2023年中考?jí)狠S模型：阿氏圓（解析版）

2023年中考?jí)狠S模型：阿氏圓

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（-12,0）,點(diǎn)8（0,4）,點(diǎn)0（T,0）,以點(diǎn)A為圓心，4

個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作圓，點(diǎn)C是。A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BC+；CO的最小值為（）

A.2后B.4729C.2小D.4方

【答案】A

【詳解】解：：A(-12,0),B(0,4),D(-4,0),

.?.04=12,00=4,則AZ>8,AC=4,

取E(-10,0),貝i」4E=2,DE=6,

在△AEC和△AC。中，

ZCAE=ZDAC,—=-=

ACAD2

/\AEC^/\ACD,

，音=3,即CE="。，

則BC+^CD=BC+CE>BE,

即BC+|CD的最小值為BE的長(zhǎng)，

即為J(T0-Op+(0-4)2=2^9,

2.在吊AO3中，ZA0B=9Q°,0A=8,08=10,以O(shè)為圓心，4為半徑作圓O,交兩邊

于點(diǎn)C,D,P為劣弧C。上一動(dòng)點(diǎn)，則gPA+PB最小值為

【答案】2底

【詳解】解：如圖所示，連接OP,取0c中點(diǎn)為連接PM,BM,

?.?圓O半徑為4,點(diǎn)P為劣弧C。上一動(dòng)點(diǎn),

0C=0P=4,

又：點(diǎn)M為0C中點(diǎn),

OAf=-OC=-x4=2,

22

nA?

..OP——=",ZMOP=ZPOA,

,OMOP1

:?AMOPSAPOA,

.OMPM2

^~dP~~PA~4f

/.PM=-PA,

2

-PA+PB=PM+PB>BM,

2

當(dāng)點(diǎn)8、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，+最小值為BM,

,/ZAOB=90°,

BM2=OM2+OB2,

又OM=2,OB=10,

二+=7104=2726'

—2—

??.刎+尸8最小值為2回，

3.在Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C,分別

交AC,BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+jPB的最，

A

【答案】平

4

【詳解】解：如圖所示，在CB上取一點(diǎn)F,使得:,連接CP,PF

A

ICFEB

4

,:CF=—,CB=3,CP=2

3

CFCP

：.——=—,XZPCF=ZBCP

CPCB

:.MCFsABCP,

.PF_2

,?而一"

???PFqPB,

3

2

???PA^-PB=AP+PF>AF

3

?/AC=4,

???3JAC"\"⑶、迦,

3

4.如圖，在中，ZACB=90°,BC=4,AC=6,C半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn),

則+的最小值=

【答案】歷

【詳解】解：如圖，連接CP,在CB上取點(diǎn)。，使C￡>=1,連結(jié)AO,

XVNPCD=NBCP,

:.一PCDs_BCP,

.PD_CD

''~BP~~PC~2'

PD=-BP,

2

：.AP+-BP=AP+PD,

2

當(dāng)點(diǎn)A,P,。在同一條直線時(shí)，AP+；BP的值最小,

在RtzXACD中，

VCD=l,CA=6,

—4—

,,AD=+6*=5/37^，

，AP+^B尸的最小值為后,

5.在RLABC中，4C8=90。,4c=4,BC=3,O為一ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CE>=2,寫出

2

AO+18。的最小值.

B

【答案】出叵.

3

【詳解】的最小值為勺叵,

33

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—3/+法+3的對(duì)稱軸是直線x=2,與x軸相交

4

于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（I）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（II）以原點(diǎn)。為圓心，A。長(zhǎng)為半徑作。，點(diǎn)P為。上的一點(diǎn)，連接8P,CP,求

2PC+3PB的最小值.

拋物線的解析式為尸f+x+3.

4

?*（y=—x2+x+3=—（x—2>+4,

44

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）；

（II）如圖，連接OP,在OC上截取0G,使得合=等=|,

—6—

,.OGOP

ZPOG=ZCOP

?~OP~~OCf

：.POG^,COP.

噗啜V即PG=赳C

2PC+3PB=3-PC+PB=3(PB+PG).

3

???當(dāng)3,P,G三點(diǎn)共線時(shí)，P3+PG的值最小，最小值即為5G的值.

.?.8G=j0G、＞7”=平,

/.2PC+3PB的最小值為2炳.

13

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線'=］爐一］工一4,y與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與），軸

交于點(diǎn)C.

點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心，04長(zhǎng)為半徑作的圓上，連接3P、CP,請(qǐng)你直接寫出;CP+8P的

OMOP_1

~OP~~OC~2

圖3

■:NPOM=NPOC,

:.XPOMsACOP,

.PM1

??=—,

PC2

PM=LpC,

2

：.-PC+BP=PM+PB,

2

上8、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，gCP+BP的值最小,

在R/_8Q”中，

BMNOBa+OM?=行+儼=病,

即;PC+B尸的最小值時(shí)質(zhì).

