新教材適用2023-2024學年高中數學第7章概率4事件的獨立性課后訓練北師大版必修第一冊

§4事件的獨立性課后訓練鞏固提升一、A組1.甲、乙兩人同時報考某一所大學,甲被錄取的概率為0.6,乙被錄取的概率為0.7,兩人是否被錄取互不影響,則其中至少有一人被錄取的概率為().A.0.12 B.0.42C.0.46 D.0.88解析:由題意知,甲、乙都不被錄取的概率為(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有1人被錄取的概率為1-0.12=0.88.答案:D2.下列事件A,B是相互獨立事件的是().A.連續(xù)拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次,事件A表示“第一次正面朝上”,B表示“第二次反面朝上”B.袋中有大小、質地相同的兩個白球和兩個黑球,不放回地依次摸兩球,事件A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”C.拋擲一枚質地均勻的骰子一次,事件A表示“出現(xiàn)點數為奇數”,B表示“出現(xiàn)點數為偶數”D.事件A表示“人能活到60歲”,B表示“人能活到80歲”答案:A3.設兩個相互獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為19,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等,則事件A發(fā)生的概率P(A)等于()A.29 B.C.13 D.解析:由題意得P(AB)=P(BA),且事件A,B相互獨立,所以P(A)P(B)=P(B)P(A).所以[1-P(A)]P(B)=[1-P(B)]P(A).所以P(A)=P(B).因為P(AB)=[P(A)]2=1所以P(A)=13故P(A)=1-P(A)=23答案:D4.如圖,A,B,C表示3個開關,若在某段時間內它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7,那么系統(tǒng)可以正常工作的概率是().A.0.504 B.0.994C.0.496 D.0.06解析:系統(tǒng)正常工作,即A,B,C3個開關至少有一個能正常工作.設事件A,B,C分別表示開關A,B,C正常工作,則事件A,B,C相互獨立.故系統(tǒng)正常工作的概率P=1-P(ABC)=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.7)=1-0.1×0.2×0.3=0.答案:B5.(多選題)已知從甲袋中摸出一個紅球的概率是13,從乙袋中摸出一個紅球的概率是12,從兩袋中各摸出一個球,則下列結論正確的有(A.兩個球不都是紅球的概率為5B.兩個球都是紅球的概率為1C.至少有一個紅球的概率為2D.兩個球中恰有一個紅球的概率為1解析:由題意,得兩個球不都是紅球的概率為1-13×12=56,兩個球都是紅球的概率為13×答案:ABCD6.已知事件A,B,C相互獨立,若P(A∩B)=16,P(B∩C)=18,P(A∩B∩C)=18,則P(B)=,P(A∩B)=解析:由題意,得P解得P故P(A∩B)=[1-P(A)]P(B)=23答案:17.一道數學競賽試題,甲解出它的概率為12,乙解出它的概率為13,丙解出它的概率為14,由甲、乙、丙三人獨立解答此題,只有一人解出的概率為解析:設“甲解出,而乙、丙不能解出”為事件A,則P(A)=12“乙解出,而甲、丙不能解出”為事件B,則P(B)=13“丙解出,而甲、乙不能解出”為事件C,則P(C)=14故由甲、乙、丙三人獨立解答此題,只有一人解出的概率為P(A)+P(B)+P(C)=14答案:118.甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為12(1)甲、乙兩人在罰球線各投球一次,求恰好命中一次的概率;(2)甲、乙兩人在罰球線各投球兩次,求這四次投球中至少命中一次的概率.解:(1)設“甲投球一次命中”為事件A,“乙投球一次命中”為事件B,則P(A)=12,P(B)=25,P(A)=12,P(B)故甲、乙兩人在罰球線各投球一次,恰好命中一次的概率為P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=12(2)設事件“甲、乙兩人在罰球線各投球兩次均不命中”的概率為P1,則P1=P(AABB)=P(A)P(A)P(B)P(B)故甲、乙兩人在罰球線各投球兩次,至少命中一次的概率為1-P1=911009.甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試,面試合格者可正式簽約.甲表示只要面試合格就簽約;乙、丙則約定兩人面試都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約.設每人面試合格的概率都是12,且面試是否合格互不影響,求(1)至少有一人面試合格的概率;(2)沒有人簽約的概率.