2024年中考數(shù)學(xué)專題6 分式方程 講義學(xué)案（學(xué)生版+解析版）

第06講分式方程題型01判斷分式方程題型02分式方程的一般解法題型03分式方程的特殊解法類型一分組通分法類型二分離分式法類型三列項(xiàng)相消法類型四消元法題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題題型05解分式方程的運(yùn)用(新定義運(yùn)算)題型06根據(jù)分式方程解的情況求值題型07根據(jù)分式方程有解或無解求參數(shù)題型08已知分式方程有增根求參數(shù)題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用題型01列分式方程題型02利用分式方程解決實(shí)際問題類型一行程問題類型二工程問題類型三和差倍分問題類型四銷售利潤問題>能解可化為一元一次方程的分式方程問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，程含參問題(較難)、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用解分式方程考點(diǎn)一解分式方程 夯基·必備基礎(chǔ)知識梳理解分式方程常用方法1)去分母法：2)換元法步驟1)找最簡公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；【易錯(cuò)點(diǎn)】方程兩邊同乘最簡公分母時(shí)，最簡公分母有即能為0這樣就產(chǎn)生增2)去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化4)驗(yàn)根，把整式方程的根代入最簡公分母=0是原方程的增根1)設(shè)輔助未知數(shù)；2)得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；3)把輔助未知數(shù)的值代回原式中，求出原來未知數(shù)的值；1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).2.去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)。3.分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).2.去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)。3.分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根.5.解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無意義的根，檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟.6.分式方程有增根與無解并非是同一個(gè)概念.分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.【變式1-1】(2022南明區(qū)二模)下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是()題型02分式方程的一般解法【例2】(2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題)將方程去分母，兩邊同乘(x-1)后的式子為()A.1+3=3x(1-x)B.1+3(x-1)【變式2-1】(2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題)方程的解為 .【變式2-2】(2022.青海西寧·統(tǒng)考中考真題)解方程：解分式方程方法：先通過方程兩邊同乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后需要檢驗(yàn)整式方程的解是不是分式方程的解.題型03分式方程的特殊解法方法簡介：如果整個(gè)方程一起通分，計(jì)算量大又易出錯(cuò)，觀察方程中分母的特點(diǎn)可聯(lián)想分組通分求解.【例3】解方程：類型二分離分式法方法簡介：每個(gè)分式的分母與分子相差1,利用這個(gè)特點(diǎn)可采用分類分式法求解類型三列項(xiàng)相消法方法簡介：根據(jù)分式方程的結(jié)果特點(diǎn)，依據(jù)公式‘化積為差，裂項(xiàng)相消，簡化難度.【例5】我們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，有些單位分?jǐn)?shù)可以拆成兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)的差，!…,請用觀察到的規(guī)律解方移【變式5-2】探索研究：【變式5-3】探索發(fā)現(xiàn)：【變式6-1】閱讀與思考閱讀下面的材料，解答后面的問題.題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題化系數(shù)為1,得x=-6.④以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是()A.①B.②C.③小?。航猓喝シ帜?，得x-(x-3)=x-2去括號，得x-x+3=x-2合并同類項(xiàng)，得3=x-2解得x=5∴原方程的解是x=5解：去分母，得x+(x-3)=1去括號得x+x-3=1合并同類項(xiàng)得2x-3=1(1)她把這個(gè)數(shù)“?”猜成5,請你幫小華解這個(gè)分式方程；題型05解分式方程的運(yùn)用(新定義運(yùn)算)的解為()A.x=1B.x=-這里A.x=4B.x=題型06根據(jù)分式方程解的情況求值圍為()C.m≥-10且m≠-6的所有個(gè)數(shù)為()A.3B.4題型07根據(jù)分式方程有解或無解求參數(shù)A.-3B.1C.2方法技巧方法技巧題型08已知分式方程有增根求參數(shù)A.2B.3【變式11-1】(2021·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模)若關(guān)于x的分式方有增根，則a的值為()題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)正整數(shù)解，則整數(shù)m為【變式12-1】(2020重慶·統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于x的一元一次不等式經(jīng)的解集為x≤a;于y的分式方A.7B.