2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題真題精講精練+變式訓(xùn)練 專題3.2浙江寧波卷（壓軸8道+變式32道）（解析版）

【沖刺2022】之2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題真題精講精練+變式訓(xùn)練專題3.2浙江省寧波市卷（壓軸8道+變式訓(xùn)練32道）說明：本專輯精選了2021年浙江省寧波市卷失分較多和難度較大的題目8道，分別是第10題平行四邊形的計(jì)算問題、第15題反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、第16題四邊形與相似、三角函數(shù)相結(jié)合問題、第19題二次函數(shù)的性質(zhì)綜合問題、第21題銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、第22題方程與函數(shù)的應(yīng)用問題、第23題幾何綜合探究問題、第24題圓的綜合壓軸問題，每道題精講精析，配有變式練習(xí)各4道，浙江省寧波市變式訓(xùn)練題共32道，試題解析共75頁.【壓軸一】平行四邊形的計(jì)算問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江寧波市·中考第10題）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，另兩張直角三角形紙片的面積都為，中間一張矩形紙片的面積為，與相交于點(diǎn)O．當(dāng)?shù)拿娣e相等時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)△AED和△BCG是等腰直角三角形，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a，HE=GF，GH=EF，點(diǎn)O是矩形HEFG的中心，設(shè)AE=DE=BG=CG=a，HE=GF=b，GH=EF=c，過點(diǎn)O作OP⊥EF于點(diǎn)P，OQ⊥GF于點(diǎn)Q，可得出OP，OQ分別是△FHE和△EGF的中位線，從而可表示OP，OQ的長，再分別計(jì)算出，，進(jìn)行判斷即可【詳析詳解】解：由題意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，∴∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF∴AE=DE=BG=CG∵四邊形HEFG是矩形∴GH=EF，HE=GF設(shè)AE=DE=BG=CG=a，HE=GF=b，GH=EF=c過點(diǎn)O作OP⊥EF于點(diǎn)P，OQ⊥GF于點(diǎn)Q，∴OP//HE，OQ//EF∵點(diǎn)O是矩形HEFG的對(duì)角線交點(diǎn)，即HF和EG的中點(diǎn)，∴OP，OQ分別是△FHE和△EGF的中位線，∴，∵∵∴，即而，所以，，故選項(xiàng)A符合題意，∴，故選項(xiàng)B不符合題意，而于都不一定成立，故都不符合題意，故選：A【方法小結(jié)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出S1，S2，S3之間的關(guān)系．【變式訓(xùn)練】【變式1.1】（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB≠BC，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，AE平分∠FAD，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，有如下結(jié)論：①AE⊥EF，②AF＝CF+CD，③AF＝CF+AD，④AB＝BF，其中正確的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④【分析】首先延長AD，交FE的延長線于點(diǎn)M，易證得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三線合一的知識(shí)，可得AE⊥EF．【詳解】解：延長AD，交FE的延長線于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠M＝∠EFC，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△DEM和△CEF中，∠??=∠??????∠??????=∠??????????=????，∴△DEM≌△CEF（AAS），∴EM＝EF，過點(diǎn)E作ET⊥AM于T，ER⊥AF于R．∵AE平分∠FAD，∴ET＝ER，在Rt△ETM和Rt△ERF中，????=????????=????，∴Rt△ETM≌Rt△ERF（HL），∴∠M＝∠AFM，∴AM＝AF，∵EF＝EM，∴AE⊥EF，故①正確，由AF＝AD+DM＝CF+AD，故③正確，②錯(cuò)誤．∵AF不一定是∠BAD的角平分線，∴AB不一定等于BF，故④錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式1.2】（2021春?鄞州區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，分別作點(diǎn)C關(guān)于AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)G，H，連接CG，CH，AG，AH，GH．如果AB＝30，∠EAF＝30°，?ABCD的面積為2703，那么下列說法不正確的是（）A．CE=3CF B．∠GAH＝60° C．GH＝AF+CF D．△GCH的面積是?ABCD的面積的一半【分析】由平行四邊形的面積公式可求AF＝93，由直角三角形的性質(zhì)可求CE，CF的長，可判斷A選項(xiàng)；由軸對(duì)稱的性質(zhì)和周角的性質(zhì)可求∠GAH＝60°，可判斷B選項(xiàng)；可證△AGH是等邊三角形，由三角形的三邊關(guān)系可得AF+CF＞GH，可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出△GHC的面積可判斷選項(xiàng)D，即可求解．【詳解】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠BAE＝90°﹣∠B，∠DAF＝90°﹣∠D，∵?ABCD的面積為2703，∴AB×AF＝30AF＝2703，∴AF＝93，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠B+90°﹣∠B+90°﹣∠D+30°＝180°，∴∠B＝∠D＝30°，∴AE=12AB＝15，BE=3AE＝153，AD＝2AF＝183，DF=3AF＝27，∴EC＝BC﹣BE＝33，CF＝DC﹣DF＝30﹣27＝3，∴CE=3CF，故選項(xiàng)A不符合題意；如圖，連接AC，∵點(diǎn)C關(guān)于AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)G，H，∴AC＝AG＝AH，∠BAC＝∠BAG，∠DAC＝∠DAH，∴∠GAH＝360°﹣∠BAC﹣∠GAB﹣∠DAC﹣∠DAH＝360°﹣2∠BAD＝60°，故選項(xiàng)B不符合題意，∵∠GAH＝60°，AG＝AH＝AC，∴△AGH是等邊三角形，∴GH＝AC，在△AFC中，AF+CF＞AC，∴AF+CF＞GH，故選項(xiàng)C符合題意，∵AE＝15，CE＝33，∴AC=????2+????2=225+27=67，∴△GHC的面積=34×（67）2+93×3+33×15＝1353=12S?ABCD，故選項(xiàng)D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．【變式1.3】（2021?寧波模擬）如圖，四邊形ABCD和DEFG均為正方形，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在邊BC上，連接CG和EG．若知道正方形ABCD和DEFG的面積，則一定能求出（）A．四邊形ABFE的周長 B．四邊形ECGD的周長 C．四邊形AEGD的周長 D．四邊形ACGD的周長【分析】利用正方形的性質(zhì)，證明△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，表示出四邊形ECGD的周長為AC+2DE，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD和DEFG均為正方形，∴AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（ASA），∴AE＝CG，∴四邊形ECGD的周長＝EC+CG+GD+DE＝EC+AE+GD+DE＝AC+2DE，因?yàn)橹勒叫蜛BCD和DEFG的面積，所以它們的邊長和對(duì)角線均可確定，即AC與DE確定，一定能求出四邊形ECGD的周長，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是把要求四邊形的邊長轉(zhuǎn)化為已知正方形的邊．【變式1.4】（2021?海曙區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，過F作EF∥AB交邊BC于點(diǎn)E，P為邊AB上一點(diǎn)，PH⊥DE交線段DE于H，交線段EF于Q，連接DQ．當(dāng)AF＝AB時(shí)，要求陰影部分的面積，只需知道下列某條線段的長，該線段是（）A．EF B．DE C．PH D．PE【分析】過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，由“ASA”可證△PMQ≌△DCE，可得PQ＝DE，由面積關(guān)系可求解．【詳解】解：過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，如圖：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥DC，AD∥BC，∠C＝90°，∵EF∥AB，∴EF∥DC，∴∠EDC＝∠DEF，∵PH⊥DE，PM⊥EF，∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°，又∵∠PQM＝∠EQH，∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC，在△PMQ和△DCE中，∠??????=∠??????????=????∠??????=∠??，∴△PMQ≌△DCE（ASA），∴PQ＝DE，∴陰影部分的面積＝S△PDE﹣S△QED=12×DE×PH?12DE×QH=12DE2，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【壓軸二】反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)【真題再現(xiàn)】（2021·浙江寧波市·中考第15題）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，我們把點(diǎn)稱為點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”．