【數(shù)學(xué)】三角函數(shù)的概念（第一課時(shí)）課件-2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第一冊

5.2三角函數(shù)的概念第五章

三角函數(shù)5.2.1三角函數(shù)的概念（1）一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號(hào)掌握公式——并會(huì)應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)導(dǎo)入

角實(shí)數(shù)弧度制

在弧度制下，我們已經(jīng)把角的范圍擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù).下面用這些知識(shí)，研究上節(jié)開頭提出的問題。為了不失一般性，先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).新知探究那么現(xiàn)在的任務(wù)就是：

追問

要完成這個(gè)任務(wù)，我們需要什么工具來研究？①建立函數(shù)模型,要利用直角坐標(biāo)系.②根據(jù)弧度制的定義，需要借助單位圓.如圖，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，P(x,y).

射線OA從x軸非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，終止位置為OP.

新知探究問題1已知圓周上的動(dòng)點(diǎn)P的位置由角α的終邊OP與圓的交點(diǎn)唯一確定，那么能否建立點(diǎn)P的位置(坐標(biāo))與角α的函數(shù)關(guān)系？點(diǎn)P的坐標(biāo)如何求？由特殊到一般當(dāng)α=時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？當(dāng)α=或α=時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？A(1,0)POxαA(1,0)POxαA(1,0)POxαM方法:過點(diǎn)P向x軸做垂線，得到RT?OPM，可以用銳角三角函數(shù)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

追問

一般地，任意給定一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？角的終邊確定，終邊與單位圓的交點(diǎn)P確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是關(guān)于角α的函數(shù)當(dāng)角α確定時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是唯一確定的新知探究概念生成設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)(1)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,

即y=sinα;(2)把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,

即x=cosα(3)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的比值叫做α的正切函數(shù),記作tanα,即=tanα

(x≠0).概念生成

正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù).追問1

任意角三角函數(shù)的定義域分別是什么呢?按照函數(shù)的定義與常用的符號(hào)，我們通常將它們記為:正弦函數(shù)：y=sinx,余弦函數(shù)：y=cosx,正切函數(shù)：y=tanx,

x∈R

x∈R三角函數(shù)第一定義（單位圓定義）追問2這個(gè)定義相對于銳角三角函數(shù)的定義有什么不同呢?任意角的三角函數(shù)是通過角與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義的，銳角三角函數(shù)是通過直角三角形邊長的比值定義的，

在單位圓中直角三角形斜邊為1，所以銳角三角函數(shù)也可用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義，此時(shí)終邊上的點(diǎn)都在第一象限，因此銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，而任意角的三角函數(shù)值可以是負(fù)數(shù).

銳角三角函數(shù)的自變量是銳角，可以理解為新知探究典例解析

易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為

所以

解：鞏固練習(xí)課本P179~180α設(shè)α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P0(x0,y0),分別過點(diǎn)P,P0作x軸的垂線PM,P0M0,垂足分別為M,M0,則:則

|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，

|OM|＝|x|，∴sinα=y0,ΔOMP∽ΔOM0P0∵y與y0同號(hào)典例解析

證明:

反思

由例2可得什么結(jié)論？概念生成

設(shè)角α是一個(gè)任意角，P(x,y)是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為

那么①叫做α的正弦，即②叫做α的余弦，即③叫做α的正切，即

任意角α的三角函數(shù)值僅與α有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān).三角函數(shù)第二定義（任意點(diǎn)定義）反思

與第一定義相比，你能看出兩個(gè)定義有什么聯(lián)系嗎？（課本180）3.已知角θ的終邊過點(diǎn)P(-12，5)，求θ的三角函數(shù)值.解：由已知可得解：鞏固練習(xí)課本P179~1804.已知點(diǎn)P在半徑為2的圓上沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s，求2s時(shí)點(diǎn)P的位置.解：

設(shè)位置A為點(diǎn)P的起點(diǎn).

∵點(diǎn)P的角速度為順時(shí)針

1rad/s,∴2s時(shí)OP轉(zhuǎn)過的角α