2022-2023學年北京市朝陽區(qū)九年級上學期期末數(shù)學復習試卷及答案解析

2022-2023學年北京市朝陽區(qū)九年級上學期期末數(shù)學復習試卷

一.選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1.下列事件中，隨機事件是（）

A.通常溫度降到0℃以下，純凈的水結(jié)冰

B.隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)

C.明天太陽從東方升起

D.三角形的內(nèi)角和是360°

2.二次函數(shù)y=7的對稱軸是（）

A.直線y=lB.直線x=lC.y軸D.x軸

3.小穎同學制作了四張材質(zhì)和外觀完全一樣的書簽，每個書簽的正面寫著一本數(shù)學著作的

書名，分別是《九章算術(shù)》、《幾何原本》、《周髀算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》.將這四張書簽背面

朝上洗勻后隨機抽取一張，則抽到的書簽上恰好寫有我國古代數(shù)學著作書名的概率是

（）

3111

A.-B.-C.-D.—

4432

4.把RtaABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角4的余弦值（）

1

A.不變B.縮小為原來的.

C.擴大為原來的3倍D.擴大為原來的9倍

5.如圖，在四邊形ABCC中，ADHBC,點E,尸分別是邊AQ,BC上的點，AF與BE交

于點O,AE=2,BF=\,則△AOE與△BOF的面積之比為（）

11

A.—B?一C.2D.4

24

6.如圖，在正方形網(wǎng)格中，AMPN繞某一點旋轉(zhuǎn)某一角度得到△M'P'N',則旋轉(zhuǎn)中心

可能是（）

第1頁共34頁

A.點AB.點8C.點CD.點D

7.如圖，△ABC內(nèi)接于。。中，AB=AC,BC=60°,則NB=（）

8.如圖，拋物線產(chǎn)#-1與x軸交于A,B兩點，。是以點C（0,4）為圓心，1為半徑

的圓上的動點，E是線段4。的中點，連接OE,BD,則線段OE的最小值是（）

）1

35

V2

2C-3

2D.

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.在平面直角坐標系xOy中，點（3,-4）關(guān)于原點對稱的點的坐標為.

10.如圖，反比例函數(shù)y=［位于第二象限的圖象上有4,8兩點，過A作AO_Lx軸于點

過點B作軸于點C.已知,S.OCD=2-SMAB=12,則反比例函數(shù)解析式為

11.4、8兩點都在反比例函數(shù)）=5（左＞0）位于第一象限內(nèi)的圖象上，過A、8兩點分別

作坐標軸的垂線，垂足分別為C、D和E、F,設(shè)AC與8F交于點G,已知四邊形OCAO

和CEBG都是正方形.設(shè)FG、OC的中點分別為P、Q,連接尸。.給出以下結(jié)論：①四

邊形AOFG為黃金矩形；②四邊形OCGF為黃金矩形；③四邊形OQPF為黃金矩形，

第2頁共34頁

12.如圖，一個邊長為4cm的等邊三角形A8C的高與00的直徑相等.。0與8c相切于

點C,與AC相交于點，則劣弧在?的長=.

13.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A,B,C在。。上，并且都是小正方形的頂點，P是前方上

任意一點，則NP的正切值為.

14.拋物線y=a/-2ax-3與x軸交于兩點，分別是（，〃,0）,（〃,0）,則/*+〃的值為.

15.為了知道一塊不規(guī)則的封閉圖形的面積，小聰在封閉的圖形內(nèi)畫了一個邊長為1m的正

方形,在不遠處向封閉圖形內(nèi)任意投擲石子,且記錄如下，則封閉圖形的面積為1

擲石子次數(shù)50100150200300

石子落在正方形內(nèi)（含邊上）296191118178

落在正方形內(nèi)（含邊上）的頻率0.5800.6100.6070.5900.593

第3頁共34頁

16.o如圖，點A在反比例函數(shù)y=金（xVO,幻<0）的圖象上，點8,C在反比例函數(shù)產(chǎn)3

（x>0,fa>0）的圖象上，AB〃x軸，C￡）J_x軸于點。，交A8于點E.若△ABC與4

三.解答題（共12小題，滿分68分）

17.（5分）計算:3tan3O°+cos230°-2sin60°

18.(5分)在RtZXABC中，ZC=90°,根據(jù)下列條件解直角三角形.