-14C.28A.-4B.-3C考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用 夯基·必備基礎(chǔ)知識梳理用分式方程解決實(shí)際問題的步驟：1)檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.2)檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.答：實(shí)際問題的答案.工作效率=工作總量+工作時(shí)間作總量看作單位1.利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)由題可知的百分之幾出售由題可知弄清和、差、倍、分關(guān)系時(shí)間=路程+速度的路程相向而行，注意出發(fā)時(shí)間程同向而行，注意出發(fā)時(shí)間前者走的路程+兩地間距離路程=速度×?xí)r間提升·必考題型歸納活動(dòng)開始后、實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹50棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹300棵所需時(shí)間相同.設(shè)實(shí)際每天植樹x棵.則下列方程正確的是()是一個(gè)長為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是8:13,且四周邊襯的寬度相等，則邊村的寬度應(yīng)是多少米?設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程()所列方程正確的是()已知采購數(shù)量與第一次相同，但采購單價(jià)比第一次降低10元，總費(fèi)用降低了15%.設(shè)第二次采購單價(jià)為x元，則下列方程中正確的是()劃每小時(shí)多行10km,則提前1小時(shí)到達(dá)目的地.設(shè)這輛汽車原計(jì)劃的速度是xkm/h,根據(jù)題意所列方程是【變式1-5】(2023.重慶江北·校考一模)已知甲碼頭間，輪船由甲碼頭順流而下到乙碼頭所用時(shí)間比逆流而上所用時(shí)間少2小時(shí)，已知水流速度為3千米/時(shí)，求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意列方程為()家6km和10km的實(shí)踐基地參加勞動(dòng).若甲、乙的速度比是3:4,結(jié)果甲比乙提前20min到達(dá)基地，求甲、乙的速度.設(shè)甲的速度為3xkm/h,則依題意可列方程為()題型02利用分式方程解決實(shí)際問題類型一行程問題【例2】(2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題)學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度.【變式2-1】(2023青島市一模)小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同.第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘.第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘.已知騎自行車的速度是步行速度的1.5倍：(2)有一天小李騎自行車出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障.小李立即跑步去上班(耽誤時(shí)間忽略不計(jì))為了至少提前5分鐘到達(dá).則跑步的速度至少為多少千米每小時(shí)?【例3】(2023重慶市模擬預(yù)測)為方便群眾出行，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)修建某段通往高鐵站的快線，已知甲隊(duì)每天修路的長度是乙隊(duì)的1.5倍，如果兩隊(duì)各自修建快線600m,甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天.(2)現(xiàn)計(jì)劃再修建長度為3000m的快線，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成.若甲隊(duì)每天所需費(fèi)用為1萬元，乙隊(duì)每天所需費(fèi)用為0.6萬元，求在總費(fèi)用不超過38萬元的情況下，至少安排乙工程隊(duì)施工多少天?【變式3-1】(2023.重慶渝中.重慶巴蜀中學(xué)校考一模)重慶市潼南區(qū)是中國西部綠色菜都，為全市人民提供了新鮮多樣的蔬菜.今年，區(qū)政府著力打造一個(gè)新的蔬菜基地，計(jì)劃修建灌溉水渠1920米，由甲、乙兩個(gè)工程需要的天數(shù)比甲施工隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程需要的天數(shù)少4天.(2)若甲施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為13萬元，乙施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為15萬元，實(shí)際修建時(shí)先由甲施工隊(duì)單獨(dú)修建若干天，再由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作修建，恰好12天完成修建任務(wù)，求共需修建費(fèi)用多少萬元?類型三和差倍分問題【例4】(2022·廣東深圳-深圳中學(xué)校考一模)2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡.某商家兩次購進(jìn)冰墩墩進(jìn)行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購進(jìn)同款冰墩墩，所購進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價(jià)貴了10元.(2)若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價(jià)銷售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%(不考慮其他因素),那么每將勞動(dòng)從原來的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來.