新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第7章概率2古典概型2.2古典概型的應(yīng)用課件北師大版必修第一冊

2.2

古典概型的應(yīng)用自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

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析隨

堂

練

習課標定位素養(yǎng)闡釋1.通過實例學會應(yīng)用古典概型.2.會從不同角度建立不同的概率模型并理解互斥事件概率加法公式,能應(yīng)用公式解決實際問題.3.通過建立概率模型來解決簡單的實際問題,體會數(shù)學建模的學科素養(yǎng).

自主預習·新知導學一、古典概型的求解【問題思考】1.古典概型的基本特征是什么?提示:一是有限性,即樣本空間為有限樣本空間;二是等可能性,樣本空間的各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.3.求解古典概型中樣本空間的樣本點總數(shù),常用的方法是什么?提示:列舉法.4.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表參加某項活動,甲被選中的概率為(

)答案:C二、互斥事件的概率加法公式【問題思考】1.思考下列兩個問題:(1)什么是互斥事件?怎樣用Venn圖表示?(2)請根據(jù)Venn圖直觀判斷出P(A∪B)與P(A),P(B)的大小關(guān)系.提示:(1)一般地,不能同時發(fā)生的兩個事件A與B(A∩B=?)稱為互斥事件.Venn圖如圖所示.

A,B互斥(2)P(A)≤P(A∪B),P(B)≤P(A∪B).2.在試驗E“拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,觀察骰子擲出的點數(shù)”中,設(shè)事件A表示“擲出的點數(shù)為奇數(shù)”,事件B表示“擲出的點數(shù)為4”,事件A與B是否為互斥事件?試探究P(A),P(B)與P(A+B)有怎樣的關(guān)系.提示:事件A和事件B是互斥事件.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)在古典概型中,概率加法公式為P(A∪B)=P(A)+P(B).(

×

)(2)兩個互斥事件的概率加法公式可以推廣到n個兩兩互斥事件的概率加法公式.(

√

)(3)當一個事件的情況比較復雜時,我們可以用求其對立事件的概率的方法間接地來求它的概率.(

√

)(5)如果P(A)≤P(B),那么A?B.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究一

構(gòu)建不同的概率模型解決問題【例1】

從1,2,3,4,5,6中任取兩個數(shù)字組成一個兩位數(shù),求組成的兩位數(shù)大于50的概率.解法1:依題意知,樣本空間Ω={12,13,14,15,16,21,23,24,25,26,31,32,34,35,36,41,42,43,45,46,51,52,53,54,56,61,62,63,64,65},共有30個樣本點.設(shè)“組成的兩位數(shù)大于50”為事件A,則事件A包含的樣本點有51,52,53,54,56,61,62,63,64,65,共10個.由古典概型的概率計算公式,得解法2:由于50的個位數(shù)字是0,因此大于50的兩位數(shù)只要十位上的數(shù)字不小于5即可.十位上的數(shù)字的所有可能結(jié)果是1,2,3,4,5,6,即此樣本空間共包含6個樣本點.設(shè)十位上的數(shù)字不小于5為事件A,則事件A包含的樣本點有5,6,共有2個.由古典概型的概率計算公式,得可以用傳統(tǒng)解法,但是樣本點較多;還可以從另一角度巧妙建立古典概率模型,使樣本點個數(shù)較少,理解、運算都較簡便.【變式訓練1】

求連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次,擲出的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率.解法1:設(shè)事件A表示“擲出的點數(shù)之和為奇數(shù)”,用(i,j)表示拋擲的結(jié)果,其中i表示第一次擲出的點數(shù),j表示第二次擲出的點數(shù),顯然此樣本空間中共包含36個樣本點.其中事件A包含的(i,j)只能為(奇,偶)或(偶,奇),所以事件A包含的樣本點個數(shù)為3×3+3×3=18.3×3+3×3=18.故解法2:設(shè)事件A表示“擲出的點數(shù)之和為奇數(shù)”,用(i,j)表示拋擲的結(jié)果,其中i表示第一次擲出的點數(shù),j表示第二次擲出的點數(shù).若把試驗的所有可能結(jié)果取為(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),則它們也組成等可能樣本點的樣本空間,共有4個樣本點.事件A包含的樣本點個數(shù)為2.故探究二