如圖，矩形的頂點(diǎn)C為，頂點(diǎn)E在y軸上，函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)A．若點(diǎn)B是點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)B在矩形的一邊上，則的面積為_________．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，點(diǎn)B不可能在坐標(biāo)軸上，可對(duì)點(diǎn)B進(jìn)行討論分析：①當(dāng)點(diǎn)B在邊DE上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)B在邊CD上時(shí)；分別求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出的面積即可．【詳析詳解】解：根據(jù)題意，∵點(diǎn)稱為點(diǎn)的“倒數(shù)點(diǎn)”，∴，，∴點(diǎn)B不可能在坐標(biāo)軸上；∵點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上，設(shè)點(diǎn)A為，則點(diǎn)B為，∵點(diǎn)C為，∴，①當(dāng)點(diǎn)B在邊DE上時(shí)；點(diǎn)A與點(diǎn)B都在邊DE上，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解；∴點(diǎn)B為，∴的面積為：；②當(dāng)點(diǎn)B在邊CD上時(shí)；點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解；∴點(diǎn)B為，∴的面積為：；故答案為：或．【方法小結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解分式方程，坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．【變式訓(xùn)練】【變式2.1】（2021?北侖區(qū)二模）如圖，A，B，D三點(diǎn)在反比例函數(shù)y=63??的圖象上，AD與y軸交于點(diǎn)C，連接BC并延長交反比例函數(shù)y=????的圖象于點(diǎn)E，連接DE．若△ABC，△CDE均為正三角形，且BC∥x軸，則k的值為（）A．93 B．﹣93 C．123 D．﹣123【分析】過A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)D作DG⊥EC于點(diǎn)G，△ABC，△CDE均為正三角形，則CF＝FB，EG＝GC；BC∥x軸，設(shè)CF＝m，則CB＝2m，AF=3m，可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，63??），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，33??），則有63???33??=3??，m可得，點(diǎn)A，B，C坐標(biāo)可知；求出直線AC的解析式與反比例函數(shù)y=63??聯(lián)立可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，由DG⊥EC，D，G的橫坐標(biāo)相同，G，C縱坐標(biāo)相同，于是點(diǎn)E坐標(biāo)可得，用待定系數(shù)法，k值可求．【詳解】解：過A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)D作DG⊥EC于點(diǎn)G，如圖，∵△ABC，△CDE均為正三角形，∴CF＝FB，EG＝GC．∵BC∥x軸，∴設(shè)CF＝m，則CB＝2m，AF=3m．∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，63??），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，33??）．則有63???33??=3??．∵m＞0，∴m=3．∴A（3，6），B（23，3）．∴OC＝3，AF＝3．∴C（0，3）．設(shè)直線AC的解析式為：y＝nx+b，∴??=33??+??=6．解得：??=3??=3．∴y=3x+3．∴??=3??+3??=63??．解得：??=?23??=?3或??=3??=6．∴D（﹣23，﹣3）．∵DG⊥EC，BC∥x軸，∴CG＝23．∴EC＝43．∴E（?43，3）．∴k＝﹣43×3＝﹣123．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形．利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和由線段的長度得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式2.2】（2021?寧波模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有菱形OABC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），對(duì)角線OB、AC相交于點(diǎn)D，雙曲線y=????（x＞0）經(jīng)過AB的中點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且OB?AC＝40，下列四個(gè)結(jié)論：①雙曲線的解析式為y=7??（x＞0）；②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（74，4）；③sin∠CAO=55；④AC+OB＝65．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，過B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)菱形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征以及勾股定理逐一分析即可．【詳解】解：如圖，過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，過B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，∵A（5，0），∴OA＝5，∴S菱形OABC＝OA?BM=12AC?OB=12×40＝20，即5BM＝20，∴BM＝4，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝4，由勾股定理可得AM＝3，∵F為AB中點(diǎn)，∴FG是△ABM的中位線，∴FG＝BM＝2，MG=12AM=32∴F（72，2）∵雙曲線過點(diǎn)F，∴k＝xy=72×2＝7，∴雙曲線解析式為y=7??（x＞0），故①正確；②由①知，BM＝4，故設(shè)E（x，4）．將其代入雙曲線y=7??（x＞0），得4=7??，∴x=74∴E（74，4）．易得直線OE解析式為：y=167x，故②正確；③過C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，可知四邊形CHMB為矩形，∴HM＝BC＝5，∵AM＝3，∴OM＝5﹣3＝2，∴OH＝5﹣OM＝3，∴AH＝5+3＝8且CH＝BM＝4，∴tan∠CAO=????????=48=12，故③正確；④在直角△OBM中，OM＝2，BM＝4，由勾股定理得到：OB=????2+????2=22+42=25．∵OB?AC＝40，∴AC=4025=45，∴AC+OB＝65，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，熟練掌握運(yùn)用菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2.3】（2021?北侖區(qū)一模）如圖1，矩形的一條邊長為x，周長的一半為y．定義（x，y）為這個(gè)矩形的坐標(biāo)．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線x＝1，y＝3將第一象限劃分成4個(gè)區(qū)域．已知矩形1的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A落在如圖所示的雙曲線上，矩形2的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在區(qū)域④中．則下面敘述中正確的是（）A．點(diǎn)A的橫坐標(biāo)有可能大于3 B．矩形1是正方形時(shí)，點(diǎn)A位于區(qū)域② C．當(dāng)點(diǎn)A沿雙曲線向上移動(dòng)時(shí)，矩形1的面積減小 D．當(dāng)點(diǎn)A位于區(qū)域①時(shí)，矩形1可能和矩形2全等【分析】A、根據(jù)反比例函數(shù)k一定，并根據(jù)圖形得：當(dāng)x＝1時(shí)，y＜3，得k＝xy＜3，因?yàn)閥是矩形周長的一半，即y＞x，可判斷點(diǎn)A的橫坐標(biāo)不可能大于3；B、根據(jù)正方形邊長相等得：y＝2x，得點(diǎn)A是直線y＝2x與雙曲線的交點(diǎn)，畫圖，如圖2，交點(diǎn)A在區(qū)域③，可作判斷；C、先表示矩形面積S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，當(dāng)點(diǎn)A沿雙曲線向上移動(dòng)時(shí)，x的值會(huì)越來越小，矩形1的面積會(huì)越來越大，可作判斷；D、當(dāng)點(diǎn)A位于區(qū)域①，得x＜1，另一邊為：y﹣x＞2，矩形2的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在區(qū)域④中得：x＞1，y＞3，即另一邊y﹣x＞0，可作判斷．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A（x，y），A、設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y=????