的根本概念一.正弦量：按正弦規(guī)律變化的量。瞬時(shí)值表達(dá)式：i(t)=Imsin(wt+y)i+_u波形：tiO/T周期T(period)和頻率f(frequency):頻率f：每秒重復(fù)變化的次數(shù)。周期T：重復(fù)變化一次所需的時(shí)間。f=1/T單位：Hz，赫(茲)單位：s，秒(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im：反映正弦量變化幅度的大小。(2)角頻率(angularfrequency)w

：每秒變化的角度(弧度)，反映正弦量變化快慢。二、正弦量的三要素：tiO/T(3)初相位(initialphaseangle)y：反映了正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。(wt+y)表示正弦量隨時(shí)間變化的進(jìn)程,稱之為相位角。它的大小決定該時(shí)刻正弦量的值。當(dāng)t=0時(shí)，相位角(wt+y)=y，故稱y為初相位角，簡稱初相位。它表示了正弦量的起點(diǎn)。Im2

t單位：rad/s

，弧度/秒i(t)=Imsin(wt+y)同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。tiO

=0

=/2

=-/2一般規(guī)定：|

|。三、同頻率正弦量的相位差(phasedifference)。設(shè)u(t)=Umsin(wt+yu),i(t)=Imsin(wt+yi)那么相位差即相位角之差：j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi

j>0，u領(lǐng)先(超前)Ij角，或i落后(滯后)uj角(u比i先到達(dá)最大值)；

j<0，i領(lǐng)先(超前)u

j

角，或u落后(滯后)i

j

角(i比u先到達(dá)最大值)。

tu,iu

iyuyijO恰好等于初相位之差j=0，同相：j=(180o)

，反相：規(guī)定：|y|(180°)。特殊相位關(guān)系：

tu,iu

iO

tu,iu

iOj=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi

=p/2：u領(lǐng)先ip/2,不說u落后i3p/2；i落后up/2,不說i領(lǐng)先u3p/2。

tu,iu

iO同樣可比較兩個(gè)電壓或兩個(gè)電流的相位差。四、交流電的有效值周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其大小工程上采用有效值來表示。電流有效值定義為：瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)積分的平均值再取平方根。物理意義：周期性電流i流過電阻R，在一周期T內(nèi)吸收的電能，等于一直流電流I流過R,在時(shí)間T內(nèi)吸收的電能，那么稱電流I為周期性電流i的有效值。有效值也稱均方根值(root-meen-square，簡記為rms。)1.周期電流、電壓有效值(effectivevalue)定義交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)原理來定義的。W2=I2RTRi(t)RI同樣，可定義電壓有效值：2.正弦電流、電壓的有效值設(shè)i(t)=Imsin(t+

)同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：假設(shè)一交流電壓有效值為U=220V，那么其最大值為Um311V；U=380V，Um

537V。工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。測量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。*注意區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。1.復(fù)數(shù)A表示形式：AbReImaOA=a+jbAbReImaO

|A|5.2正弦量的相量表示法一、復(fù)數(shù)及運(yùn)算兩種表示法的關(guān)系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐標(biāo)表示極坐標(biāo)表示或2.復(fù)數(shù)運(yùn)算那么A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加減運(yùn)算——直角坐標(biāo)假設(shè)A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加減法可用圖解法。AbReImaO

|A|(2)乘除運(yùn)算若A1=|A1|

1，若A2=|A2|

2除法：模相除，角相減。例1.乘法：模相乘，角相加。那么:解:例2.(3)旋轉(zhuǎn)因子：復(fù)數(shù)ejq

=cosq+jsinq=1∠qA?ejq

相當(dāng)于A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度q，而模不變。故把ejq

稱為旋轉(zhuǎn)因子。解：上式ejp/2

=j,e-jp/2

=-j,ejp=–1故+j,–j,-1都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。幾種不同值時(shí)的旋轉(zhuǎn)因子：ReIm0第二節(jié)正弦信號(hào)的相量表示1.正弦信號(hào)為什么要用相量表示？2.復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)習(xí)(1)復(fù)數(shù)表示：代數(shù)型、指數(shù)型、極性表示法，相互轉(zhuǎn)換方法。(2)復(fù)數(shù)運(yùn)算：加減法用代數(shù)表示法；乘除法用指數(shù)表示法(3)復(fù)數(shù)幾何意義：加減法是平行四邊形作圖法，乘除法是模增減倍數(shù)，復(fù)角旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度實(shí)部—Realnumber虛部—Imaginary兩個(gè)正弦量i1+i2