某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動(dòng).據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆.(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元.學(xué)校決定在菜苗基地購買A,B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù).菜苗基地為支持該?；顒?dòng)，對A,B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠.求本次購買最少花費(fèi)多少錢.【變式4-2】(2021-山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題)端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.某超市節(jié)前購進(jìn)了甲、乙兩種暢銷口味的粽子.已知購進(jìn)甲種粽子的金額是1200元，購進(jìn)乙種粽子的金額是800元，購進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個(gè)，甲種粽子的單價(jià)是乙種粽子單價(jià)的2倍.(1)求甲、乙兩種粽子的單價(jià)分別是多少元?(2)為滿足消費(fèi)者需求，該超市準(zhǔn)備再次購進(jìn)甲、乙兩種粽子共200個(gè)，若總金額不超過1150元，問最劃能力，深受人們喜愛.某商場根據(jù)市場需求，采購了A,B兩種型號掃地機(jī)器人.已知B型每個(gè)進(jìn)價(jià)比A型的2倍少400元.采購相同數(shù)量的A,B兩種型號掃地機(jī)器人，分別用了96000元和168000元.請問A,類型四銷售利潤問題【例5】(2023梁山縣三模)某商場計(jì)劃銷售A,B兩種型號的商品，經(jīng)調(diào)查，用1500元采購A型商品的件數(shù)是用600元采購B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)多30元.(1)求一件A,B型商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元?(2)若該商場購進(jìn)A,B型商品共100件進(jìn)行試銷，其中A型商品的件數(shù)不大于B型的件數(shù)，已知A型商品的售價(jià)為200元/件，B型商品的售價(jià)為180元/件，且全部能售出，求該商品能獲得的利潤最小是多少?【變式5-1】(2023銀川市二模)某商場購進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元.已知乙種商品每件進(jìn)價(jià)比甲種商品每件進(jìn)價(jià)多8元，且購進(jìn)的甲、乙兩種商品件數(shù)相同.(1)求甲、乙兩種商品的每件進(jìn)價(jià)；(2)該商場將購進(jìn)的甲、乙兩種商品進(jìn)行銷售，甲種商品的銷售單價(jià)為60元，乙種商品的銷售單價(jià)為88元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好，商場決定：甲種商品銷售一定數(shù)量后，將剩余的甲種商品按原銷售單價(jià)的七折銷售；乙種商品銷售單價(jià)保持不變.要使兩種商品全部售完后共獲利不少于2460元，問甲種第06講分式方程題型01判斷分式方程題型02分式方程的一般解法題型03分式方程的特殊解法類型一分組通分法類型二分離分式法類型三列項(xiàng)相消法類型四消元法題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題題型05解分式方程的運(yùn)用(新定義運(yùn)算)題型06根據(jù)分式方程解的情況求值題型07根據(jù)分式方程有解或無解求參數(shù)題型08已知分式方程有增根求參數(shù)題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用題型01列分式方程題型02利用分式方程解決實(shí)際問題類型一行程問題類型二工程問題類型三和差倍分問題類型四銷售利潤問題的分式方程問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，程含參問題(較難)、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)分式方程的應(yīng)用>能根據(jù)具體問題的實(shí)際意分式方程的應(yīng)用解分式方程考點(diǎn)一解分式方程 夯基·必備基礎(chǔ)知識梳理分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.解分式方程常用方法1)去分母法：2)換元法步驟1)找最簡公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；【易錯(cuò)點(diǎn)】方程兩邊同乘最簡公分母時(shí)，最簡公分母有即能為0%這樣就產(chǎn)生于增2)去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；1)設(shè)輔助未知數(shù)；2)得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；3)把輔助未知數(shù)的值代回原式中，求出原來未知數(shù)的值；增根的概念：在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根.1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).2.去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng).3.分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方5.解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無意義的根，檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟.6.分式方程有增根與無解并非是同一個(gè)概念.