4.3.1.2等比數(shù)列的性質(zhì)教學設計-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念4.3.1.2等比數(shù)列的性質(zhì)教學設計一、新課程標準要求知識技能核心素養(yǎng)1.探索并掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，并簡化數(shù)列的運算；2.從函數(shù)角度分析等比數(shù)列的單調(diào)性，體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系；3.能在具體問題的情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列等比與等差的關系，并解決相應問題，提升學生的邏輯推理思想。數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模二、教學法自主式學習，啟發(fā)式教學三、教學用具PPT課件、沃希白板、黑板等教學重難點根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的性質(zhì)；2、從函數(shù)角度分析等比數(shù)列的單調(diào)性并靈活使用。五、教學過程（一）引言《道德經(jīng)》中寫道：“合抱之木，生于毫末；九層之臺，起于累土；千里之行，始于足下。”《莊子·天下》中寫道：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭?！薄稄埱稹そㄋ憬?jīng)》中寫道：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈。問半月織幾何？”這句古句名言不僅告訴我們許多人生哲理，還蘊藏著眾多數(shù)學知識。要解決其中隱藏的數(shù)學問題就必須用到等比數(shù)列的性質(zhì)，這也是本節(jié)課探究的主題。（二）復習引入回顧前面所學知識，完成以下幾個問題：等比數(shù)列的定義是什么？需要注意的關鍵點是哪些？等比數(shù)列的通項公式是什么？在推導通項公式時運用的方法是什么？等比中項的公式是什么？【師生互動】學生思考2分鐘，然后有學生作答。學生1:對于一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的比是同一個常數(shù)（且不為零），這樣的數(shù)列稱為等比數(shù)列，此常數(shù)稱為公比。學生2：an=a1*qn1=a1*qn1=a2*qn2=a3*qn3=......，采用的方法是累乘法。學生3：若三個數(shù)，，成等比數(shù)列，則叫做與的等比中項，且有A2=a*b。（三）新知探究自主探究一、等比數(shù)列任意兩項間的關系想一想：你能類比等差數(shù)列性質(zhì)的研究，分析等比數(shù)列的性質(zhì)嗎？問題1：在等差數(shù)列中，若則你能猜想出數(shù)列為等比數(shù)列，若則。并給以證明。證明：設等比數(shù)列的首項是a1，公比是q，則an=a1*qn1，am=a1*qm1,as=a1*qs1，at=a1*qt1,所以an*am=a1*qn1*a1*qm1=a12*qn+m1,as*at=a1*qs1*a1*qt1=a12*qs+t1,所以an*am=as*at.特別地，當m+n=2p時，則推廣：若等比數(shù)列是有窮數(shù)列，則與首末兩項“等距離”的兩項的積等于首末兩項的積。數(shù)學符號表示為：a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…。此推廣性質(zhì)也成為等比數(shù)列的對稱性?！驹O計意圖】采用類比的思想，通過熟悉的等差數(shù)列來分析等比數(shù)列的特點，讓學生體會從熟悉到未知的探索。合作探究二、等比數(shù)列的單調(diào)性問題2：觀察以下幾個等比數(shù)列，說一說首項和公比并判斷數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？（1）1，3，9，27，81......（2）1，3，9，27，81......【師生互動】本環(huán)節(jié)采用小組討論的形式，有學生探究出問題答案。小組成果展示，（1）（2）（3）（4）歸納總結(jié)：遞增等比數(shù)列的特點是什么？遞減等比數(shù)列的特點是什么？說一說：若公比q=1時，等比數(shù)列是什么數(shù)列呢？若q<0，等比數(shù)列是什么數(shù)列呢？學生4：常數(shù)列，擺動數(shù)列。在q<0的前提下，若a1>0則等比數(shù)列的各項呈現(xiàn)正負正負交替的特點；若a1<0則等比數(shù)列的各項呈現(xiàn)負正負正交替的特點。思考：能不能根據(jù)通項公式的改寫出發(fā)，從函數(shù)的角度分析等比數(shù)列的單調(diào)性?！驹O計意圖】先從具體的數(shù)列出發(fā)，歸納總結(jié)出等比數(shù)列的單調(diào)性，然后通過函數(shù)的角度加以驗證，從而保證結(jié)論的正確性，提升學生從不同的角度思考問題的能力。探究三、等比數(shù)列之間的聯(lián)系問題3：若等比數(shù)列，公比是q。問：數(shù)列是否為等比數(shù)列，公比分別是多少？問題4：若等比數(shù)列是項數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別是q1,q2。問：數(shù)列是否為等比數(shù)列，公比分別是多少？并給以證明。變形：數(shù)列是否仍為等比數(shù)列，請舉例說明？舉例：1,1,1,1,1,...與1,1,1,1,1,.....舉例：1,2,4,8,16,...與8,2,1/2,1/8,1/16,.....探究四、構造新數(shù)列已知數(shù)列是一個無窮等比數(shù)列，公比是q。問：將數(shù)列中的前k項去掉，剩余各項組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？若取出數(shù)列中的所有偶數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？在數(shù)列中，每隔10項取出一項，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個猜想嗎？答案：1、2、3、4、猜想：【設計意圖】在學習過程中，培養(yǎng)學生敢于猜想也要善于猜想的意識。（四）典例精析題型一：等比數(shù)列性質(zhì)例1若數(shù)列是等比數(shù)列，.例1已知延申：已知（2）（3）（2）【設計意圖】通過例1，體會運用等比數(shù)列的性質(zhì)解題會大大地縮小計算量。題型二：等比數(shù)列性質(zhì)的運用例2設數(shù)列是等比數(shù)列，公比是q，則下列數(shù)列：例2中，一定是等比數(shù)列的是。（2）（強化開放思維）等比數(shù)列滿足如下條件：單調(diào)遞增，試寫出滿足上述條件的一個數(shù)列的通項公式。答案：（1）1，4，6（2）【設計意圖】通過例2，體會等比數(shù)列之間的聯(lián)系，同時第2問也為學生提供一個開拓思維的機會，發(fā)展思維的多方面性。題型三：構造新數(shù)列例3已知數(shù)列的首項.例3若數(shù)列是等差數(shù)列，公差d=2，證明數(shù)列為等比數(shù)列；若數(shù)列是等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列；思考：已知如果數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列是否一定是等比數(shù)列？如果數(shù)列是是各項均為正的等比數(shù)列，那么數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？分析過程：【設計意圖】體會等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系。限時訓練答案：B,A,C,2【設計意圖】對所學知識學以致用，加深理解。六、課后小結(jié)請同學們回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學習的哪些數(shù)學知識？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？3.還有哪些困惑？分層次作業(yè)選做題：小組合作出2道題有關等比數(shù)列知識的試題課后思考：等比數(shù)列的實際應用用10000元購買某個理財產(chǎn)品一年.(1)若