（k≠0），由圖形可知：當(dāng)x＝1時(shí)，y＜3，∴k＝xy＜3，∵y＞x，∴x＜3，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)不可能大于3，故選項(xiàng)A不正確；B、當(dāng)矩形1為正方形時(shí)，邊長為x，y＝2x，則點(diǎn)A是直線y＝2x與雙曲線的交點(diǎn)，如圖2，交點(diǎn)A在區(qū)域③，故選項(xiàng)B不正確；C、當(dāng)一邊為x，則另一邊為y﹣x，S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，∵當(dāng)點(diǎn)A沿雙曲線向上移動(dòng)時(shí)，x的值會(huì)越來越小，∴矩形1的面積會(huì)越來越大，故選項(xiàng)C不正確；D、當(dāng)點(diǎn)A位于區(qū)域①時(shí)，∵點(diǎn)A（x，y），∴x＜1，y＞3，即另一邊為：y﹣x＞2，矩形2落在區(qū)域④中，x＞1，y＞3，即另一邊y﹣x＞0，∴當(dāng)點(diǎn)A位于區(qū)域①時(shí)，矩形1可能和矩形2全等；故選項(xiàng)④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象和新定義，有難度，理由x和y的意義是關(guān)鍵，并注意數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．【變式2.4】（2021?濟(jì)南一模）已知點(diǎn)P（a，m），Q（b，n）都在反比例函數(shù)y=?1??的圖象上，且a＜0＜b，則下列結(jié)論中，一定正確的是（）A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n【分析】由點(diǎn)P（a，m），Q（b，n）都在反比例函數(shù)y=?1??的圖象上，且a＜0＜b，可知點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)Q在第四象限，此時(shí)m＞0＞n得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)P（a，m），Q（b，n）都在反比例函數(shù)y=?1??的圖象上，且a＜0＜b，∴點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)Q在第四象限，∴m＞n；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在各自的象限內(nèi)，函數(shù)值是如何隨自變量的變化而變化的性質(zhì)，根據(jù)自變量的取值范圍和k的值，判斷點(diǎn)所在的象限是解題的關(guān)鍵．【壓軸三】四邊形與相似、三角函數(shù)相結(jié)合問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江寧波市·中考第16題）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊上，G為中點(diǎn)，連結(jié)分別與交于M，N兩點(diǎn)，若，，則的長為________，的值為__________．【思路點(diǎn)撥】由與關(guān)于直線對(duì)稱，矩形證明再證明可得再求解即可得的長；先證明可得：設(shè)則再列方程，求解即可得到答案．【詳析詳解】解：與關(guān)于直線對(duì)稱，矩形矩形為的中點(diǎn)，如圖，四邊形都是矩形，設(shè)則解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，但不合題意，舍去，故答案為：【方法小結(jié)】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的解法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式3.1】（2021?寧波模擬）如圖，在菱形ABCD中，分別過B，D作對(duì)邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，H，BF與DG相交于點(diǎn)P，BE與DH相交于點(diǎn)Q，圍成面積為3的小菱形PBQD，若cosA=35，則菱形ABCD的面積為43．【分析】設(shè)PF＝3x，DP＝5x，在直角三角形DPF中，由勾股定理可求DF，由菱形面積公式可求x2=320，由三角函數(shù)可求AB＝10x，由菱形的面積公式可求解．【詳解】解：∵BF⊥AD，DG⊥AB，∴∠AFP＝∠AGP＝90°，∴∠A+∠FPG＝180°，又∵∠DPF+∠FPG＝180°，∴∠A＝∠DPF，∴cosA=35=cos∠DPF=????????，∴設(shè)PF＝3x，DP＝5x，∴DF=????2?????2=4x，∵四邊形DPBQ是菱形，∴BP＝DP＝5x，∴BF＝8x，∴5x×4x=3，∴x2=320，∵cosA=35=????????，BF＝8x，∴AB＝10x，AF＝6x，∴菱形ABCD的面積＝10x×8x＝80x2＝43，故答案為43．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，利用參數(shù)解決問題是解本題的關(guān)鍵．【變式3.2】（2021春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，M是△AEF三條高的交點(diǎn)，且AC=2a，EF=3b，則AM＝2??2?3??2．【分析】過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，構(gòu)造平行四邊形ECFM，矩形AECH，平行四邊形AMFH，利用平行四邊形的性質(zhì)推知FH⊥EF，利用勾股定理求AM的長度．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，∵EM⊥AF，AF⊥CD，∴EM∥CF．同理可得：FM∥EC．∴四邊形ECFM為平行四邊形．∴FM＝EC．由題意可得四邊形AECH是矩形，∴AH∥EC，AH＝EC，AC＝EH，∴AH∥FM，AH＝FM．∴四邊形AMFH是平行四邊形．∴AM∥FH，AM＝FH．設(shè)EM與AF的交點(diǎn)為G，則FN，EG是△AEF的高．∵銳角三角形AEF的三條高線交于M，∴AM⊥EF，∴FH⊥EF．∵AC=2a，EF=3b，∴AM＝FH=????2?????2=(2??)2?(3??)2=2??2?3??2．故答案為2??2?3??2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3.3】（2021春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD=2，E為CD中點(diǎn)，連接AE，且AE＝23，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，則BF的值為4﹣22．【分析】延長AE交BC的延長線于G，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE＝DE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得到∠DAE＝∠G＝30°，然后利用“角角邊”證明△ADE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG＝AD，AE＝EG，然后解直角三角形求出AF、GF，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于N，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得BM＝CN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根據(jù)BF＝BM﹣MF計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，延長AE交BC的延長線于G，∵E為CD中點(diǎn)，∴CE＝DE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠G＝30°，在△ADE和△GCE中，∠??????=∠??∠??????=∠??????????=????，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴CG＝AD=2，AE＝EG＝23，∴AG＝AE+EG＝23+23=43，∵AE⊥AF，∴AF＝AGtan30°＝43×33=4，GF＝AG÷cos30°＝43÷32=8，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于N，則MN＝AD=2，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BM＝CN，∵M(jìn)G＝AG?cos30°＝43×32=6，∴CN＝MG﹣MN﹣CG＝6?2?2=6﹣22，∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM＝∠G＝30°，∴FM＝AF?sin30°＝4×12=2，∴BF＝BM﹣MF＝6﹣22?2＝4﹣22．故答案為：4﹣22．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形，過上底的兩個(gè)頂點(diǎn)作出梯形的兩條高．【變式3.4】（2021春?海曙區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），以AD，CD為一組鄰邊作平行四邊形ADCE，當(dāng)DE的值最小時(shí)，平行四邊形ADCE周長為4+213．【分析】根據(jù)題意，可知當(dāng)DE⊥AE時(shí)，DE取得最小值，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，即可得到AD、CD的長，從而可以得到當(dāng)DE的值最小時(shí)，平行四邊形ADCE周長．【詳解】解：當(dāng)DE⊥AE時(shí)，DE取得最小值，設(shè)此時(shí)CD＝x，∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴CD＝AE，AD＝CE，BC∥AE，∵∠B＝90°，DE⊥AE，∴四邊形BAED是矩形，∴BD＝AE，∴BD＝CD＝x，∵BC＝BD+CD，BC＝4，∴BD＝CD＝2，∵AB＝3，∠B＝90°，∴AD=????2+????2=22+32=13，∴當(dāng)DE的值最小時(shí)，平行四邊形ADCE周長為：2+13+2+13=4+213，故答案為：4+213，【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【壓軸四】二次函數(shù)的性質(zhì)綜合問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江寧波市·中考第19題）如圖，二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象的對(duì)稱軸為直線．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．【思路點(diǎn)撥】（1）把二次函數(shù)化為一般式，再利用對(duì)稱軸：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函數(shù)的解析式為：，再結(jié)合平移后拋物線過原點(diǎn)，則從而可得平移方式及平移后的解析式．【詳析詳解】解：（1）．∵圖象的對(duì)稱軸為直線，∴，∴．