分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能;1(a,b為已知數(shù)),其中分式方程有()【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵.【變式1-1】(2022南明區(qū)二模)下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是()【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷.D.方程分母中含未知數(shù)x,故是分式方程，符合題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)(注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母).題型02分式方程的一般解法A.1+3=3x(1-x)B.1+3(x-1)【答案】B【分析】根據(jù)解分式方程的去分母的方法即可得.兩邊同乘(x-1)去分母，得1+3(x-1)=-3x,【點(diǎn)晴】本題考查了解分式方程，熟練掌握去分母的方法是解題關(guān)鍵.【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出x的值.【點(diǎn)睛】本題考查的是解分式方程，解題的關(guān)鍵在于注意分式方程必須檢驗(yàn)根的情況.【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程一定要驗(yàn)根.【答案】7【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可.去分母去括號號∴分式方程的解為x=7.故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).【答案】x=4【分析】根據(jù)方程兩邊同時(shí)乘以2x(x-2),化為整式方程，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算即可求解，最后注意檢驗(yàn).【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以2x(x-2),解得x=4經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解故答案為：x=4【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解分式方程一定要注意檢驗(yàn).解分式方程方法：先通過方程兩邊同乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后需要檢驗(yàn)整式方程的解是不是分式方程的解.題型03分式方程的特殊解法方法簡介：如果整個(gè)方程一起通分，計(jì)算量大又易出錯(cuò)，觀察方程中分母的特點(diǎn)可聯(lián)想分組通分求解.【答案】x=4當(dāng)5-x=0時(shí)，解得x2=5類型二分離分式法方法簡介：每個(gè)分式的分母與分子相差1,利用這個(gè)特點(diǎn)可采用分類分式法求解再進(jìn)一步化簡轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可.【分析】先將原方程變形1-再進(jìn)一步化簡轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解分式方程，正確地將原方程變形是解決問題的關(guān)鍵.方法簡介：根據(jù)分式方程的結(jié)果特點(diǎn)，依據(jù)公式化積為差，裂項(xiàng)相消，簡化難度.……,請用觀察到的規(guī)律解方該方程解是多少?【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)規(guī)律化簡方程，然后解分式方程即可.方程兩邊同乘x(x+10),得：5x=20,解得x=4.經(jīng)檢驗(yàn)x=4是原方程的解，∴原方程的解為x=4解答下列問題： 【分析】(1)根據(jù)已知式子的規(guī)律，即可求解；(2)根據(jù)(1)的規(guī)律化簡方程解分式方程，即可求解.故答案為(2)原方程可化簡為：方程兩邊同時(shí)乘(x+1)(x+2002),得：x【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律題，解分式方程，找到規(guī)律，化簡方程是解題的關(guān)鍵.【變式5-2】探索研究：【分析】(1)根據(jù)所給4個(gè)等式總結(jié)規(guī)律寫出第n個(gè)等式即可；(2)由(1)所得規(guī)律解該分式方程即可，注意驗(yàn)算；(3)由(1)所得規(guī)律變形計(jì)算即可.”…”(2)解：經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的解；(3)解：【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算中的規(guī)律性問題，解分式方程.理解題意，找出所給等式中的規(guī)律，并能用此規(guī)律計(jì)算是解題關(guān)鍵.【變式5-3】探索發(fā)現(xiàn)：根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：(2)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：(3)利用規(guī)律解方程：【分析】(1)根據(jù)簡單的分式可得，相鄰兩個(gè)數(shù)的積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)之差，即可得到(2)根據(jù)(1)規(guī)律將乘法寫成減法的形式，可以觀察出前一項(xiàng)的減數(shù)等于后一項(xiàng)的被減數(shù)，因此可得它們的和.(3)首先利用(2)的和的結(jié)果將左邊化簡，再利用分式方程的解法求解即可.,【詳解】解：(1),(3)已知等式整理得：方程的兩邊同乘x(x+5),得：x+5-x=2x-1,檢驗(yàn)：把x=3代入x(x+5)=24≠0,【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的歸納總結(jié)能力，關(guān)鍵在于根據(jù)簡單的數(shù)的運(yùn)算尋找規(guī)律，是考試的熱點(diǎn).方法簡介：當(dāng)方程中的分式互為倒數(shù)，或不同分式中的分母互為相反式，或方程中分子、分母的二次項(xiàng)與一次項(xiàng)分別相同時(shí)，可考慮用換元法.