(1)ZB=60°,b=V3；

(2)。=2或，c=4；

(3)ZA=30°,c=25；

(4)Q=8后b=85.

第4頁共34頁

19.（5分）非鈍角△ABC形內(nèi)一點O,d=OA+OB+OC,當d最小時，求/AOB、NBOC、

ZCOA的度數(shù).

20.（5分）已知：二次函數(shù)yi=/+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=2,且圖象過點（1,2）,

與一次函數(shù)”=犬+〃?的圖象交于（0,-1）.

（1）求兩個函數(shù)解析式；

（2）求時自變量x的取值范圍.

21.（5分）如圖，AB是。。的直徑，48_1_弦0）于點E,若AB=20,CD=16,求0E的

長.

第5頁共34頁

22.（5分）在平面內(nèi)，。為線段48的中點，所有到點。的距離等于0A的點組成圖形W.取

0A的中點C,過點C作交圖形W于的點。，。在直線A8的上方，連接AQ,

BD.

AOBA□B

圖1備用圖

（1）求/ABD的度數(shù)；

（2）若點E在線段CA的延長線上，且NADE=/4BD,求直線OE與圖形W的公共點

個數(shù).

23.（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC,點E在邊BC上移動（點E不與點8,C重合）,

滿足NDEF=NB,且點。，尸分別在邊A8,AC上.求證：XBDEsXCEF.

第6頁共34頁

24.(6分)已知點A(2,a)、3(-8,b)兩點在函數(shù)y=各的圖象上.

(1)直接寫出。=_______,b=_______,并在網(wǎng)格內(nèi)畫出函數(shù))，=總的圖象

|同

(2)將點C(6,c)繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點。，若點。恰好落在函數(shù)圖象上,

求c的值；

第7頁共34頁

25.(6分)如圖，在矩形ABC。中，E是BA延長線上的定點，M為8C邊上的一個動點,

連接ME,將射線ME繞點M順時針旋轉(zhuǎn)76°,交射線CO于點F,連接MD

小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對線段3M,DF,ZJM的長度之間的關(guān)系進行了探究.

下面是小東探究的過程，請補充完整：

(1)對于點M在BC上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段BM,DF,。例的長度的

幾組值，如下表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9

BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00

DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00

DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00

在BM,DF,DM的長度這三個量中，確定的長度是自變量，的長度和

的長度都是這個自變量的函數(shù)；

(2)在同一平面直角坐標系x0)'中，畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當￡>F=2cro時，QM的長度約為cm.

第8頁共34頁

26.（6分）在平面直角坐標系xO），中，拋物線y=o?+法經(jīng)過點（3,3）.

（1）用含a的式子表示b；

（2）直線y=x+4a+4與直線y=4交于點8,求點3的坐標（用含a的式子表示）；

（3）在（2）的條件下，已知點A（1,4）,若拋物線與線段4B恰有一個公共點，直接

寫出a（a<0）的取值范圍.

第9頁共34頁

27.(7分)【材料閱讀】

我們曾解決過課本中的這樣一道題目：

如圖1,四邊形A8C。是正方形，E為BC邊上一點，延長BA至F,使4F=CE,連接

DE,DF....

提煉1：繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△M。；

提煉2：△ECZ)絲△以。；

提煉3：旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱是圖形全等變換的三種方式.

【問題解決】

(1)如圖2,四邊形4BCD是正方形，E為BC邊上一點，連接DE,將△(?￡)￡沿OE折

疊，點C落在G處，EG交AB于點F,連接。F.

