新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)4指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長的比較5信息技術(shù)支持的函數(shù)研究課件北師大版必修第一冊

§4

指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較*§5

信息技術(shù)支持的函數(shù)研究自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑隨

堂

練

習(xí)課標定位素養(yǎng)闡釋1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征;知道直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.3.感受數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)直觀的作用,提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較【問題思考】1.閱讀材料,回答下列問題.假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下:方案一:每天回報40元;方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元;方案三:第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.請問,你會選擇哪種投資方案?(1)設(shè)第x天所得的回報為y元,那么上述三種投資方案對應(yīng)的函數(shù)模型分別是什么?(2)上述三個函數(shù)分別是什么類型的函數(shù)?其單調(diào)性如何?(3)一般情況下,函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)在區(qū)間(0,+∞)上的增長速度是怎樣的?(4)判斷某個增函數(shù)增長快慢的依據(jù)是什么?提示:(1)方案一對應(yīng)的函數(shù)為y=40(x∈N+);方案二對應(yīng)的函數(shù)為y=10x(x∈N+);方案三對應(yīng)的函數(shù)為y=0.4×2x-1(x∈N+).(2)函數(shù)y=40(x∈N+)是常數(shù)函數(shù),是不增不減函數(shù);函數(shù)y=10x(x∈N+)是一次函數(shù),是增函數(shù);函數(shù)y=0.4×2x-1(x∈N+)是指數(shù)型函數(shù),是增函數(shù).(3)y=ax(a>1)中y隨x的增大,增長速度越來越快,y=logax(a>1)中y隨x的增大,增長速度會越來越慢,y=xn(n>0)中y隨x的增大,增長速度與n值有關(guān).(4)依據(jù)是自變量每改變一個單位,函數(shù)值增長量的大小.增長量越大,增長速度越快.2.對于y=ax(a>1),y=logbx(b>1)和y=xc(x>0,c>0)這三個函數(shù),隨著自變量x的增大,y=ax的函數(shù)值增長遠遠大于

y=xc的函數(shù)值增長;而y=xc的函數(shù)值增長又遠遠大于

y=logbx的函數(shù)值增長.當?shù)讛?shù)a>1時,由于指數(shù)函數(shù)y=ax的值增長非常快,人們稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸

”.3.下列函數(shù)隨x的增大而增大且速度最快的是(

)答案:A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變.(

√

)(2)指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長特點是隨自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快.(

√

)(3)對數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長特點是隨自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢.(

√

)(4)冪函數(shù)y=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和對數(shù)函數(shù)y=logbx(b>1)之間.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

函數(shù)模型增長差異的比較【例1】

函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.

(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù).(2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(4022),g(4022)的大小.解:(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.(2)因為f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,4

022>x2.從題中圖象上可以看出,當x1<x<x2時,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).當x>x2時,f(x)>g(x),所以f(4

022)>g(4

022).又因為g(4

022)>g(6),所以f(4

022)>g(4

022)>g(6)>f(6).由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法:根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時,通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢,即隨著自變量的增長,圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).【變式訓(xùn)練1】

函數(shù)f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的圖象如圖.(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù);(2)以兩圖象交點為分界點,對f(x),g(x)的大小進行比較.解:(1)曲線C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x-1,曲線C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=lg

x.(2)當0<x<x1時,g(x)>f(x);當x1<x<x2時,f(x)>g(x);當x>x2時,g(x)>f(x);當x=x1或x=x2時,f(x)=g(x).探究二

比較大小(方法2)畫出函數(shù)y1=log3x,y2=log5x的圖象,如圖所示,由圖可知,當x>1時,函數(shù)y=log3x的大致圖象在函數(shù)y=log5x的圖象的上方,∴l(xiāng)og32.5>log52.5.解決這類題目的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),若指數(shù)相同而底數(shù)不同,則考慮冪函數(shù);若指數(shù)不同而底數(shù)相同,則考慮指數(shù)函數(shù);若底數(shù)不同,指數(shù)也不同,需引入中間量,利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,也可以借助冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象.探究三

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的應(yīng)用【例3】

某汽車制造商在2023年初公告:公司計劃2023年生產(chǎn)目標定為43萬輛.已知該公司2020年、2021年、2022年的汽車生產(chǎn)量如表(將2020定義為第一年).第x年123年產(chǎn)量y/萬輛81830現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型:一元二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),哪個模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與x的關(guān)系?解:建立年產(chǎn)量y(單位:萬輛)與x的函數(shù),可知該函數(shù)圖象必過點(1,8),(2,18),(3,30).將點(1,8),(2,18),(3,30)的坐標分別代入f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,與計劃誤差為1.4.綜上可得,函數(shù)模型f(x)=x2+7x能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與x的關(guān)系.數(shù)學(xué)知識來源于客觀實際,服務(wù)于實際生活.數(shù)學(xué)是人們認識世界、改造世界的工具,其中函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來描述.面臨一個實際問題,選擇合適的數(shù)學(xué)模型是一件非常重要的事情,根據(jù)三種不同的增長模型的特點,選擇符合實際的模型,才能產(chǎn)生更大的經(jīng)濟效益.【變式訓(xùn)練3】

候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模的遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為:(其中a,b是實數(shù)).據(jù)統(tǒng)計,該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位,而其耗氧量為90個單位時,其飛行速度為1m/s.(1)求出a,b的值;(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個單位?隨

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習(xí)1.下列函數(shù)增長速度最慢的是(

)A.y=6x B.y=log6x

C.y=x6 D.y=6x答案:B2.(多選題)以下說法不正確的有(

).A.冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)的速度快B.當a>0,且a≠1時,對任意的x>0,xa>logaxC.當a>0,且a≠1時,對任意的x>0,ax>logaxD.當a>1,n>0時,一定存在x0使得當x>x0時,總有ax>xn>logax解析:對于A,冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次項系數(shù)的影響,冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定,增長速度無法比較;對于B,C,當0<a<1時,顯然不成立.D是正確的.答案:ABC3.函數(shù)y1=log3x與函數(shù)y2=3x,當x從1增加到m時,函數(shù)的增量分別是Δy1與Δy2,則Δy1

Δy2.(填“>”“=”或“<”)

解析:因為對數(shù)函數(shù)在x>1后的增長速度小于指數(shù)函數(shù)的增長速度,所以Δy1<Δy2.答案:<4.甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系圖象如圖所示,治污效果較好的是

.

答案:乙

5.汽車在行駛中,由于慣性,剎車