【例6】用換元法解分式方,若i則原方程可以化為整式方程【答案】【答案】5y2-3y+10=0口口【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解分式方程，當(dāng)分式方程比較復(fù)雜時(shí)，通常采用換元法使分式方程簡化.【變式6-1】閱讀與思考,(2)先把方程變形為再用換元法求解即可.,經(jīng)檢驗(yàn)，y=±3都是原方程的解，,,,【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解可化為一元二次方程的分式方程，解題的關(guān)鍵是正確使用換元法.【答案】答案見解析.可求得y的值，進(jìn)而求得x的值.所以原分式方程的解為x=2和x=0.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法，牢記分式方程的解題步驟是解答的關(guān)鍵.題型04錯(cuò)看或錯(cuò)解分式方程問題解：去分母，得3=2x-(3x+移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得-x=6.③化系數(shù)為1,得x=-6.④以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是()A.①B.②【答案】B【分析】寫出分式方程的正確解題過程即可作出判斷.移項(xiàng)，得-2x+3x=-3-3,合并同類項(xiàng)，得x=-6,∴以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是②.【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵.【變式7-1】(2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題)如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是【答案】5【分析】根據(jù)題意得到方解方程即可求解.去分母得：3-x+2(x-4)=0,故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn).【變式7-2】(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題)小丁和小迪分別解方君解：去分母，得x-(x-3)=x-2去括號，得x-x+3=x-2合并同類項(xiàng)，得3=x-2解得x=5∴原方程的解是x=5解：去分母，得x+(x-3)=1去括號得x+x-3=1合并同類項(xiàng)得2x-3=1解得x=2【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可.去括號，得2x-3=x-2,【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.(1)她把這個(gè)數(shù)“?”猜成5,請你幫小華解這個(gè)分式方程；【分析】(1)“?”當(dāng)成5,解分式方程即可，(2)方程有增根是去分母時(shí)產(chǎn)生的，故先去分母，再將x=2代入即可解答.【詳解】(1)方程兩邊同時(shí)乘以(x-2)得解得x=0【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應(yīng)用.增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可的解為()【答案】D【分析】根據(jù)新定義得出方程【詳解】解：由題意，得D.再解分式方程，求出其解即可.【點(diǎn)睛】本題考查新定義和解分式方程，理解定義和求解分式方程是解題的關(guān)鍵。這里這里A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7【答案】B【分析】根據(jù)題目中定義的新運(yùn)算，將x1轉(zhuǎn)換為分式方程，求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意∵:將x=5代入公分母x-4≠0,∴x=5是原分式方程的解，【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算以及解分式方程，理解題意，熟練掌握解分式方程的一般步驟是本題的關(guān)【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)×由此建立方移解方程即可.·,,題型06根據(jù)分式方程解的情況求值的解為正數(shù)，則m的取值范C.m≥-10且m≠-6【答案】D【分析】分式方程去分母化為整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解為正數(shù)求出m的范圍即可.【詳解】解：去分母得3x=-m+5(x-2),由方程的解為正數(shù)，得到m+10>0,且x≠2,m+10≠4,則m的范圍為m>-10且m≠-6,【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的計(jì)算，去分母化為整式方程，根據(jù)方程的解求出m的范圍，其中考慮到分式方程的分母不可為零是做對題目的關(guān)鍵.【變式9-1】(2020·四川瀘州.中考真題)已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則正整數(shù)m的所有個(gè)數(shù)為()【答案】B【分析】根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，可得不等式，解不等式，即可解題.【詳解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3,∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合條件的不等式的解.【分析】直接解分式方程，進(jìn)而利用分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合分式方程有意義的條件分析得出答案.【詳解】去分母得：1-a+2=x-2,當(dāng)x=1時(shí)，-2×1=a+1,解得a=-3;當(dāng)x=-2時(shí)，-2×(-2)=a+1,解得a=3.所以a的取值范圍是a<-1且a≠-3.方法技巧方法技巧【例10】(2022·四川遂寧.