i3wwwI1I2I3

1

2

3無論是波形圖逐點(diǎn)相加，或用三角函數(shù)做都很繁。因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只要確定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)向量也包含一個(gè)模和一個(gè)幅角，因此，我們可以把正弦量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，以復(fù)數(shù)計(jì)算來代替正弦量的計(jì)算，使計(jì)算變得較簡單。角頻率：有效值：初相位：第二節(jié)正弦量的相量表示i1i2

tu,ii1

i2Oi31.正弦量的相量表示造一個(gè)復(fù)函數(shù)沒有物理意義假設(shè)對(duì)A(t)取虛部：是一個(gè)正弦量，有物理意義。對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都可以找到唯一的與其對(duì)應(yīng)的復(fù)指數(shù)函數(shù)：A(t)包含了三要素：I、

、w，復(fù)常數(shù)包含了I

,

。A(t)還可以寫成復(fù)常數(shù)加一個(gè)小圓點(diǎn)是用來和普通的復(fù)數(shù)相區(qū)別(強(qiáng)調(diào)它與正弦量的聯(lián)系)，同時(shí)也改用“相量〞，而不用“向量〞，是因?yàn)樗硎镜牟皇且话阋饬x的向量，而是表示一個(gè)正弦量。稱為正弦量i(t)對(duì)應(yīng)的相量。正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：例1.試用相量表示i,u.解：

相量圖(相量和復(fù)數(shù)一樣可以在平面上用向量表示)：

q例2.試寫出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。解：我們用向量和一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)看看它的幾何意義：ejt為一模為1、幅角為t的相量。隨t的增加，模不變，而幅角與t成正比，可視其為一旋轉(zhuǎn)相量，當(dāng)t從0~T時(shí)，相量旋轉(zhuǎn)一周回到初始位置，t從0~2。相量表示的幾何意義：長度為幅值，起始位置為初相角、以角頻率逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的一個(gè)矢量在實(shí)軸上的投影。特別注意：正弦信號(hào)是代數(shù)量，而不是矢量或復(fù)數(shù)量，所以相量不等于正弦信號(hào)。用相量表示正弦信號(hào)只說明它們之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系。例：電路中一個(gè)節(jié)點(diǎn)A，如下圖，：求：電流i。解：

+j

i1

I2

AI

i

i20+1

I12.線性規(guī)那么：3.微分規(guī)那么對(duì)應(yīng)規(guī)那么：1.唯一性原那么：2.相量運(yùn)算(1)同頻率正弦量相加減故同頻的正弦量相加減運(yùn)算就變成對(duì)應(yīng)的相量相加減運(yùn)算。i1

i2=i3變換思想可得其相量關(guān)系為：例．同頻正弦量的加、減運(yùn)算可借助相量圖進(jìn)行。相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析。ReImReIm首尾相接(2)正弦量的微分，積分運(yùn)算微分運(yùn)算:積分運(yùn)算:相量微分:相量積分:如果用復(fù)數(shù)表示正弦量，那么復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值，輻角即為正弦量的初相位。為了與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別，我們把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。并用大寫字母加點(diǎn)表示。那么，表示為：為了使計(jì)算結(jié)果能直接表示正弦量的有效值，通常使相量的模等于正弦量的有效值。那么有[例]電壓相量形式為或者注意：這個(gè)例子里瞬時(shí)值與相量表示的是同一個(gè)正弦量，都是表示有效值220V、初相位450的正弦電壓，但這二者并不是相等。3.相量圖把相量作為矢量畫在復(fù)平面上，稱為相量圖，利用相量圖的矢量疊加方法，可以方便地進(jìn)行同頻率正弦量的加、減運(yùn)算。函數(shù)表示：相量表示：相量圖：兩個(gè)正弦電壓疊加：相量疊加：1.同頻率的正弦量才能表示在同一個(gè)向量圖中2.反時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度3.選定一個(gè)參考相量(設(shè)初相位為零,串聯(lián)先電流并聯(lián)選電壓)注意:小結(jié)①正弦量相量時(shí)域頻域②相量法只適用于鼓勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。③相量法可以用來求強(qiáng)制分量是正弦量的任意常系數(shù)線性微分方程的特解，即可用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。N線性N線性w1w2非線性w不適用正弦波形圖相量圖5.3.1根本元件伏安特性的相量形式一.電阻時(shí)域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值關(guān)系：UR=RI相位關(guān)系

u=

i(u,i同相)R+-UR

u相量關(guān)系：UR=RI

u=

i第三節(jié)基爾霍夫定律的相量形式瞬時(shí)功率：波形圖及相量圖：

i

tOuRpR

u=

iURI瞬時(shí)功率以2交變。但始終大于零，說明電阻始終是吸收〔消耗〕功率。二.電感時(shí)域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型j