（2）∵，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，∴拋物線向下平移3個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn)，∴平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為．【方法小結(jié)】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像的平移，熟練掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式4.1】（2021?寧波模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2（a≠0）的圖象經(jīng)過（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2．（1）求證：拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若|x1﹣x2|＝1，則|y1﹣y2|＝1，求x1+x2的值．（3）當(dāng)1＜x1＜x2＜2時(shí)，y1＜y2，求a的取值范圍．【分析】（1）證明拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，只需判斷△＞0即可；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2，x1﹣x2＜0，|x1﹣x2|＝1，得出x1＝x2﹣1，再求出y1﹣y2＝﹣2x2+3，|y1﹣y2|＝1求出x2即可；（3）由1＜x1＜x2＜2時(shí)，y1＜y2，分a＞0和a＜0兩種情況討論即可．【詳解】證明：（1）二次函數(shù)y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2與x軸交點(diǎn)數(shù)即為方程ax2+（2a﹣4）x﹣2＝0的解的個(gè)數(shù)，∵△＝（2a﹣4）2﹣4a×（﹣2）＝4a2﹣8a+16＝4（a﹣1）2+12≥12，∴△＞0，∴拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；解：（2）當(dāng)a＝1時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∵|x1﹣x2|＝1，∴x1﹣x2＝﹣1，即x1＝x2﹣1，∴??1=(??2?1)2?2(??2?1)?2=??22?4x2+1，??2=??22?2??2?2，∴y1﹣y2＝﹣2x2+3，∵|y1﹣y2|＝1，即|﹣2x2+3|＝1，∴﹣2x2+3＝1或﹣1，∴x2＝1或x2＝2，∴x1＝x2﹣1＝0或1，∴x1+x2＝1或3；（3）由1＜x1＜x2＜2時(shí)，y1＜y2，得：當(dāng)a＞0時(shí)，有對(duì)稱軸x=?2???42??≤1，∴a≥1，當(dāng)a＜0時(shí)，有對(duì)稱軸x=?2???42??≥2，∴a≥23，∵a＜0，∴無解，綜上所述，a的取值范圍為a≥1．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，開口方向等知識(shí)的運(yùn)用．【變式4.2】（2021?寧波模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸，y軸分別相交于A（6，0），B（0，﹣6）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)y＝kx+b的表達(dá)式．（2）若二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+n圖象的頂點(diǎn)在直線AB上，①設(shè)a＝﹣2，當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；②二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+n與x軸正半軸始終有交點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）A（6，0），B（0，﹣6）代入一次函數(shù)y＝kx+b即可得答案；（2）頂點(diǎn)在直線AB上，可得n＝a2+a﹣6，①a＝﹣2時(shí)n＝﹣4，二次函數(shù)為y＝x2+4x﹣4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣2，﹣8），分別求出x＝﹣3和3時(shí)y的值，畫出圖象數(shù)形結(jié)合即可得到答案；②二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+n＝x2﹣2ax+a2+a﹣6，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為（a，a﹣6），圖象與x軸正半軸始終有交點(diǎn)，分兩種情況：（一）a＞0時(shí)，只需滿足△≥0，（二）a≤0時(shí)，需滿足△≥0，且圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a2+a﹣6＜0，分別求出a的范圍即可．【詳解】解：（1）A（6，0），B（0，﹣6）代入一次函數(shù)y＝kx+b得：0=6??+???6=??，解得??=1??=?6，∴一次函數(shù)y＝kx+b的表達(dá)式為y＝x﹣6；（2）二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+n圖象的頂點(diǎn)為（a，﹣a2+n），∵頂點(diǎn)在直線AB上，∴﹣a2+n＝a﹣6，可得n＝a2+a﹣6，①a＝﹣2時(shí)，n＝﹣4，二次函數(shù)為y＝x2+4x﹣4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣2，﹣8），當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝﹣7，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝17，如圖：∴當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，y的取值范圍是﹣8≤y≤17；②二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+n＝x2﹣2ax+a2+a﹣6，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為（a，a﹣6），△＝（﹣2a）2﹣4（a2+a﹣6）＝﹣4a+24，圖象與x軸正半軸始終有交點(diǎn)，分兩種情況：（一）a＞0時(shí)，只需滿足△≥0，∴﹣4a+24≥0，解得a≤6，∴0＜a≤6，（二）a≤0時(shí)，需滿足△≥0，且圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a2+a﹣6＜0，即（a+3）（a﹣2）＜0，解得：﹣3＜a＜2，∴﹣3＜a≤0，綜上所述，圖象與x軸正半軸始終有交點(diǎn)，0＜a≤6或﹣3＜a≤0．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，涉及一次函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，列出不等式求解．【變式4.3】（2021?鄞州區(qū)模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，2），B（2，5）．（1）求線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝x2+mx+n經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）若拋物線y＝x2+mx+3與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．【分析】（1）先設(shè)出AB所在的直線函數(shù)解析式，然后用待定系數(shù)法求出解析式，再令x＝0，求出y即可；（2）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（3）先聯(lián)立拋物線和直線解析式組成方程組，解方程組，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)即△＞0，再根據(jù)方程得根﹣1≤x≤2即可求得m的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)線段AB所在的直線的函數(shù)解析式為：y＝kx+b（﹣1≤x≤2，2≤y≤5），∵A（﹣1，2），B（2，5），∴2=???+??5=2??+??，解得：??=1??=3，∴AB的解析式為：y＝x+3（﹣1≤x≤2，2≤y≤5），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴線段AB與y軸的交點(diǎn)為（0，3）；（2）∵拋物線y＝x2+mx+n經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴2=1???+??5=4+2??+??，解得：??=0??=1，∴拋物線的解析式為：y＝x2+1；（3）∵拋物線y＝x2+mx+3與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴聯(lián)立方程??=??2+????+3??=??+3，得x+3＝x2+mx+3，整理得：x2+（m﹣1）x＝0，∵拋物線y＝x2+mx+3與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴方程x2+（m﹣1）x＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即△＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2＞0，∵（m﹣1）2≥0，∴當(dāng)m≠1時(shí)△＞0，解方程x2+（m﹣1）x＝0得：x1＝0，x2＝1﹣m，∵線段AB的取值范圍為：﹣1≤x≤2，∴①﹣1≤1﹣m＜0時(shí)，得1＜m≤2，②0＜1﹣m≤2時(shí)，得﹣1≤m＜1，綜上所述m的取值范圍為﹣1≤m≤2且m≠1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的交點(diǎn)以及交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與判別式△的關(guān)系，關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的綜合掌握和綜合運(yùn)用．【變式4.4】（2021?寧波模擬）拋物線y＝﹣x2+2x+3交x軸于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），交y軸于點(diǎn)C頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸MD交x軸于點(diǎn)D，E是線段MD上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)B，BE為鄰邊作平行四邊形OBEF，EF交拋物線于點(diǎn)P，G（P在G的左邊），交y軸于點(diǎn)H．