統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于x的方解，則m的值為()【答案】D【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當(dāng)m-4=0時(shí)，當(dāng)m-4≠0時(shí)，x=0或2x+1=0,進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】方程兩邊同乘x(2x+1),得2(2x+1)=mx,,,解得m=0;綜上，m的值為0或4;【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡公分母為0和化成的整式方程無解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【變式10-1】(2022·四川眉山·統(tǒng)考一模)已知關(guān)于x的分式方無解，則k=()A.-3【答案】A【答案】A【分析】先化成整式方程，把x=2代入整式方程，確定k值即可.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無解，熟練掌握分式方程的無解的意義是解題的關(guān)鍵. _【變式10-2】(2023-山東菏澤·?？家荒?已知關(guān)于x的分式方程無解，則a的值為 _【答案】10或0或5【分析】分原方程分母為零和方程的解的分母為零兩種情況分別求解即可，若方程無解，則10-a=0,綜上，a的值為10或0或5.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根和無解，理解分式方程有增根和無解的含義是解題的關(guān)鍵.已知分式方程的解確定字母參數(shù)，首先將分式方程化為整式方程，用含字母參數(shù)的代數(shù)式表x,再根據(jù)解的情況確定字母參數(shù)的取值.同時(shí)要注意原分式方程的最簡公分母不能為零.題型08已知分式方程有增根求參數(shù)A.2B.3【答案】【答案】D【分析】根據(jù)分式方程有增根可求出x=3,方程去分母后將x=3代入求解即可.【詳解】解：∵分式方程2有增根，去分母，得m+4=3x+2(x-3),將x=3代入，得m+4=9,解得m=5.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無解問題，掌握分式方程中增根的定義及增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵.【分析】去分母化分式方程為整式方程，將增根x=2代入整式方程即可求得.去分母，得：6-(x-2)=-ax.將x=2代入整式方程，得：6-(x-2)=-ax,得：6-(2-2)=-2a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的定義是解題的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)分式方程的增根的定義解決此題.x的系數(shù)化為1,得x=-2m+6.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的增根，熟練掌握分式方程的增根的定義是解決本題的關(guān)鍵.依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的值的一般步驟：題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)有正整數(shù)解，則整數(shù)m為【答案】0【分析】先解分式方程，再根據(jù)有正整數(shù)解及分母不為0進(jìn)行求解即可.【詳解】方程兩邊同乘(x-1),得x-2=-mx故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程及分式方程正整數(shù)根的情況，注意分母不等于0是解題的關(guān)鍵.【答案】A【分析】不等式組整理后，根據(jù)已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為正整數(shù)方程，由分式方程有非負(fù)整數(shù)解，確定出a的值，求出之和即可.【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.集為x>3,且關(guān)于y的分式方3有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的值的和是()A.-4B.-3【分析】先分別求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集得到m≤3;再解分式方程，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解得到m≥-3且m≠1,進(jìn)而確定符合題意的m的值即可得到答案.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，根據(jù)分式方程解的情況求參程和解不等式組確定m的取值范圍，進(jìn)而確定m的值是解題的關(guān)鍵.于x的不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，那么符合條件的所有整數(shù)a的值之和是【詳解】解：由解得a≠10,∵關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，解得：8≤a<16,∴滿足題意a的值有14和8,∴符合條件的所有整數(shù)a的值之和是22故答案為：22.【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程、解一元一次不等式組，熟練掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法是解決本題的關(guān)鍵.【變式12-4】(2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考三模)關(guān)于x的不等式組的解集為【分析】根據(jù)不等式組的解集和分式方程的解確定a的取值范圍，即可求解.【詳解】解：解不等式組的解集為x≥3,:滿足條件的整數(shù)a的值為-3,-2,0,1,2,3,4,:滿足條件的整數(shù)a的值為-3,1,3,【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)不等式組的解集和分式方程的解求參數(shù)，非負(fù)整數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握解不等式組考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用 1)檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.2)檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.