天津四中2024屆高三下學(xué)期線(xiàn)上統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試題

天津四中2024屆高三下學(xué)期線(xiàn)上統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定點(diǎn)，，是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線(xiàn) C．拋物線(xiàn) D．圓2．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．3．已知函數(shù)的最大值為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題:①;②直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為;③過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．5．下列說(shuō)法正確的是（）A．命題“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，滿(mǎn)足，則C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布（），若，則D．設(shè)是實(shí)數(shù)，“”是“”的充分不必要條件6．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線(xiàn)中，不與平面平行的是（）A．直線(xiàn) B．直線(xiàn) C．直線(xiàn) D．直線(xiàn)7．已知全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．8．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．設(shè)，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．10．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則方程的最小實(shí)根的值為（）A． B． C． D．11．已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足：（其中），且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，，，則，，的大小關(guān)系（用不等號(hào)連接）為（）A． B．C． D．12．明代數(shù)學(xué)家程大位（1533~1606年），有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便，用其畢生心血寫(xiě)出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計(jì)算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問(wèn)題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行以下語(yǔ)句后，打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：_____．14．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．15．已知，，且，則的最小值是______.16．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則點(diǎn)表示的區(qū)域面積為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，都垂直于平面，且，，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)平面，求的值；（2）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求四面體的體積.18．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的大小；（2）若，求面積的最大值.19．（12分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.20．（12分）記拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且直線(xiàn)的斜率為1，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）若，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，，求直線(xiàn)的斜率.21．（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面ABCD滿(mǎn)足AD∥BC，，，E為AD的中點(diǎn)，AC與BE的交點(diǎn)為O.（1）設(shè)H是線(xiàn)段BE上的動(dòng)點(diǎn)，證明：三棱錐的體積是定值；（2）求四棱錐的體積；（3）求直線(xiàn)BC與平面PBD所成角的余弦值．22．（10分）某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長(zhǎng)社團(tuán)，由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問(wèn)卷成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱(chēng)為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱(chēng)為“理科方向”學(xué)生.理科方向文科方向總計(jì)男110女50總計(jì)（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線(xiàn)定理、圓錐曲線(xiàn)和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】因?yàn)榫€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，如下圖所示：所以有，而是中點(diǎn)，連接，故，因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有，所以有，而是中點(diǎn)，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn).故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力，考查了分類(lèi)討論思想.2、B【解題分析】

，利用整體換元法求最小值.【題目詳解】由已知，又，，故當(dāng)，即時(shí)，.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.3、B【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期，最終得到結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期，即故答案為：B.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.4、C【解題分析】

畫(huà)出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可．【題目詳解】如圖；連接相關(guān)點(diǎn)的線(xiàn)段，為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，可知，，可知平面，即可證明，所以①正確；直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角就是直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為；正確；過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖：是五邊形．所以③不正確；如圖：三棱錐的體積為：由條件易知F是GM中點(diǎn)，所以,而，．所以三棱錐的體積為，④正確；故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中檔題．5、D【解題分析】

由特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題可判斷選項(xiàng)A；可能相交，可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；或，利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【題目詳解】命題“，”的否定形式是“，”，故A錯(cuò)誤；，，則可能相交，故B錯(cuò)誤；若，則，所以，故，所以C錯(cuò)誤；由，得或，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱(chēng)命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容易題.6、C【解題分析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線(xiàn)面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【題目詳解】在正方體中，因?yàn)椋云矫?，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正方體的幾何特征，線(xiàn)面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.7、D【解題分析】

先求出集合N的補(bǔ)集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【題目詳解】由，，可得或，又所以.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【題目詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，則問(wèn)題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9、D【解題分析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過(guò)平移即可求z的最大值．【題目詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線(xiàn)：在可行域內(nèi)平移當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值.由得：，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線(xiàn)性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的，通過(guò)計(jì)算即可得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以，又當(dāng)時(shí)，的極大值為1，所以當(dāng)時(shí)，的極大值為，設(shè)方程的最小實(shí)根為，，則，即，此時(shí)令，得，所以最小實(shí)根為411.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問(wèn)題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí)，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.11、A【解題分析】因?yàn)椋?，即周期為４，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以可作一個(gè)周期[-2e,2e]示意圖，如圖在（０，１）單調(diào)遞增，因?yàn)椋虼耍xＡ．點(diǎn)睛：函數(shù)對(duì)稱(chēng)性代數(shù)表示（1）函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）；（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，（3）函數(shù)周期為T(mén),則12、C【解題分析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【題目詳解】，；，；，；，；，此時(shí)不滿(mǎn)足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得．故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖的計(jì)算，意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.【題目詳解】程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的取值如下所示：是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán)，所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：1故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.14、-1【解題分析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求z的最大值．【題目詳解】作出實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示；由z＝x+2y﹣1，得yx，平移直線(xiàn)yx，由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)yx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)yx的縱截距最小，此時(shí)z最?。桑肁（﹣1，﹣1），此時(shí)z的最小值為z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1，故答案為﹣1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線(xiàn)性規(guī)劃題目的常用方法，是基礎(chǔ)題15、8【解題分析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【題目詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8，故答案為：8.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先畫(huà)出滿(mǎn)足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分即可求解.【題目詳解】畫(huà)出實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足表示的平面區(qū)域，如圖（陰影部分）：則陰影部分的面積，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）【解題分析】

（1）利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用相似三角形的性質(zhì)，得出，從而得出的值；（2）利用線(xiàn)面垂直的判定定理得出平面，進(jìn)而得出四面體的體積，計(jì)算出，，即可得出四面體的體積.【題目詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以又因?yàn)?，都垂直于平面，所以又，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，且，所以.（2）因?yàn)?，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，所以又因?yàn)?，都垂直于平面，平面，所以因?yàn)槠矫妫云矫嫠?，四面體的體積，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即三角形面積的最大值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識(shí)，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）在不等式兩邊平方化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為二次不等式，解此二次不等式即可得出結(jié)果；（2）利用絕對(duì)值三角不等式可證得成立.【題目詳解】（1），，由得，不等式兩邊平方得，即，解得或.因此，不等式的解集為；（2），，由絕對(duì)值三角不等式可得.因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明不等式，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20、（1）（2）0【解題分析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線(xiàn)，與聯(lián)立，得，再由弦長(zhǎng)公式，求解.（2）設(shè)，根據(jù)直線(xiàn)的斜率為1，則，得到，再由，所以線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，然后直線(xiàn)的方程與直線(xiàn)的方程聯(lián)立解得交點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，說(shuō)明直線(xiàn)軸，直線(xiàn)的斜率為0.【題目詳解】（1）依題意，，則直線(xiàn)，聯(lián)立得；設(shè)，則，解得，故拋物線(xiàn)的方程為.（2），因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為1，則，所以，因?yàn)椋跃€(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.直線(xiàn)的方程為，即①直線(xiàn)的方程為，即②聯(lián)立①②解得即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即直線(xiàn)軸，故直線(xiàn)的斜率為0.如果直線(xiàn)的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，綜上所述，直線(xiàn)的斜率為0.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線(xiàn)的方程、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解題分析】

（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為梯形，且，所以四邊形BCDE為平行四邊形，則BE∥CD，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)镠為線(xiàn)段BE上的動(dòng)點(diǎn)，的面積是定值，從而三棱