解:用A,B,C分別表示事件“甲、乙、丙面試合格”,由題意知A,B,C相互獨立,且P(A)=P(B)=P(C)=12(1)至少有一人面試合格的概率是1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-(2)沒有人簽約的概率為P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(二、B組1.甲、乙兩個氣象臺獨立進行天氣預報,如果他們預報準確的概率分別為0.8,0.9,那么在一次預報中,兩個氣象臺都沒預報準確的概率為().A.0.72 B.0.3C.0.02 D.0.03解析:因為甲、乙兩個氣象臺預報不準確的概率分別為0.2,0.1,且相互獨立,所以兩個氣象臺都沒預報準確的概率為0.2×0.1=0.02.答案:C2.在一段時間內,甲去某地的概率是14,乙去此地的概率是15,假定兩人的行動相互之間沒有影響,那么在這段時間內至少有一人去此地的概率是(A.320 B.C.25 D.解析:至少有一人去此地的對立事件是兩人都不去此地,兩人都不去此地的概率是1-141-15=答案:C3.把一枚質地均勻的骰子任意地擲一次,下列各組事件是相互獨立事件的組數為().①事件A表示“擲出偶數點”,B表示“擲出奇數點”;②事件A表示“擲出偶數點”,B表示“擲出3點”;③事件A表示“擲出偶數點”,B表示“擲出3的倍數點”;④事件A表示“擲出偶數點”,B表示“擲出的點數小于4”.A.1 B.2C.3 D.4解析:①P(A)=12,P(B)=12,P(AB)所以A與B不是相互獨立事件.②P(A)=12,P(B)=16,P(AB)所以A與B不是相互獨立事件.③P(A)=12,P(B)=13,P(AB)=P(AB)=P(A)P(B),所以A與B是相互獨立事件.④P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=P(A)P(B)≠P(AB),所以A與B不是相互獨立事件.答案:A4.(多選題)有兩種投資方案,一年后投資盈虧情況如下表.投資股市:投資結果獲利40%不賠不賺虧損20%概率113購買基金:投資結果獲利20%不賠不賺虧損10%概率p1q記事件A為“甲投資股市且盈利”,事件B為“乙購買基金且盈利”,事件C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”,則().A.P(A)=0.5B.當p=14時,q=C.若P(C)=0.75,則p=0.5D.若P(C)>0.8,則p>4解析:由題意知P(A)=12,P(B)=p,∴A正確∵“購買基金”后,投資結果只有三種,且三種投資結果兩兩互斥,∴p+13+q=1又p=14,∴q=512,∴B∵C=AB+AB+AB,且A,B∴P(C)=12(1-p)+12p+12p=若P(C)=0.75,則p=0.5,∴C正確;若P(C)>0.8,則12+12p>0.8,又p+13+q=1,q>0,∴p<23,∴35<p<23,答案:ABC5.如圖,在電路圖中有開關a,b,c,它們閉合與斷開的概率都是12,且是相互獨立的,則燈亮的概率是()A.18 B.38 C.14解析:設開關a,b,c閉合的事件分別為A,B,C,則燈亮這一事件E=ABC∪ABC∪ABC,且A,B,C相互獨立,ABC,ABC,ABC互斥,所以P(E)=P(ABC∪ABC∪ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=12答案:B6.某道路的A,B,C三處設有交通燈,這三個交通燈在一分鐘內綠燈亮的時間(單位:s)分別為25s,35s,45s,某輛車在這條路上行駛時,三處都不停車的概率是().A.35192 B.C.35576 D.解析:設這三個交通燈綠燈亮分別為事件A,B,C,則P(A)=2560=512,P(B)=3560=712,P(C)=4560所以三處都不停車的概率為P(ABC)=512答案:A7.某自助銀行有A,B,C,D四臺ATM,在某一時刻這四臺ATM被占用的概率分別為13(1)若某客戶只能使用四臺ATM中的A或B,則該客戶需要等待的概率為;

(2)某客戶使用ATM取款時,恰好有兩臺ATM被占用的概率為.

解析:(1)該客戶需要等待意味著A與B同時被占用,故所求概率P1=13(2)依題意,該客戶使用ATM取款時恰好有兩臺ATM被占用的概率P2=13答案:(1)16(2)8.一個元件能正常工作的概率叫作這個元件的可靠性,設構成系統(tǒng)的每個元件的可靠性為p(0<p<1),且每個元件能否正常工作是相互獨立的.如圖,今有6個元件按兩種方式構成兩個系統(tǒng)(1)(2),試比較系統(tǒng)(1)(2)哪個的可靠性大.(1)(2)解:系統(tǒng)(1)有兩條道路,它們能正常工作當且僅當兩條道路至少有一條能正常工作,而每條道路能正常工作當且僅當它的每個元件能正常工作.系統(tǒng)(1)每條道路正常工作的概率是p3,不能正常工作的概率是1-p3,系統(tǒng)(1)不能正常工作的概率為(1-p3)2,故系統(tǒng)(1)正常工