可得：ZEDF=°；AF,FE,EC三者間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖3,四邊形A8CD的面積為8,AB^AD,/ZMB=N8CD=90°,連接AC.求

AC的長度.

(3)如圖4,在△ABC中，NACB=90°,CA=CB,點D,E在邊AB上，NDCE=45°.寫

出A。，DE,E8間的數(shù)量關(guān)系，并證明

A.p

「W

?ABAFBDCADEB

圖1圖2圖3圖4

第10頁共34頁

28.(7分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(0,8),B(6,0),C(0,3),點。從點

A運動到點8停止，連接CQ,以C。長為直徑作。P.

(1)若△ACDS^AOB,求。尸的半徑；

(2)當OP與48相切時，求△POB的面積；

(3)連接AP、BP,在整個運動過程中，△處B的面積是否為定值，如果是,請直接寫

出面積的定值，如果不是，請說明理由.

第11頁共34頁

2022-2023學年北京市朝陽區(qū)九年級上學期期末數(shù)學復習試卷

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1.下列事件中，隨機事件是（）

A.通常溫度降到以下，純凈的水結(jié)冰

B.隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)

C.明天太陽從東方升起

D.三角形的內(nèi)角和是360°

解：“通常溫度降到以下，純凈的水結(jié)冰”是必然事件；

“隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼可能是偶數(shù)，也可能是奇數(shù)”因此選項B符合題

懸；

“明天太陽從東方升起”是必然事件，不符合題意；

“三角形的內(nèi)角和是180°”因此“三角形的內(nèi)角和是360°”是確定事件中的不可能事

件，不符合題意；

故選:B.

2.二次函數(shù)y=/的對稱軸是（）

A.直線y=lB.直線x=1C.y軸D.x軸

解：二次函數(shù)y=/的對稱軸是直線x=0,即y軸，

故選：C.

3.小穎同學制作了四張材質(zhì)和外觀完全一樣的書簽，每個書簽的正面寫著一本數(shù)學著作的

書名，分別是《九章算術(shù)》、《幾何原本》、《周髀算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》.將這四張書簽背面

朝上洗勻后隨機抽取一張，則抽到的書簽上恰好寫有我國古代數(shù)學著作書名的概率是

（）

3111

A.—B.—C.-D.—

4432

解：?.?這四張書簽背面朝上洗勻后隨機抽取一張共有4種等可能結(jié)果，其中抽到的書簽

上恰好寫有我國古代數(shù)學著作書名的有3種結(jié)果，

3

...抽到的書簽上恰好寫有我國古代數(shù)學著作書名的概率是一，

4

故選：A.

4.把Rt^ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角4的余弦值（）

第12頁共34頁

B-縮小為原來畤

A.不變

C.擴大為原來的3倍D.擴大為原來的9倍

解：三邊的長度都擴大為原來的3倍，

則所得的三角形與原三角形相似，

二銳角A的大小不變，

，銳角A的余弦值不變，

故選：A.

5.如圖，在四邊形A8CD中，AZ）〃8c，點E,尸分別是邊40,8c上的點，AF與BE交

于點0,AE=2,BF=\,則△AOE與△B0F的面積之比為（）

解：'CAD//BC,

,ZOAE=ZOFB,ZOEA=ZOBF,

：./XAOE^/XFOB,

...應變=（竺）2=今

S4FOBFB

故選：D.

6.如圖，在正方形網(wǎng)格中，AMPN繞某一點旋轉(zhuǎn)某一角度得到△〃‘P'N',則旋轉(zhuǎn)中心

可能是（）

C.點CD.點。

解：如圖,

第13頁共34頁

?.?△/WVP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到

連接PP'、NN、MM',

作PP的垂直平分線，作NM的垂直平分線，作?的垂直平分線，

二三條線段的垂直平分線正好都過B,

即旋轉(zhuǎn)中心是B.

故選：B.