8.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在X軸、y軸上分別有點(diǎn)4(4,0),8(0,3),動(dòng)點(diǎn)E在以原點(diǎn)

2

。為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，求+的最小值.

【詳解】解：如解圖，在y軸上取一點(diǎn)連接。氏EM,AM.則

4

OE=2,08=3,OM=-

3f

.OEOM2

^~OB~~OE~39

XVNEOM=NBOE,

:.4EOMs4BOE.

即EM=2BE.

BE33

:.AE+-BE=AE+EM,

3

—8—

當(dāng)點(diǎn)A,E,"三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EM的值最小，為AM的長(zhǎng).

AMnJOM'OA2=

AE+]BE有最小值為生叵.

.,.當(dāng)E為AM與圓的交點(diǎn)時(shí),

33

3Q

9.如圖，已知拋物線的解析式為y=--x2+-x+3^x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）,

44

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,0）,繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)OE得到O￡,旋轉(zhuǎn)角為

9

（z（0°<a<90°）,連接BE、CE',求的最小值.

【詳解】解：:拋物線的解析式為丁=一33犬c+；9工+3,

44

.?.8（4,0）,C（0,3）.

2點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,0）,

點(diǎn)E'的運(yùn)動(dòng)軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑在第一象限的圓弧.

如解圖，在y軸上取一點(diǎn)連接O￡,EM,BM.則

4

：?OE=2,0C=3,OM=-,

3

.OEOM2

??==j

OCOE'3

又?；ZEOM=4COE',

/./XE'OM~△COE',

F'M22

.?.筌=彳，即E加=2，

JJ

2

:.BE+-CEf=BE+EM.

3

當(dāng)3、￡、M三點(diǎn)共線時(shí)，8E+EM的值最小，為3M的長(zhǎng).

<?,BM=dOM?+OB2=

當(dāng)E!為BM與圓弧的交點(diǎn)時(shí)，+有最小值為生叵.

33

10.如圖，拋物線y=-/+Zw+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn)，直線AC：y=-^x-6

交y軸與點(diǎn)C,點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E/〃y軸交4c于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)G.

(1)直接寫出拋物線y=-x2+bx+c的解析式為；

(2)在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,F,H為

頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E,H的坐標(biāo)；

(3)在(2)的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為圓E上一動(dòng)點(diǎn)，求;AM+CM

的最小值.

—10—

【詳解】解：(1)將點(diǎn)A(-4,-4),8(0,4)代入拋物線解析式可得：

f—16—46+c=—4\b=-2.

Jc=4，解得c=4'拋物線的解析式為-2X+4

(2)設(shè)直線4B解析式為丫=依+。

f—4k+b=-4(k—2

將A(y-4),8(0,4)代入得｛,解得

也=4也=4

由題意可得：C(0,-6)

設(shè)E(a,2a+4),4(0,p),則尸(a,-ga-6)

,AB=J4,+82=4A/5,BC=10，AC=J42+2?=2正

AC2+AB2=BC2

；?-ABC為直角三角形,ZBAC=90°

結(jié)合圖形可得，以A,E,F,”為頂點(diǎn)的矩形為矩形AFHE,E尸為矩形的對(duì)角線

由矩形的性質(zhì)可得，線段A"、EE的中點(diǎn)重合

貝IJ'(-4+0)=—(a+a),-(-4+p)=—(2a+4--a-6)

22222

解得a=-2,p=-l

：.￡(-2,0),//(0,-1)

由E點(diǎn)坐標(biāo)可知，E在x軸上

(3)取EG的中點(diǎn)P,如下圖：

由(2)可知，E(-2,0),"(0,-1),A(Y,-4)

EH=A/5,AE=2小

：.PE=-EG=—

22

連接CP交圓E于點(diǎn)用，連接EM、AM

：.EM=EH=>/5

.PE_1_ME

"ME-2"AE

XVZPEM=ZMEA

APEM

.PMME

**AM-A￡-2

/.PM=-AM

2

/.^AM+CM=PM+CM>PC,當(dāng)RC、M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立

設(shè)尸(p,2P+4),

PE2=(p+2)2+(2p+4)2=(^)2

化簡(jiǎn)得5(p+2)2=。

4

53

解得P=g或P=~|(舍去，戶在點(diǎn)E的左邊)

???P(-|，T)

—12—

...PC=J(-1)2+(-l+6)2=苧

即IAM+CM的最小值為逆

22

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一拋物線頂點(diǎn)為A(l,4),拋物線與y軸交于點(diǎn)D,

交x軸于氏C兩點(diǎn)(B在C的左邊)，5(-1,0)

(1)求出該拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)"為線段OC上的一點(diǎn)且不與OC重合，作軸交直線。C于點(diǎn)N,交拋

