新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇專題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講基本初等函數(shù)函數(shù)與方程核心考點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)和方程教師用書

核心考點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)和方程核心知識(shí)·精歸納1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．(4)函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2.二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．多維題組·明技法角度1：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或存在情況1.函數(shù)f(x)＝2x＋lnx－1的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(B)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))【解析】f(x)＝2x＋lnx－1是在(0，＋∞)上的增函數(shù)．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2)＋lneq\f(1,2)－1＝eq\r(2)－1－ln2，∵eq\r(2)－1<eq\f(1,2)，ln2>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2)－1－ln2<0，又∵f(1)＝2＋ln1－1＝1>0，∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).故選B．2.(2023·咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xex，x<0，,lnx＋1，x≥0，))則函數(shù)g(x)＝f(f(x))－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(A)A．1 B．0C．2 D．3【解析】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xex，x<0，,lnx＋1，x≥0，))對(duì)y＝－xex?y′＝－(x＋1)ex，令y′>0?x<－1，令y′<0?0>x>－1，可知y＝－xex在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1,0)上單調(diào)遞減，且x趨向負(fù)無窮時(shí)，y>0，x＝－1時(shí)，ymax＝eq\f(1,e)，故結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，可畫出函數(shù)f(x)圖象如下圖所示：函數(shù)g(x)＝f(f(x))－1的零點(diǎn)，即f(f(x))＝1，令t＝f(x)，代入可得f(t)＝1>eq\f(1,e)，由圖象可知t＝e－1，即f(x)＝e－1，結(jié)合函數(shù)圖象可知，f(x)＝e－1有1個(gè)解，綜合可知，函數(shù)g(x)＝f(f(x))－1的零點(diǎn)有1個(gè)．故選A．角度2：已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或存在情況求參數(shù)及其范圍3.若f(x)＝x＋2x＋a的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(－1,1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(7,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))【解析】因?yàn)閒(x)＝x＋2x＋a的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(－1,1)，又函數(shù)f(x)＝x＋2x＋a在R上單調(diào)遞增，則需f(－1)·f(1)<0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1＋\f(1,2)))·(a＋1＋2)<0，解得－3<a<eq\f(1,2).4.(2023·漢濱區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(f(x))－a，若g(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(－∞，1]__.【解析】設(shè)h(x)＝f(f(x))，當(dāng)x≤0時(shí)，ex>0，f(f(x))＝lnex＝x；當(dāng)0<x≤1時(shí)，lnx≤0，f(f(x))＝elnx＝x；當(dāng)x>1時(shí)，lnx>0，f(f(x))＝ln(lnx)．綜上可得，h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤1，,lnlnx，x>1.))函數(shù)y＝ln(lnx)的定義域?yàn)?1，＋∞)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)y＝ln(lnx)單調(diào)遞增．又h(e)＝ln(lne)＝0，作出h(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)a≤1時(shí)，曲線h(x)與y＝a恒有兩個(gè)交點(diǎn)，即g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a的取值范圍是(－∞，1]．方法技巧·精提煉1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)利用零點(diǎn)存在性定理判斷法．(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(3)幾何法：對(duì)于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．2.利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法加固訓(xùn)練·促提高1.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝2x－1，則函數(shù)y＝f(x)－|log4|x||的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(D)A．2 B．4C．6 D．8【解析】y＝f(x)－|log4|x||的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即y＝f(x)與y＝|log4|x||的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖象可得共有8個(gè)交點(diǎn)．故選D．2.曲線y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4，x>a，,x－1x－3，x≤a))與x軸有且只有2個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A．1≤a≤2 B．a(chǎn)≥3C