7.如圖，ZiABC內(nèi)接于00中，AB=AC,FC=60",則NB=()

解：'：AB=AC,BC=60°,

：.NB=NC,ZA=30°,

；.NB=1(180°-30°)=75°；

故選：D.

8.如圖，拋物線產(chǎn)#一1與x軸交于A,B兩點，。是以點C(0,4)為圓心，1為半徑

的圓上的動點，E是線段AO的中點，連接OE,BD,則線段OE的最小值是()

第14頁共34頁

D.3

解：..?拋物線產(chǎn)爐一1與x軸交于A,B兩點,

；.A、8兩點坐標為(-3,0)、(3,0),

是以點C(0,4)為圓心，

根據(jù)勾股定理，得

BC=5,

是線段4)的中點，。是AB中點，

二OE是三角形ABD的中位線，

：.OE=^BD,

即點8、。、C共線時，80最小，OE就最小.

如圖，連接8c交圓于點。'，

：.OE'=2.

所以線段OE的最小值為2.

故選：A.

第15頁共34頁

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.在平面直角坐標系犬0y中，點（3,-4）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（-3,4）

解：點（3,-4）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（-3,4）.

故答案為：（-3,4）.

10.如圖，反比例函數(shù)產(chǎn)［位于第二象限的圖象上有A,B兩點,過A作AOLx軸于點Q,

過點B作8C_Ly軸于點C.已知，S^OCD=|?Sz\0A3=12,則反比例函數(shù)解析式為_y=

9

5k

設(shè)A（機，一）,

m

.?3

?:履OCD=

1313

:.一OD，OC=亍,即一（-m）?0C=5,

2222

3

：.B（-啜Y）

,**S&OAB=12,

??S梯形ABED=SAOAB~S>AOD+S*BOE=12,

lk3mk

：.-）（m+萼）=12,

2mm§

解得Z=±9,

??,反比例函數(shù)y=［位于第二象限.

：.k=-9,

???反比例函數(shù)的解析式是尸

故答案為y=-?.

第16頁共34頁

11.A、8兩點都在反比例函數(shù)y=[(A>0)位于第一象限內(nèi)的圖象上，過A、8兩點分別

作坐標軸的垂線，垂足分別為C、。和區(qū)F,設(shè)AC與8尸交于點G,已知四邊形0。。

和CEBG都是正方形.設(shè)尸G、0C的中點分別為P、Q,連接PQ.給出以下結(jié)論：①四

邊形ADFG為黃金矩形；②四邊形0CG尸為黃金矩形；③四邊形。QP尸為黃金矩形，

以上結(jié)論中，正確的是②.

.?.設(shè)BE=a,AD=b,

:.B(a+b,a),A(b,b),

???A、8兩點都在反比例函數(shù))，=g

(ci+Z?)=b，b,

bV5+1

解得，一=

a2

①四邊形ADFG的寬與長的比=竿=l—g=竽,

則四邊形4OFG不是黃金矩形；

②四邊形0CGF的寬與長的比=￡=與

則四邊形0CG尸為黃金矩形；

第17頁共34頁

③四邊形OQPF的寬與長的比=曰=土答

則四邊形OQPF不是黃金矩形；

故答案為：②.

12.如圖，一個邊長為的等邊三角形A8C的高與。0的直徑相等.。0與BC相切于

_2^3

點C,與AC相交于點E,則劣弧CE的長=-item.

—3----------

解：連接OC、0E,作AO_LBC于O,作。尸J_AC于凡

在RtZxABO中，AO=4B?sinB=2百，

：.OC=OE=V3,

為。。的切線，

J.OCLBC,

.../OCE=90°-60°=30°,

：OC=OE,

；./C0E=120°,

劣弧功的長==黑浮=苧TT,

2y[3

故答案為：—new.