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）如圖1，當(dāng)EG＝FP時(shí)，求DE的長；（3）如圖2，當(dāng)DE＝1時(shí)，①求直線FC的解析式，并判斷點(diǎn)M是否落在該直線上．②連接CG，MG，CP，MP，記△CGM的面積為S1，△CPM的面積為S2，則??1??2=2+3．【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝﹣x2+2x+3可得C點(diǎn)坐標(biāo)；令y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，解方程即可得出點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，則可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）由平行四邊形的性質(zhì)及拋物線的對(duì)稱性可得答案；（3）①求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求直線FC的解析式，根據(jù)拋物線的解析式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由CF的解析式驗(yàn)證即可判斷點(diǎn)M是否落在該直線上．②作PR⊥FM，GS⊥FM，垂足分別為點(diǎn)R，S，連接PM，CG，F(xiàn)M，由DE＝1，可得關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出點(diǎn)P和點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，從而可得PH、GH，計(jì)算出FH、FP及FG的長，則可利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算求解．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+2x+3交x軸于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，∴C（0，3），令y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）∵B（3，0），∴OB＝3，如圖1，在?OBEF中，EF＝OB＝3．∵M(jìn)D為拋物線的對(duì)稱軸，∴EG＝PE，∵EG＝PF，∴FP＝PE＝1.5，∴OD＝HE＝1，∴PH＝0.5．令??=?12，則??=?(?12)2+2×(?12)+3=74，∴????=74．（3）①∵EF＝OB＝3，OD＝HE＝1，∴FH＝2，∵DE＝1，∴F（﹣2，1），設(shè)直線FC的解析式為y＝kx+b，有?2??+??=1??=3，解得??=1??=3．∴直線FC的解析式為y＝x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴點(diǎn)M（1，4），∴點(diǎn)M在該直線上．②如圖2，作PR⊥FM，GS⊥FM，垂足分別為點(diǎn)R，S，連接PM，CG，F(xiàn)M，∵DE＝1，1＝﹣x2+2x+3，解得??1=3+1，??2=?3+1，∴????=3?1，????=3+1，∵FH＝2，∴????=3?3，????=3+3，于是，??1??2=12?????????12?????????=????????=????????=3+33?3=2+3．故答案為：2+3．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【壓軸五】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用【真題再現(xiàn)】（2021·浙江寧波市·中考第21題）我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)．如圖2是傘完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D已滑動(dòng)到點(diǎn)的位置，且A，B，三點(diǎn)共線，，B為中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，傘完全張開．（1）求的長．（2）當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離．（參考數(shù)據(jù)：）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可求得；（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出．利用角平分線的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求出AE，即可得到答案．【詳析詳解】解：（1）∵B為中點(diǎn)，∴，∵，∴．（2）如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．∵，∴．∵平分，∴．在中，，∴，∴．∵，∴，∴傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為．【方法小結(jié)】此題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確構(gòu)建直角三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式5.1】（2021?寧波模擬）如圖，小明沿著馬路自東向西前行，當(dāng)他位于A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)大廈P位于他的正北方向，醫(yī)院Q位于他的北偏西63.5°方向，當(dāng)他前行300米到達(dá)B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)大廈P位于他的東北方向，醫(yī)院Q位于他的正北方向，求醫(yī)院與大廈的直線距離有多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00）【分析】過Q作QC⊥AP于C，然后根據(jù)三角函數(shù)值求出BQ的值即可解答．【詳解】解：如圖，過Q作QC⊥AP于C，由題意知，QB⊥AB，PA⊥AB，∠PAQ＝63.5°，∠ABP＝45°，AB＝300米，∴∠BAP＝∠ABQ＝90°，∴AP∥BQ，∴四邊形ACQB是矩形，∴∠AQB＝∠PAQ＝63.5°，AC＝BQ，CQ＝AB＝300（米），在Rt△ABP中,∠ABP＝45°,∴PA＝AB＝300米，在Rt△ABQ中，tan63.5°=????????，∴BQ≈3002=150（米），∴PC＝150米，∴PQ=????2+????2=1505≈335（米），故醫(yī)院與大廈的直線距離有335米．【點(diǎn)睛】本題考查方位角、直角三角形、銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)．把實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題是解題的關(guān)鍵．【變式5.2】（2021?寧波模擬）如圖①，將“歡迎光臨”門掛傾斜放置時(shí)，測(cè)得掛繩的一段AC＝30cm．另一段BC＝20cm．已知兩個(gè)固定扣之間的距離AB＝30cm．（1）求點(diǎn)C到AB的距離；（2）如圖②，將該門掛扶“正”（即AC＝BC），求∠CAB的度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：sin49°≈0.75，cos41°≈0.75，tan37°≈0.75，cos53°≈0.6，tan53°≈43）【分析】（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)BH＝x，則AH＝30﹣x．根據(jù)勾股定理列式計(jì)算可得x的值，進(jìn)而可得CH的值；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AH的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖．設(shè)BH＝x，則AH＝30﹣x．∵CH⊥AB，AC＝30，BC＝20，∴CH2＝AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2，即302﹣（30﹣x）2＝202﹣x2，解得??=203，∴????=????2?????2=202?(203)2=4032（cm）．（2）由已知，得AC＝BC＝25．∵AC＝BC，CH⊥AB，∴????=12????=15，∴??????∠??????=????????=0.6，∴∠BAC≈53°．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的方法．【變式5.3】（2021?北侖區(qū)二模）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，某小組要測(cè)量學(xué)校升旗臺(tái)旗桿的高度．如圖所示，測(cè)得BC∥AD，斜坡AB的長為6m，坡度i＝1：3，在點(diǎn)B處測(cè)得旗桿頂端E的仰角為70°，點(diǎn)B到旗桿底端C的距離為5m．（1）求斜坡AB的坡角α的度數(shù)．（2）求旗桿頂端離地面的高度ED．（參考數(shù)據(jù)sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，結(jié)果精確到1m）【分析】（1）過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，由i＝tan∠BAF=????????=33，可得∠BAF＝30°；（2）由∠BAF＝30°、AB＝6，知CD＝BF=12AB＝3米，再由EC＝BCtan∠EBC可得答案．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，∵i＝tan∠BAF=????????=13=33，∴∠BAF＝30°，即α＝30°，答：斜坡AB的坡角α的度數(shù)是30°．（2）∵∠BAF＝30°，AB＝6，∴CD＝BF=12AB＝3米，在Rt△BCE中，∵∠EBC＝70°，BC＝5，∴EC＝BCtan∠EBC＝5×2.75≈14，則ED＝EC+CD＝3+14＝17（米），答：旗桿頂端離地面的高度ED的長約為17米．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題和坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念和坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式5.4】（2021?