互斥事件的概率的求法【例2】

黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表:已知同種血型的人之間可以相互輸血,O型血可以給任一種血型的人輸血,任何血型人的血都可以輸給AB型血的人,其他不同血型的人之間不能互相輸血,小明是B型血,若他因病需要輸血,問:(1)任找一人,其血可以輸給小明的概率是多少?(2)任找一人,其血不能輸給小明的概率是多少?分析:將比例化為概率,根據(jù)事件之間的關(guān)系,選擇概率公式計算.解:把任找一人,其血型為A,B,AB,O型血的事件分別記為A',B',C',D',它們兩兩互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.(1)因為B,O型血的人可以輸血給B型血的人,所以“任找一人,其血可以輸給小明”為事件B'∪D',根據(jù)互斥事件的概率加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血的人不能輸血給B型血的人,故“任找一人,其血不能輸給小明”為事件A'∪C',根據(jù)互斥事件的概率加法公式,得P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.解決此類題的關(guān)鍵是明晰概率加法公式應(yīng)用的前提是“各事件是互斥事件”,對于較難判斷關(guān)系的,必要時可利用Venn圖或列出試驗的樣本空間及隨機事件進行分析.【變式訓練2】

由經(jīng)驗得知,在某商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及概率如下表:(1)至多有2人排隊的概率是多少?(2)至少有2人排隊的概率是多少?排隊人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.30.10.04解:設(shè)商場付款處排隊等候付款的人數(shù)為0,1,2,3,4,5人及以上的事件依次為A0,A1,A2,A3,A4,A5,可知這六個事件兩兩互斥.(1)設(shè)事件B表示“至多有2人排隊”,則B=A0∪A1∪A2,P(B)=P(A0∪A1∪A2)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)設(shè)事件C表示“至少有2人排隊”,則C=A2∪A3∪A4∪A5,P(C)=P(A2∪A3∪A4∪A5)=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.探究三

建立概率模型解決實際問題【例3】

有A,B,C,D四位貴賓,應(yīng)分別坐在a,b,c,d四個席位上.現(xiàn)在這四人均未留意,在四個席位上隨意就座.求:(1)這四人恰好都坐在自己的席位上的概率;(2)這四人恰好都未坐在自己的席位上的概率.解:將A,B,C,D四位貴賓就座情況用圖表示出來.1.本例條件不變,求這四人恰有一人坐在自己的席位上的概率.解:記事件C為“這四人恰有一人坐在自己的席位上”,則事件C含有8個樣本點,2.本例條件不變,求這四人中至少有兩人坐在自己的席位上的概率.1.當事件個數(shù)沒有明顯規(guī)律,且涉及的樣本點又不太多時,可用樹狀圖法直觀地將其表示出來,樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點.2.若事件可以表示成有序?qū)崝?shù)對的形式,則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示,這樣可以準確地找出樣本點的個數(shù).利用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀.【變式訓練3】

某兒童樂園在六一兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,如圖7-2-1.每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)(指針指向分界線則重轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下:①若xy≤3,則獎勵玩具一個;②若xy≥8,則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.分析:理解游戲規(guī)則?列出樣本點?查找所求事件的樣本點個數(shù)?計算概率?比較大小.解:用數(shù)對(x,y)表示小亮兩次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤記錄的數(shù),則樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含的樣本點總數(shù)為16.易

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析因建模錯誤而致誤【典例】

把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲2次,求出現(xiàn)兩次正面朝上的概率.錯解

把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲2次,面朝上的可能結(jié)果有“2次正面”,“2次反面”,“1次正面,1次反面”,共3種,即有3個樣本點.所以出現(xiàn)2次正面朝上的概率為以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:因為“1次正面,1次反面”包含“一正一反”和“一反一正”2種情況,所以出現(xiàn)“2次正面”“2次反面”“1次正面,1次反面”的可能性是不相同的,因此,把這3個事件看成樣本點建立的模型不是古典概型.正解:把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲2次,朝上的面出現(xiàn)“2次正面”,“2次反面”,“一正一反”和“一反一正”4種可能的結(jié)果,即有4個樣本點并且這4個樣本點出現(xiàn)的可能性相等,這個模型是古典概型.所以出現(xiàn)2次正面朝上的概率為分清事件是不是古典概型,找準樣本空間的所有樣本點.隨

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練

習1.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的不是一等品”的概率為(

)A.0.7 B.0.65

C.0.35 D.0.3解析:抽到的不是一等品的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案:C2.已知隨機事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,則

=(

).A.0.5 B.0.2 C.0.7 D.0.8解析:因為A與B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(A)=0.5-0.3=0.2,因此