13.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A,B,。在。0上，并且都是小正方形的頂點，P是頂上

任意一點，則〃的正切值為

第18頁共34頁

解：連接。4、0B,作OOLA5于。，如圖,

???04=08,0DA.AB,

1

???ZAOD=*AOB,

1

V/APB="A0B,

：.NA0D=/APB,

Ani

在RtZsAOO中，tan/AOQ=g^=云

,1

tanZP=2-

……1

故答案為3

14.拋物線y=aj?-2QX-3與x軸交于兩點，分別是（加，0）,（〃，0）,貝ljm+n的值為2.

解：???拋物線y=/-2ox-3與x軸交于兩點，分別是（小，0）,（〃，0）,

：.m+n=--=2.

a

故答案是：2.

15.為了知道一塊不規(guī)則的封閉圖形的面積，小聰在封閉的圖形內(nèi)畫了一個邊長為1，"的正

方形，在不遠處向封閉圖形內(nèi)任意投擲石子，且記錄如下，則封閉圖形的面積為能

擲石子次數(shù)50100150200300

石子落在正方形內(nèi)（含邊上）296191118178

落在正方形內(nèi)（含邊上）的頻率0.5800.6100.6070.5900.593

第19頁共34頁

o解：根據(jù)統(tǒng)計表，可得石子落在正方形內(nèi)的概率約為0.593,

設(shè)封閉圖形的面積為X,

則有工=0.593,

x

解得xF.7.

二封閉圖形的面積為1.7,

故答案為：1.7.

16.如圖，點A在反比例函數(shù)y=g(x<0,如<0)的圖象上，點8,C在反比例函數(shù)產(chǎn)與

(x>0,fo>0)的圖象上，AB〃x軸，CD_Lx軸于點。，交AB于點E.若△ABC與4

?.?點B,C在反比例函數(shù)），=§（x>0,fo>0）的圖象上，AB〃x軸，CZ）_Lx軸,

ko42

AC（——，5f）,B（一，3力，

5￡3t

/Ci

/.A（一，3f）,

3t

*//XABC與ADBC的面積之差為3,

1ko/CiiZe?k?

A-x（---）X2r-4x5r（---）=3,

23t3t23t5t

：.ki=-9.

故答案為-9.

三.解答題（共12小題，滿分68分）

第20頁共34頁

17.(5分)計算：3tan30°+cos230°-2sin60°

解：原式=3X苧+(苧)2—2X苧

=V3+1-V3

18.(5分)在RtZ\ABC中，ZC=90°,根據(jù)下列條件解直角三角形.

(1)ZB=60°,b=V3；

(2)a=2&，c=4；

(3)ZA=30°,c=25；

(4)a=8后fe=8V15.

解：(1)?.?在RtZiABC中，ZC=90°

AZA=30°,

'：b=V3,

??c=麗F=2,

~2

1

.*.a=cXsinA=2x[=1.

(2)在RtZ\ABC中，a=2V2,c=4,

根據(jù)勾股定理得：b=Vc2-a2=J42-(2V2)2=2V2

…」2々—畬

?siriA=4=-^9

：.ZA=45°,

AZB=45°,

(3)???在RtZSABC中，ZC=90°,ZA=30°,

：.ZB=60°,

Vc=25,

125

**?a=cXsinA=25x,=

b=cXsinB=25x孚=學8.

(4)在Rt/XABC中，。=8通，力=8行.

AtanA=J==

b87153

第21頁共34頁

AZA=30°,

：.ZB=60°,

；.c=2a=16V5

19.（5分）非鈍角△ABC形內(nèi)一點O,d=OA+OB+OC,當4最小時，求/AO8、Z.BOC,

ACOA的度數(shù).

解：把△AB。繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△FBE,所以有EF=A。（圖中紅色）.顯然,

△BEO為等邊三角形，所以有30=E0（圖中藍色）.于是0A+08+0C=FE+E0+0C,

即把點0到三個頂點的距離之和轉(zhuǎn)化為折線FEOC.

根據(jù)兩點之間線段最短可知，當凡E,O,C共線時，OA+OB+OC的值最小，如圖2中,

???△BE。是等邊三角形，

:.NBOE=/BEO=60°,

/BOC=NBEF=NAOB=120°,

AZAOC^ZAOB^ZBOC=120",

.?.當d最小時，ZAOC=ZAOB=ZBOC=120".