鄞州區(qū)模擬）如圖1是一種臺(tái)燈，其主體部分是由與桌面垂直的固定燈桿AB和可轉(zhuǎn)動(dòng)燈桿BC和光源CD組成，當(dāng)燈桿BC繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，光線在桌面上的圓形照明區(qū)域隨著光源到桌面的距離發(fā)生改變．圖2是其示意圖，其中AB⊥AE，CD∥AE，燈桿AB＝16cm，BC＝36cm．（1）當(dāng)燈桿AB與BC的夾角∠ABC為150°時(shí)，求光源CD到桌面AE的距離；（2）若光源CD到AE的距離h與圓形照明區(qū)域半徑r的關(guān)系是h=23r，要使圓形區(qū)域半徑達(dá)到51cm，求燈桿AB與BC的夾角∠ABC的度數(shù)．【分析】（1）通過作垂線，轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出答案；（2）求出h的值，再利用直角三角形的邊角關(guān)系可求出答案．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AE，垂足為G，過點(diǎn)B作BF⊥CG，垂足為F，∵AB⊥AE，CG⊥AE，BF⊥CG，∴四邊形BAGF為矩形．∵AB＝16cm，∴GF＝AB＝16cm，∵∠ABC＝150°，∠ABF＝90°，∴∠FBC＝60°，在Rt△BCF中，CF＝BC?sin60°＝36×32=183（cm），∴CG＝CF+FG＝（16+183）cm，答：光源CD到桌面AE的距離為（16+183）cm；（2）∵r＝51cm，∴h=23r=23×51＝34（cm），在Rt△BCF中，CF＝CG﹣FG＝34﹣16＝18（cm），∵sin∠CBF=????????=1836=12，∴∠CBF＝30°，∴∠ABC＝90°+30°＝120°，答：燈桿AB與BC的夾角∠ABC的度數(shù)為120°．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形得應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．【壓軸六】方程與函數(shù)的應(yīng)用問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江寧波市·中考真題）某通訊公司就手機(jī)流量套餐推出三種方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本費(fèi)用（元）2056266每月免費(fèi)使用流量（兆）1024m無限超出后每兆收費(fèi)（元）nnA，B，C三種方案每月所需的費(fèi)用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）請(qǐng)直接寫出m，n的值．（2）在A方案中，當(dāng)每月使用的流量不少于1024兆時(shí)，求每月所需的費(fèi)用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）在這三種方案中，當(dāng)每月使用的流量超過多少兆時(shí)，選擇C方案最劃算？【思路點(diǎn)撥】（1）m的值可以從圖象上直接讀取，n的值可以根據(jù)方案A和方案B的費(fèi)用差和流量差相除求得；（2）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（3）計(jì)算出方案C的圖象與方案B的圖象的交點(diǎn)表示的數(shù)值即可求解．【詳析詳解】解：（1）．（2）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，把，代入，得，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（注：x的取值范圍對(duì)考生不作要求）（3）（兆）．由圖象得，當(dāng)每月使用的流量超過3772兆時(shí)，選擇C方案最劃算．【方法小結(jié)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式訓(xùn)練】【變式6.1】（2021?寧波模擬）某酒店新裝修，計(jì)劃購買A，B，C三種型號(hào)的餐桌共n套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需600元，一套B型餐桌（一桌六椅）需800元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1000元，要求購買C型餐桌的套數(shù)是A型餐桌的2倍，設(shè)購買x套A型餐桌，三種餐桌購買的總費(fèi)用為y元．（1）當(dāng)n＝160時(shí)，①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．②若購買的B型餐桌套數(shù)與C型餐桌套數(shù)的差不超過12桌，求總費(fèi)用y的最小值，并寫出此時(shí)具體的購買方案．（2）已知學(xué)校實(shí)際購買三種餐桌的總費(fèi)用為16萬元，記購買的三種餐桌椅子的總數(shù)最多的方案為最佳購買方案，求最佳購買方案的椅子總數(shù)m及相應(yīng)n的值．（直接寫出答案）【分析】（1）①總費(fèi)用是三種費(fèi)用之和，得出函數(shù)關(guān)系式，把n＝160代入求出①；②若購買的B型餐桌套數(shù)與C型餐桌套數(shù)的差不超過12套，得出n的最小值再求出總費(fèi)用的最小值．（2）m為購買椅子總數(shù)，先用n的代數(shù)式表示出m，再求出n的最小值，從而求出m的值．【詳解】解：（1）由題意得，A型購買x套，C型購買2x套，B型購買（n﹣3x）套，y＝600x+800（n﹣3x）+1000×2x＝800n+200x，①當(dāng)n＝160時(shí)，y＝800n+200x＝200x+128000；②由題意得：160﹣3x﹣2x＝160﹣5x≤12，解得??≥2935，又∵x為整數(shù)，k＝200＞0，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝30時(shí)，y最小，為200×30+128000＝134000（元），此時(shí)具體的購買方案是：A，B，C三種型號(hào)的餐桌分別購買30套、70套、60套．∴總費(fèi)用y的最小值為134000元，此時(shí)具體的購買方案：A，B，C三種型號(hào)的餐桌分別購買30套、70套、60套；（2）600x+800（n﹣3x）+1000×2x＝160000，化簡得x＝800﹣4n，又n﹣3x≥0，∴??≤??3，即800?4??≤??3，??≥184813，∵n為正整數(shù)，∴n的最小值為185，m＝4x+6（n﹣3x）+8×2x＝1600﹣2n，∴n越小，m的值越大，當(dāng)n＝185時(shí)，m＝1600﹣2×185＝1230．答：最佳購買方案的椅子總數(shù)m是1230，相應(yīng)n的值為185．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意求解．【變式6.2】（2021?寧波模擬）在第24屆中國（昆明泛亞）蘭花博覽會(huì)上，鎮(zhèn)海接過中國蘭花博覽會(huì)會(huì)旗，成為2015年中國第25屆蘭花博覽會(huì)的舉辦地．為了讓這些蘭花走向世界，鎮(zhèn)海區(qū)政府決定組織21輛汽車裝運(yùn)撲地蘭、蕙蘭、春劍蘭這三種蘭花共120噸，參加蘭花博覽會(huì)，現(xiàn)有A型、B型、C型三種汽車可供選擇．已知每種型號(hào)汽車可同時(shí)裝運(yùn)2種蘭花，且每輛車必須裝滿．根據(jù)下表信息，解答問題．每輛汽車運(yùn)載量（噸）每輛汽車的運(yùn)費(fèi)（元）撲地蘭蕙蘭春劍蘭A型車221500B型車421800C型車162000（1）設(shè)A型汽車安排x輛，B型汽車安排y輛，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果三種型號(hào)的汽車都不少于4輛，車輛安排有幾種方案？并寫出每種方案．（3）為節(jié)約運(yùn)費(fèi)，應(yīng)采用（2）中哪種方案？并求出最少運(yùn)費(fèi)．【分析】（1）利用三種汽車一共運(yùn)輸120噸蘭花可以得到函數(shù)關(guān)系式；（2）利用三種汽車都不少于4輛，可以得到有關(guān)x的不等式組，利用解得的不等式組的解得到安排方案即可；（3）根據(jù)題意得到總運(yùn)費(fèi)與自變量x的函數(shù)關(guān)系式，求得其最值即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得4x+6y+7（21﹣x﹣y）＝120，化簡得：y＝﹣3x+27；（2）由??≥4??≥421??????≥4，得??≥4?3??+27≥421????(?3??+27)≥4，解得5≤x≤723，∵x為正整數(shù)，∴x＝5或6或7，故車輛安排有三種方案，即：方案一：A型車5輛，B型車12輛，C型車4輛，方案二：A型車6輛，B型車9輛，C型車6輛，方案三：A型車7輛，B型車6輛，C型車8輛；（3）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W元，則W＝1500x+1800（﹣3x+27）+2000（21﹣x+3x﹣27）＝100x+36600，∵W隨x的增大而增大，且x＝5，6，7，∴當(dāng)x＝5時(shí)，W最小＝37100元．答：為節(jié)約運(yùn)費(fèi)，應(yīng)采用（2）中方案一，最少運(yùn)費(fèi)為37100元．【點(diǎn)睛】本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問題，注意利用一次函數(shù)求最值時(shí)，關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；即由函數(shù)y隨x的變化，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值．【變式6.3】（2021?寧波模擬）小明投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每月銷售的數(shù)量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：x/（元/件）22253035…y/件280250200150…在銷售過程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，物價(jià)局規(guī)定每件商品的利潤不得高于成本價(jià)的60%，（1）請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）設(shè)小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍．（3）當(dāng)售價(jià)定為多少元/件時(shí)，每月可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題意和（1）中的函數(shù)關(guān)系式，可以寫出每月獲得利潤w（元）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍；（3）將（2）中w與x的函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)x的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到當(dāng)售價(jià)定為多少元/件時(shí)，每月可獲得最大利潤，最大利潤是多少．【詳解】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，25??+??=25030??+??=200，得??=?10??=500，即y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+500；（2）由題意可得，w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，∵在銷售過程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，物價(jià)局規(guī)定每件商品的利潤不得高于成本價(jià)的60%，∴x≥20，x﹣20≤20×60%，∴20≤x≤32，即每月獲得利潤w（元）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）；（3）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，20≤x≤32，∴當(dāng)x＝32時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝2160，答：當(dāng)售價(jià)定為32元/件時(shí)，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式6.4】（2021?鎮(zhèn)海區(qū)模擬）某公司銷售甲、乙、丙三種型號(hào)的器材．3月份公司需支付的工資y1（萬元）和其余開支y2（萬元）與總銷售量x的關(guān)系如圖所示．型號(hào)甲乙丙進(jìn)價(jià)（萬元/臺(tái)）0.91.21.1售價(jià)（萬元/臺(tái)）1.21.61.3（1）求y1與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若3月份該公司需支付的工資和其余開支共3.8萬元，求出這個(gè)月三種器材的總銷售量；（3）在（2）的條件下，若3月份公司共花64萬元購進(jìn)甲、乙、丙三種器材，并保證全部賣出．這三種器材的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如上表所示，若3月份的總銷售利潤為16.2萬元，請(qǐng)求出甲、乙、丙三種器材各賣出幾臺(tái)？（總銷售利潤＝銷售總價(jià)﹣總進(jìn)價(jià)工資﹣其余開支）【分析】（1）如圖由待定系數(shù)法可以求出y1與x之間的一次函數(shù)關(guān)系式；（2）依題意可解得y1，y2與x的等式關(guān)系y1+y2＝0.05x+0.2+0.005x+0.3＝3.8，再解方程即可；（3）設(shè)3月份售出甲種型號(hào)器材a臺(tái)，乙種型號(hào)器材b臺(tái)，則售出丙種型號(hào)器材（60﹣a﹣b）臺(tái)，再根據(jù)題意列方程解答即可．【詳解】解：（1）設(shè)y1與x的函數(shù)解析式是y1＝kx+b，根據(jù)題意得??=0.220??+??=1.2，解得??=0.05??=0.2，故y1與x的關(guān)系式為y1＝0.05x+0.2；（2）依題意得：y1+y2＝0.05x+0.2+0.005x+0.3＝3.8，解得：x＝60，故三月份該公司的總銷售量為60臺(tái)；（3）設(shè)3月份售出甲種型號(hào)器材a臺(tái)，乙種型號(hào)器材b臺(tái)，則售出丙種型號(hào)器材（60﹣a﹣b）臺(tái)，根據(jù)題意，得0.9??+1.2??+1.1(60??????)=640.3??+0.4??+0.2(60??????)=16.2+3.8，解得??=24??=28，60﹣a﹣b＝60﹣24﹣28＝8．答：甲種型號(hào)器材24臺(tái)，乙種型號(hào)器材28臺(tái)，售出丙種型號(hào)器材8臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，難度較大，是函數(shù)與不等式的綜合題，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系．【壓軸七】幾何綜合探究問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江寧波市·中考第23題）（證明體驗(yàn)）（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)G．若，，，求的長．（拓展延伸）（3）如圖3，在四邊形中，對(duì)角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)SAS證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先證明，得，進(jìn)而即可求解；（3）在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)，可得，從而得，可得，，最后證明，即可求解．【詳析詳解】解：（1）∵平分，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如圖，在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)．∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，又∵，∴∴，∴，∴．【方法小結(jié)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式7.1】（2021?寧波模擬）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角差為90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，∠C＞90°．①若∠A＝60°，則∠B＝15°；②若∠A＝20°，則∠B＝50或35°．（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，點(diǎn)D在AC邊上，若△ABD是“準(zhǔn)直角三角形”，求CD的長．（3）如圖2，在四邊形ABCD中，CD＝CB，∠ABD＝∠BCD，AB＝5，BD＝6，且△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，求△BCD的面積．【分析】（1）①由“準(zhǔn)直角三角形”的定義可求解；②由“準(zhǔn)直角三角形”的定義可求解；（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解；（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：（1）①當(dāng)∠C﹣∠A＝90°時(shí)，則∠C＝150°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝﹣30°（不合題意舍去），當(dāng)∠C﹣∠B＝90°，則∠C＝∠B+90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝30°，∴∠B＝15°，綜上所述：∠B＝15°，故答案為15°；②當(dāng)∠C﹣∠A＝90°時(shí)，則∠C＝110°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°，當(dāng)∠C﹣∠B＝90°，則∠C＝∠B+90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝70°，∴∠B＝35°，綜上所述：∠B＝50°或35°，故答案為50或35；（2）當(dāng)∠BDA﹣∠DBA＝90°時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC=????2?????2=9?1=22，∵∠BDA﹣∠DBA＝90°，∠BDA＝∠DBC+∠C＝∠DBC+90°，∴∠DBA＝∠DBC，又∵DH⊥AB，DC⊥BC，∴DH＝DC，∵sinA=????????=????????=13，∴DH=13AD＝DC，∴DC=14AC=22，當(dāng)∠BDA﹣∠A＝90°時(shí)，∵∠BDA﹣∠A＝90°，∠BDA＝∠DBC+∠C＝∠DBC+90°，∴∠A＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴????????=????????，∴122=????1，∴CD=24，綜上所述：CD=22或24；（3）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，CE⊥AB，交AB的延長線于E，設(shè)∠ABD＝∠BCD＝2x，∵BC＝CD，CF⊥BD，∴∠CBD＝∠CBE＝90°﹣x，BF＝DF＝3，又∵CF⊥BD，CE⊥AB，∴CE＝CF，又∵BC＝BC，∴Rt△BCE≌Rt△BCF（HL），∴BE＝BF＝3，當(dāng)∠ABC﹣∠ACB＝90°時(shí)，又∵∠ABC﹣∠AEC＝∠BCE，∴∠BCA＝∠BCE，由（2）可知：????????=????????=53，設(shè)AC＝5a，CE＝3a，則AE＝4a＝8，∴a＝2，∴CE＝6＝CF，∴S△BCD=12×6×6＝18，當(dāng)∠ABC﹣∠BAC＝90°，又∵∠ABC﹣∠AEC＝∠BCE，∴∠BAC＝∠BCE，又∵∠E＝∠E＝90°，∴△BCE∽△CAE，∴????????=????????，∴CE＝26，∴S△BCD=12×6×26=66，綜上所述：△BCD的面積為18或66．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．【變式7.2】（2021?寧波模擬）定義：如果將△ABC與△DEF各分割成兩個(gè)三角形，且△ABC所分的兩個(gè)三角形與△DEF所分的兩個(gè)三角形分別對(duì)應(yīng)相似，那么稱△ABC與△DEF互為“近似三角形”，將每條分割線稱為“近似分割線”．（1）如圖1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝30°，∠D＝40°，請(qǐng)判斷這兩個(gè)三角形是否互為“近似三角形”？如果是，請(qǐng)直接在圖1中畫出一組分割線，并注明分割后所得兩個(gè)小三角形銳角的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．（2）判斷下列命題是真命題還是假命題，若是真命題，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“√”；若是假命題，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“×”．