作總量看作單位1.利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)由題可知的百分之幾出售由題可知弄清和、差、倍、分關(guān)系時(shí)間=路程-速度的路程相向而行，注意出發(fā)時(shí)間、地點(diǎn)程同向而行，注意出發(fā)時(shí)間、地點(diǎn)前者走的路程+兩地間距離路程=速度×?xí)r間相同.設(shè)實(shí)際每天植樹x棵.則下列方程正確的是()比是8:13,列出方程即可.完成了這項(xiàng)工作，即可得出關(guān)于x的分式方程，此【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.已知采購數(shù)量與第一次相同，但采購單價(jià)比第一次降低10元，總費(fèi)用降低了15%.設(shè)第二次采購單價(jià)為x元，則下列方程中正確的是()【答案】D了15%,采購數(shù)量與第一次相同，即可得出關(guān)于x的分式方程.【詳解】解：設(shè)第二次采購單價(jià)為x元，則第一次采購單價(jià)為(x+10)元，【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)【變式1-4】(2022-山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題)一輛汽車開往距出發(fā)地420km的目的地，若這輛汽車比原計(jì)劃每小時(shí)多行10km,則提前1小時(shí)到達(dá)目的地.設(shè)這輛汽車原計(jì)劃的速度是xkm/h,根據(jù)題意所列方程是【分析】設(shè)這輛汽車原計(jì)劃的速度是xkm/h,,則實(shí)際速度為(x+10)km/即可.乙的速度.設(shè)甲的速度為3xkm/h,則依題意可列方程為()程即可.題型02利用分式方程解決實(shí)際問題類型一行程問題小時(shí)，結(jié)果同時(shí)達(dá)到列分式方程，求解即可.答：張老師騎車的速度為15千米/小時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解實(shí)際應(yīng)用題，根據(jù)問題設(shè)未知數(shù)，讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程是解決問題的關(guān)鍵.【變式2-1】(2023青島市一模)小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同.第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘.第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘.已知騎自行車的速度是步行速度的1.5倍：(2)有一天小李騎自行車出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障.小李立即跑步去上班(耽誤時(shí)間忽略不計(jì))為了至少提前5分鐘到達(dá).則跑步的速度至少為多少千米每小時(shí)?【答案】(1)小李步行的速度為6千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為9千米/小時(shí)【分析】(1)設(shè)小李步行的速度為x千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為1.5x千米/小時(shí)，由題意：小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同.第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘.第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘，列出分式方程，解方程即可；(2)設(shè)小李跑步的速度為m千米/小時(shí)，由題意：出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障.小李立即跑步去上班(耽誤時(shí)間忽略不計(jì))為了至少提前5分鐘到達(dá)，列出一元一次不等式，解不等式即可.【詳解】(1)解：設(shè)小李步行的速度為x千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為1.5x千米/小時(shí)，答：小李步行的速度為6千米/小時(shí)，則騎自行車的速度為9千米/小時(shí)；(2)解：小李騎自行車出發(fā)1.5千米所用的時(shí)間為1(小時(shí)),,【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，列【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程；(2)找出數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式.類型二工程問題【例3】(2023重慶市模擬預(yù)測)為方便群眾出行，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)修建某段通往高鐵站的快線，已知甲隊(duì)每天修路的長度是乙隊(duì)的1.5倍，如果兩隊(duì)各自修建快線600m,甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天.(2)現(xiàn)計(jì)劃再修建長度為3000m的快線，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成.若甲隊(duì)每天所需費(fèi)用為1萬元，乙隊(duì)每天所需費(fèi)用為0.6萬元，求在總費(fèi)用不超過38萬元的情況下，至少安排乙工程隊(duì)施工多少天?【答案】(1)甲工程隊(duì)每天修路75米，乙工程隊(duì)每天修路50米.(2)至少安排乙工程隊(duì)施工30天.