20.（5分）己知：二次函數(shù)刀=0?+加+。的圖象的對稱軸是直線尤=2,且圖象過點（1,2）,

第22頁共34頁

與一次函數(shù)”=x+，〃的圖象交于（0,-1）.

（1）求兩個函數(shù)解析式；

（2）求時自變量x的取值范圍.

解：（1）；二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x=2,且圖象過點（1,2）,（0,

-1）,

a+b+c=2

（

a=-1

解得：b=4

c=—1

?'?y=-/+4x-1,

???一次函數(shù)y=x+/77的圖象交于（0,-1）.

：.m=-19

??y=x-1.

（2）由題意得，

-f+4x-1—x-1

解得：x—0.或x=3,

兩個函數(shù)圖象的另一個交點（3,2）,

時自變量x的取值范圍為0<x<3.

21.（5分）如圖，AB是。0的直徑，A3,弦C。于點E,若AB=20,CD=16,求OE的

長.

解：如圖，連接OC,

第23頁共34頁

1

則0C=%8=10,

'：ABLCD,且CO=16,

；.CE=8,

則OE=VCO2-CE2=-102-82=6.

22.（5分）在平面內(nèi)，O為線段4B的中點，所有到點。的距離等于04的點組成圖形W.取

OA的中點C,過點C作CDA.AB交圖形W于的點D,D在直線AB的上方，連接AD,

BD.

AOBA□B

圖1備用圖

（1）求/AB。的度數(shù)；

（2）若點E在線段C4的延長線上，且求直線。E與圖形W的公共點

個數(shù).

解：（1）根據(jù)題意，圖形W為以。為圓心，OA為直徑的圓.

如圖1,連接O。，

：.OA=OD.

?.?點C為OA的中點，CDA8,

：.AD=OD.

：.OA=OD^AD.

：.^OAD是等邊三角形.

.../40。=60°.

AZABD=30Q.

（2）如圖2,

：ZADE^/ABD,

.?./4￡>E=30°.

VZADO=60°.

第24頁共34頁

AZ<9DE=90°.

：.OD±DE.

是。。的切線.

二直線DE與圖形W的公共點個數(shù)為1.

23.（6分）如圖，在△ABC中，A8=AC,點E在邊BC上移動（點E不與點B,C重合）,

滿足NOE尸=NB,且點。，廠分別在邊AB,AC上.求證：/\BDE^/\CEF.

證明：'：AH=AC,

：.ZB=ZC,

'：/8￡>E=180°-ZB-ADEB,

ZC￡F=1800-ZDEF-ZDEB,

■:NDEF=NB,

ZBDE=ZCEF,

.?.△BDEsACEF；

第25頁共34頁

Dt

BEC

24.(6分)己知點A(2,a)、B(-8,b)兩點在函數(shù))，=者的圖象上.

(1)直接寫出昌=4,b=1,并在網(wǎng)格內(nèi)畫出函數(shù))=尚的圖象

(2)將點C(6,c)繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點。，若點。恰好落在函數(shù)圖象上,

求c的值；

畫出函數(shù)圖象如圖:

第26頁共34頁

故答案為：a=4,b=\,

(2)將點C(6,c)繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點。，則O(6-c,8),

將￡)(6-c,8)代入)=卷中，得記三11=8,解得c=5或7；

(3)把點4(2,4)、B(-8,1)代入y=心:得=4

t-8/c+m=1

解得卜-哈

(m=虧

/.直線AB的解析式為尸條+*

，

y一_A/.—虧，解得制=_8,&=_學,

聯(lián)立

由圖象可知：不等式履+，〃>尚的解集為-8<xV—學或x>2

25.(6分)如圖，在矩形ABC。中，E是BA延長線上的定點，M為BC邊上的一個動點,

連接ME,將射線ME繞點例順時針旋轉(zhuǎn)76°,交射線C。于點尸，連接MO.