L+-

i相量關(guān)系：有效值關(guān)系：U=wLI相位關(guān)系：

u=

i+90°

(u超前i90°)1.相量關(guān)系：感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；U=XLI=LI=2fLI(2)感抗和頻率成正比；wXL相量表達(dá)式:XL=L=2fL，稱為感抗，單位為(歐姆)BL=-1/L=-1/2fL，感納，單位為S(同電導(dǎo))2.感抗和感納:功率：波形圖：

t

iOuLpL2

瞬時(shí)功率以2交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消。三、電容時(shí)域形式：相量形式：相量模型有效值關(guān)系：IC=wCU相位關(guān)系：

i=

u+90°

(i超前u90°)

uiC(t)u(t)C+-+-相量關(guān)系：令XC=-1/wC，稱為容抗，單位為W(歐姆)BC=wC，稱為容納，單位為S頻率和容抗成反比,w

0，|XC|

直流開路(隔直)w，|XC|0高頻短路(旁路作用)w|XC|功率：波形圖：

t

iCOupC容抗與容納：2

瞬時(shí)功率以2交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消。相量表達(dá)式:四、正弦電源電源相量模型對(duì)于獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源其正弦表示為：其中：Us和Is、ω、θu和θi分別為有效值、角頻率和初相角。根據(jù)唯一性規(guī)那么，可以用相量形式表示電壓源和電流源。圖中的極性是參考極性。對(duì)于受控源的相量模型與正弦電源的方法相同，只要將時(shí)間表示的電壓、電流用相量表示即可，參考極性不變。+U

I

-5.3.2基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應(yīng)的相量形式表示：上式說明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿足KVL。例：：R=5Ω，L=5mH，C=100μF，求：電源電壓us(t)

iL

L

a

iRiC+us

RC-

b+jUL

Us63.5°+1

Uab+j

ILIc

26.6°+1

IR

005.4相量模型〔簡單的正弦交流電路〕1.復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納正弦鼓勵(lì)下Z+-無源線性+-|Z|RXj阻抗三角形單位：

阻抗模阻抗角復(fù)導(dǎo)納Y|Y|GBj

導(dǎo)納三角形對(duì)同一二端網(wǎng)絡(luò):單位：S1、串聯(lián)：2、并聯(lián)：3、混聯(lián)：直接根據(jù)阻抗的串并聯(lián)關(guān)系求取或者根據(jù)阻抗的定義求取。阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)在形式上與電阻的串聯(lián)與并聯(lián)電路相似。本節(jié)首先介紹阻抗串聯(lián)、阻抗并聯(lián)電路的等效阻抗〔或等效導(dǎo)納〕及其分壓、分流公式；然后介紹阻抗的串并聯(lián)電路及其計(jì)算。2.阻抗的串并聯(lián)Z1U?I?U=Z?I?U=(Z1+Z2)?I?Z2U2?U1?等效變換條件Z=Z1+Z2假設(shè)Z1=R1+jX1

Z2=R2+jX2那么Z=R1+jX1+R2+jX2=(R1+R2)+j(X1+X2)Z=Z1Z2+一般1〕阻抗的串聯(lián)U?=U2?U1?+U=U1U2++–ZU?I?+–=

Z

Zk2〕阻抗的并聯(lián)Z1U?I?Z2I1?I2?+–I?=I2?I1?+等效電路ZI?=U?Z=Z1Z2+Z1Z2=Z

1Z1Z211+I?U?=Z1Z2+U?ZU?I?+–一般I=I1I2+=Z

1Z1Z211+=

Z

1Zk1RL串聯(lián)電路根據(jù)KVL：

那么：其中：RC串聯(lián)電路根據(jù)KVL

那么其中RL并聯(lián)電路根據(jù)KCL：

那么①R、L、C元件的阻抗和導(dǎo)納〔1〕R：〔2〕L：〔3〕C：3.RLC串聯(lián)電路②用相量法分析R、L、C串聯(lián)電路的阻抗。由KVL：其相量關(guān)系也成立LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+Z—復(fù)阻抗；R—電阻(阻抗的實(shí)部)；X—電抗(阻抗的虛部)；|Z|—復(fù)阻抗的模；