【分析】(1)設(shè)乙工程隊(duì)每天修路x米，合兩隊(duì)各自修建公路600m時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)(2)設(shè)安排乙工程隊(duì)施工m天，則安排甲工程隊(duì)施工,根據(jù)總費(fèi)用不超過38萬元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：(1)設(shè)乙工程隊(duì)每天修路x米，則甲工程隊(duì)每天修路1.5x米，答：甲工程隊(duì)每天修路75米，乙工程隊(duì)每天修路50米.(2)解：設(shè)安排乙工程隊(duì)施工m天，則安排甲工程隊(duì)施工,答：至少安排乙工程隊(duì)施工30天.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.了新鮮多樣的蔬菜.今年，區(qū)政府著力打造一個(gè)新的蔬菜基地，計(jì)劃修建灌溉水渠1920米，由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作完成.已知乙施工隊(duì)每天修建的長度是甲施工隊(duì)每天修建的長度的而乙施工隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程需要的天數(shù)比甲施工隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程需要的天數(shù)少4天.(2)若甲施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為13萬元，乙施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為15萬元，實(shí)際修建時(shí)先由甲施工隊(duì)單獨(dú)修建若干天，再由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作修建，恰好12天完成修建任務(wù)，求共需修建費(fèi)用多少萬元?【答案】(1)甲施工隊(duì)每天修建120米，乙施工【分析】(1)設(shè)甲施工隊(duì)每天修建x米，則乙施工隊(duì)每天修建,根據(jù)乙施工隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程需要的天數(shù)比甲施工隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程需要的天數(shù)少4天，列出方程進(jìn)行求解即可；(2)設(shè)乙施工隊(duì)干了a天，根據(jù)先由甲施工隊(duì)單獨(dú)修建若干天，再由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作修建，恰好12天完成修建任務(wù)，列出方程，求出a,分別求出甲，乙兩隊(duì)的修建費(fèi)，即可得解.【詳解】(1)解：設(shè)甲施工隊(duì)每天修建x米，則乙施工隊(duì)每天修(2)設(shè)乙施工隊(duì)干了a天，由題意，得：120×12+160a=1920,∴乙施工隊(duì)修建了3天，∴共需修建費(fèi)用13×12+15×3=201萬元；答：共需修建費(fèi)用201萬元.類型三和差倍分問題【例4】(2022·廣東深圳-深圳中學(xué)?？家荒?2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡.某商家兩次購進(jìn)冰墩墩進(jìn)行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購進(jìn)同款冰墩墩，所購進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價(jià)貴了10元.(2)若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價(jià)銷售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%(不考慮其他因素),那么每【分析】對于(1),設(shè)第一次購進(jìn)冰墩墩x個(gè)，可表示第二次購進(jìn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)單價(jià)的差=10列出分式方對于(2),由(1)可知第二購進(jìn)冰墩墩的數(shù)量，再設(shè)每個(gè)冰墩墩得標(biāo)價(jià)是a元，根據(jù)銷售利潤率不低于20%列出一元一次不等式，求出解集即可.【詳解】(1)解：設(shè)第一次購進(jìn)冰墩墩x個(gè)，則第二次購進(jìn)2x個(gè)，根據(jù)題意，得經(jīng)檢驗(yàn)，x=200是原方程得解，且符合題意.所以該商家第一次購進(jìn)冰墩墩200個(gè)；(2)解：由(1)可知第二次購進(jìn)冰墩墩的數(shù)量是400個(gè)，設(shè)每個(gè)冰墩墩得標(biāo)價(jià)是a元，得(200+400)a≥(1+20%)(22所以每個(gè)冰墩墩得標(biāo)價(jià)是140元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)等量(不等)關(guān)系列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵.將勞動(dòng)從原來的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來.某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動(dòng).據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的的倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆.(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元.學(xué)校決定在菜苗基地購買A,B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù).菜苗基地為支持該校活動(dòng)，對A,B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠.求本次購買最少花費(fèi)多少錢.(2)2250元【分析】(1)設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為x元，根據(jù)題意列出方程，解出方程即可；