小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對線段BM,DF,DM的長度之間的關(guān)系進行了探究.

下面是小東探究的過程，請補充完整：

(1)對于點M在BC上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段BM,DF,DM的長度的

幾組值，如下表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9

BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00

DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00

第27頁共34頁

DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00

在BM,DF,DM的長度這三個量中，確定BM的長度是自變量，DF的長度和DM

的長度都是這個自變量的函數(shù)；

(2)在同一平面直角坐標系xO)，中，畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象：

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當。尸=2"7時，DM的長度約為2.數(shù)和1.35

cm.

解：(1)由函數(shù)的定義可得：的長度是自變量，OF的長度和。M的長度都是這個自

變量的函數(shù),

故答案為：BM,DF,DM；

(2)如圖所示.

(3)由圖象得到：當。尸=2的時，0M的長度約為2.98cm和1.35所.

26.(6分)在平面直角坐標系xO)，中，拋物線>=以2+法經(jīng)過點(3,3).

(1)用含a的式子表示b；

(2)直線y=x+4“+4與直線y=4交于點8,求點8的坐標(用含a的式子表示)；

(3)在(2)的條件下，已知點A(1,4),若拋物線與線段48恰有一個公共點，直接

寫出a(a<0)的取值范圍.

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解：(1)將點(3,3)代入了=渡+"，得

9〃+3b=3.

:?b=~3a+l.

(2)令x+4a+4=4,得x=-4〃.

：.B(-4a,4).

(3)Va<0,

???拋物線開口向下，

拋物線與線段4B恰有一個公共點，

VA(1,4),B(-4a,4)

.?.點A、B所在的直線為y=4,

由(1)得6=1-3小

則拋物線可化為：y=cvr+(1-3a)x,

分兩種情況討論：

①當拋物線y=ar2+(1-3a)x與直線y=4只有一個公共點時,

且拋物線的頂點在點A、8之間，

則嗡<一4。

或一4七智W1,

方程o?+(1-3〃)x=4的根的判別式：△=(),

即(1-3〃)2+16a=0,

1

解得a\--Q,42=-1，

13Q—1

當〃1=一百時，2q=6(不符合題意)，

3fl—1

當〃2=-1時，-----=2,

2a

則4"成立.

②當拋物線經(jīng)過點4時，

即當x=l,y=4時，a+[-3a=4,

解得“=一|；

時，拋物線與線段AB恰有一個公共點，

第29頁共34頁

綜上：。的取值為：。=-1或。<一卷時，拋物線與線段AB恰有一個公共點.

27.(7分)【材料閱讀】

我們曾解決過課本中的這樣一道題目：

如圖1,四邊形A8C。是正方形，E為BC邊上一點,延長BA至F,使4F=CE,連接

DE,DF.......

提煉1：△ECO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△MD；

提煉2：AECD^AMD；

提煉3：旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱是圖形全等變換的三種方式.

【問題解決】

(1)如圖2,四邊形ABCO是正方形，E為BC邊上一點,連接DE,將△CDE沿OE折

疊，點C落在G處，EG交AB于點F,連接。F.

可得：ZEDF=45°；AF,FE,EC三者間的數(shù)量關(guān)系是AF+EC=FE.

(2)如圖3,四邊形ABCO的面積為8,AB^AD,ZD48=/BC￡>=90°,連接AC.求

AC的長度.

(3)如圖4,在△ABC中，NACB=90°,CA=CB,點Q,E在邊AB上，N￡?CE=45°.寫

出A￡),DE,EB間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【問題解決】

解：(1)由折疊的性質(zhì)可得△CDE絲△GDE,

：.CD=DG,ZCDE=ZGDE,NDCE=NDGE=90°,

在RtADAF和RtADGF中，

(DF=DF

IDA=DG'

：.Rt/\DAF^Rt/\DGF