①任意兩個(gè)直角三角形都是互為“近似三角形”√；②兩個(gè)“近似三角形”只有唯一的“近似分割線”×；③如果兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等，那么這兩個(gè)三角形一定是互為“近似三角形”×．（3）如圖2，已知△ABC與△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°，且BC＝EF=2+6，判斷這兩個(gè)三角形是否互為“近似三角形”？如果是，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出不同位置的“近似分割線”，并直接分別寫出“近似分割線”的和；如果不是，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)互為“近似三角形”即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)互為“近似三角形”的意義，判斷出是假命題，畫圖說明即可得出結(jié)論；（3）如圖5，先判斷出△BCM≌△FEN（ASA），得出CM＝FN，再構(gòu)造出直角三角形，即可得出結(jié)論；②如圖6，同（1）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）這兩個(gè)三角形是互為“近似三角形”，如圖1所示，；（2）①任意兩個(gè)直角三角形都是互為“近似三角形”，是真命題，如圖2所示，，②兩個(gè)“近似三角形”只有唯一的“近似分割線”，假命題，如圖3所示，在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°；③如果兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等，那么這兩個(gè)三角形一定是互為“近似三角形”，是假命題，如頂角為20°的等腰三角形和一個(gè)銳角為20°的直角三角形，故答案為：√，×，×；（3）這兩個(gè)三角形是互為“近似三角形”，①如圖5，在△BCM和△FEN中，∠??????=∠??????=60°????=????∠??=∠??????=45°，∴△BCM≌△FEN（ASA），∴BM＝FN，過點(diǎn)M作MH⊥BC于H，在Rt△MHC中，設(shè)CH＝x，則MH=3x，CM＝2x，在Rt△BHC中，BH＝MH=3x，∵BC＝x+3x=2+6，∴x=2，∴CM＝22，∴FN＝BM=2BH＝23∴“近似分割線”的和為CM+FN＝22+23；②同①的方法得，△CBM≌FEN（ASA），∴BM＝EN，過點(diǎn)C作CH⊥BM于H，在Rt△BHC中，BH＝CH=????2=1+3，在Rt△CHM中，CM＝2CH＝2+23，MH=3CH＝3+3，∴NE＝BM＝4+23，∴“近似分割線”的和為CM+EN＝6+43，即“近似分割線”的和為6+43或42．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了新定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形是解本題的關(guān)鍵．【變式7.3】（2021?余姚市一模）如果等腰三角形一邊上的高線長恰好等于這邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“優(yōu)美三角形”，這條邊為“優(yōu)美邊”．（1）在如圖1所示的12個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B兩點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在小正方形的頂點(diǎn)上，且△ABC是“優(yōu)美三角形”，請(qǐng)?jiān)趫D中各畫一個(gè)滿足條件的△ABC，并直接寫出∠ABC的正切值．（2）如圖2，已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝2α，點(diǎn)P，Q同時(shí)從B，D出發(fā)以相同的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)tanα＝2，△APQ是“優(yōu)美三角形”，且PQ為“優(yōu)美邊”時(shí)，求????????的值．②試探究P，Q在運(yùn)動(dòng)過程中（不含起點(diǎn)），tanα的范圍與△APQ是“優(yōu)美三角形”的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系（不需要說明理由）．【分析】（1）作出滿足條件的三角形即可解決問題．（2）①如圖2中，連接AC，BD交于點(diǎn)O，AC交PQ于點(diǎn)J．設(shè)CJ＝m，則PJ＝QJ＝2m，AJ＝4m，求出OJ，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．②兩種特殊位置tanα的值，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1中，左邊圖中，當(dāng)高AH＝BC＝2時(shí)，tan∠ABC=????????=2．右邊圖中，當(dāng)AB＝AC，∠BAC＝90°時(shí)，AB邊上的高AC＝AB，此時(shí)tan∠ABC＝tan45°＝1．（2）①如圖2中，連接AC，BD交于點(diǎn)O，AC交PQ于點(diǎn)J．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝2α，∴∠ACB＝∠ACQ＝α，∵BP＝DQ，∴CP＝CQ，∴????????=????????，∴PQ∥BD，∴AC⊥PQ，∵△APQ是“優(yōu)美三角形”，且PQ為“優(yōu)美邊”，∴AJ＝PQ，∵tan∠ACB=????????=2，∴可以假設(shè)CJ＝m，則PJ＝JQ＝2m，AJ＝PQ＝4m，∴AC＝5m，∴OA＝OC=52m，OJ＝OC﹣JC=32m，∵PJ∥OB，∴????????=????????=32????=32．②如圖3﹣1中，當(dāng)P，Q分別與B，D重合時(shí)，PQ是“優(yōu)美邊”，tanα=12．如圖3﹣2中，當(dāng)α＝45°，P，Q分別與B，D重合時(shí)，AD，AB是“優(yōu)美邊”，此時(shí)tanα＝1，如圖3﹣3中，當(dāng)α＞45°時(shí)，存在兩個(gè)“優(yōu)美三角形”（其中一個(gè)是等腰直角三角形）．綜上所述，當(dāng)tanα＜12時(shí)，不存在“優(yōu)美三角形”，當(dāng)12≤tanα≤1時(shí)，存在一個(gè)“優(yōu)美三角形”，當(dāng)tanα＞1時(shí)，存在兩個(gè)“優(yōu)美三角形”．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，“優(yōu)美三角形”，“優(yōu)美邊”的定義，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考?jí)狠S題．【變式7.4】（2021春?鄞州區(qū)期中）我們把能平分一個(gè)圖形面積的直線稱為該圖形的“好線”．如圖1，三角形的中線所在直線就是該三角形的一條好線．（1）平行四邊形的好線共有無數(shù)條條；（2）如圖2，四邊形ABCD中，取對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，連接OA、OC，再過點(diǎn)O作OE∥AC交CD于E，連接AE．證明：直線AE是四邊形ABCD的“好線”；（3）如圖3，AE為一條“好線”，F(xiàn)為AD邊的一點(diǎn)，請(qǐng)作出經(jīng)過F點(diǎn)的一條“好線”，并說明哪條直線是四邊形ABCD的“好線”（不擦除作圖痕跡，無需說明理由）．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形即可推出答案；（2）證明AE把四邊形分為四邊形ABCE和三角形AED的兩部分面積相等，即可得證；（3）掌握”好線“的特點(diǎn)，結(jié)合（2）平行線的特點(diǎn)即可找到（3）的好線．【詳解】解：（1）∵平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，過其對(duì)稱中心的直線都能把該平行四邊形平分為面積相等的兩部分，∴平行四邊形的好線共有無數(shù)條，故答案為：無數(shù)條；（2）證明：∵O是BD的中點(diǎn)，∴SAOD＝SAOB，S△COD＝S△COB，∴S四邊形AOCB＝S四邊形DAOC=12S四邊形ABCD；又∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE，而S△AOE﹣S△OPE＝S△COE﹣S△OPE，∴S△AOP＝S△CPE，由圖象易知：S四邊形ABCE＝S四邊形AOCB﹣S△AOP+S△CPE，S△AED＝S四邊形DAOC+S△AOP﹣S△CPE，∴S四邊形ABCE＝S△AED=12S四邊形ABCD，而AE把四邊形分為四邊形ABCE和三角形AED兩部分，故直線AE是四邊形ABCD的“好線”；（3）解：連接EF，過點(diǎn)A作EF的平行線交CD于點(diǎn)G，連接FG，交AE于點(diǎn)O，則GF為四邊形ABCD的“好線“．∵EF∥AG，∴S△AGE＝S△ADE，由圖象易知：S△AOF＝S△AGF﹣S△AOG，S△EOG＝S△AGE﹣S△AOG，∴S△AOF＝S△EOG，又∵AE是一條好線，∴S△AED＝S四邊形ABCE，由圖易知：GF將圖形分為三角形DFG和五邊形ABCGF，∵S△DFG＝S△AED﹣S△AOF+S△EOG，S五邊形ABCGF＝S四邊形ABCE﹣S△EOG+S△AOF，∴S△DFG＝S五邊形ABCGF=12S四邊形ABCD，∴GF是四邊形ABCD的“好線“．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合大題，用新定義”好線“的形式考查圖形面積相等的變換，本題理清題目意思，敢于嘗試，充分利用平行線的特點(diǎn)，逐步推理是解題的關(guān)鍵．【壓軸八】圓的綜合壓軸問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江寧波市·中考真題）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點(diǎn)E，滿足，連結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．（1）若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表列．（2）如圖2，連結(jié)．求證；．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，．①若，求的周長．②求的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）利用圓周角定理求得，再根據(jù)，求得，即可得到答案；（2）由，得