—阻抗角。關(guān)系：或R=|Z|cos

X=|Z|sin

|Z|RXj阻抗三角形具體分析一下R、L、C串聯(lián)電路：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC，X>0，j>0，電路為感性，電壓領(lǐng)先電流；wL<1/wC，X<0，j<0，電路為容性，電壓落后電流；wL=1/wC，X=0，j=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。畫相量圖：選電流為參考向量(wL>1/wC)三角形UR、UX、U

稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即

UX例.LCRuuLuCi+-+-+-：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型為j

LR+-+-+-那么UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓。

-3.4°相量圖例3：圖示電路中，電壓表讀數(shù)為220V,電流表讀數(shù)為I1=10A，I2=14.14A,R1=12，R2=XL,電源電壓u與電流i同相。求總電流I、R2、XL、

Xc.

I?I1?U2?UL?1014.1410U1?120100uii2i1CR2LR1A1A2Vu1u210A14.14AI=10AU1=12×10=120VU2=220–120=100VXc=10010=10

=10014.14Z2=

R22+XL2=7.07

R2=

XL=5

解：I2?+–+–+–5.5復(fù)雜交流電路的分析和計(jì)算電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較：可見，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法推廣應(yīng)用于正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。例1：Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7。Z1Z2Z3ab求Zab。同直流電路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2阻抗串并聯(lián)的計(jì)算例2:已知:求:各支路電流。Z1Z2R2+_Li1i2i3R1CuR2+_R1解：畫出電路的相量模型Z1Z2R2+_R1瞬時(shí)值表達(dá)式為：解畢！列寫電路的回路電流方程和節(jié)點(diǎn)電壓方程例3.解：+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4回路法:+_R1R2R3R4節(jié)點(diǎn)法:法一：電源變換解：例4.Z2Z1ZZ3Z2Z1

Z3Z+-法二：戴維南等效變換Z0Z+-例5.用疊加定理計(jì)算電流Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3求開路電壓：求等效電阻：解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-平衡電橋Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。求：Zx=Rx+jwLx。由平衡條件：Z1Z3=

Z2Zx得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例6.解：Z1Z2ZxZ3

*|Z1|

1

?|Z3|

3

=|Z2|

2

?|Zx|

x

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例7.解：ZZ1+_：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz求：線圈的電阻R2和電感L2。畫相量圖進(jìn)行定性分析。例8.解：R1R2L2+_+_+_q2q5.6正弦電流電路中的功率無源一端口網(wǎng)絡(luò)吸收的功率(u,i關(guān)聯(lián))1.瞬時(shí)功率(instantaneouspower)無源+ui_瞬時(shí)功率p有時(shí)為正,有時(shí)為負(fù)；

p>0,表示負(fù)載從電源吸收能量;p<0，表示負(fù)載將儲(chǔ)存的能量返還給電源.

t

iOupUIcos

-UIcos(2t)瞬時(shí)功率實(shí)用意義不大，一般討論所說的功率指一個(gè)周期平均值。2.有功功率即平均功率(averagepower)P：

=

u-

i：功率因數(shù)角。對(duì)無源網(wǎng)絡(luò)，為其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因數(shù)。它的大小取決于電路的參數(shù)。P的單位：W〔瓦〕一個(gè)周期內(nèi),電路所吸收功率的平均值例：cosj=0.5(滯后)，那么j=60o(電壓領(lǐng)先電流60o)。平均功率實(shí)際上是電阻消耗的功率，亦稱為有功功率。表示電路實(shí)際消耗的功率，它不僅與電壓電流有效值有關(guān)，而且與cosj有關(guān)，這是交流和直流的很大區(qū)別,主要由于電壓、電流存在相位差。純電阻電路：純電感或純電容：既有耗能元件也有儲(chǔ)能元件時(shí)：4.視在功率(表觀功率，ApparentPower)S反映電氣設(shè)備的容量。3.無功功率(reactivepower)Q表示交換功率的最大值，單位：var(乏)。Q>0，表示網(wǎng)絡(luò)吸收無功功率；Q<0，表示網(wǎng)絡(luò)發(fā)出無功功率。Q的大小反映網(wǎng)絡(luò)與外電路交換功率的大小。是由儲(chǔ)能元件L、C的性質(zhì)決定的有功，無功，視在功率的關(guān)系：有功功率:

P=UIcosj

單位：W無功功率:

Q=UIsinj

單位：var視在功率:

S=UI

單位：VAjSPQ功率三角形5.R、L