物線于點(diǎn)P,連接NO,PC.當(dāng)SVP是以O(shè)N為底邊的等腰三角形時(shí)，Q為線段上一

點(diǎn)，連接MQ,求出MQ+；。。的最小值;

(3)若直線DC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,以E為圓心1為半徑作圓E,尸為圓E上一

動(dòng)點(diǎn)，求OP+&PC的最小值;

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-l)2+4(a*0)

把點(diǎn)8的坐標(biāo)代入解得a=-1

故二次函數(shù)的解析式為y=-/+2x+3

(2)如圖

,/腸7〃丫軸

ZPND=ZNDQ=45°

???APDN是以DN為底的等腰三角形

PN=PD,ZPND=2PDN=45°,ZMPD=90°

/.OP兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱

P(2,3),M(2,0)

以。。為斜邊向外作NQDE,使得sinZADE=1

MQ+^DQ=MQ+EQ

故當(dāng)EQM三點(diǎn)共線，MQ+g。。最短

當(dāng)EQM三點(diǎn)共線，ZDOM=ZMED=90°

：.sinNEDQ=sinZQMO

設(shè)QO=x,則QM=3x

在Rt\QOM中，ZQOM=90°,OQ2+OM2=QM2

???f+4=9f,解得尤=立

2

?nn丘3貶

??OQ=—,QM―—―

DQ=3-^,EQ=sinZEDQDQ=\-^-

；?MQ+gcQ=MQ+EQ=^+l_q=l+殍

（3）OP+舟C=6（咚。P+PC

連接PE,EO,在OE上截取NE=@

5

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于M

.EN>/5

??----------

EP5

???拋物線的頂點(diǎn)為A（l,4）

，對(duì)稱軸為直線x=l

OM=1

設(shè)直線8的解析式為y=kx+Kk豐0）

[Z?=3[k——\

代入c,o的坐標(biāo)得、解得

[3K4-3=0[p=3

直線8的解析式為y=-x+3

令x=l則y=2

E（l,2）

在向AOEM中，NOME=90。，MO2+ME2=OE2

OE=y/MCP+ME2=y/5

—14—

?EP小EN

??=—=

EO5EP

又4PEN=/OEP

：.\EPN^\EOP

,NP75

??--=—

OP5

NP=-OP

5

OP+小PC=小]好OP+Pc\=?NP+PC)

，當(dāng)NPC三點(diǎn)共線,OP+PC==^(NP+PC)最短

作軸于F

?/NE=—,OE=正

5

/.ON=—

5

EM//NF

：.AOFN^AOME

4小

：.NF_ON3Z_i

~EM~~OE~~~5

...r”C=—H

5

在用&VFC中，ZNFC=90°,FN2+FC2=NC2

，NC=y/FN2+FC2=

：.OP+45PC=7sf—OP+Pc]=瓜NP+PC)=&c=屈

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線產(chǎn)-*+-+4的對(duì)稱軸是直線＞3,與*軸相

交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c.

(1)求拋物線的解析式以及直線BC的解析式;

(2)以原點(diǎn)。為圓心,0A長(zhǎng)為半徑作。0,點(diǎn)P為。0上的一點(diǎn)，連接BP、CP,求PC+2PB

的最小值.

----7---r=33

【詳解】（1）由題意可知，2x（--］，解得〃=

???拋物線的解析式為了=-；1/+93+4；

42

令y=0,gp--1x2+|Qx+4=0,解得占=-2,%,=8,

AA（-2,0）,B（8,0）,

令x=0,則y=4,C(0,4),

設(shè)直線BC的解析式為‘，="+"

將8(8,0),C(0,4)代入"*+6,得解得'"一天

的_4，,=4.

直線BC的解析式為y=-x+4；

(2)如解圖，連接0尸，在OC上截取QM,使得黑=器=:，

連接PM,BM.此時(shí)QW=1,

-16—

..OMOP

4PoM=NCOP,

?OP~oc

：.4PoMs/\C0P.

:果端卷即八c.

PC+2PB=2\^PC+PB^=2(PM+PB).

當(dāng)B、P、〃三點(diǎn)共線時(shí)，PM+P8的值最小，最小值即為BM的值，

BM=4OM-+OB1=Vl2+82=>/65，

，PC+2PB的最小值為2洞.

13.如圖，拋物線y=加+6x+c與x軸交于A(右,0),3兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸

交于點(diǎn)C,且OB=3OA=>/JoC,/OAC的平分線AO交y軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A且垂直于A。

的直線/交)軸于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是X軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF_Lx軸，垂足

為F,交直線AO于點(diǎn)”.

(1)求拋物線的解析式：

(2)當(dāng)直線尸尸為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)”為圓心，的長(zhǎng)為半徑作二H，點(diǎn)。為"上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)‘求卜Q+EQ的最小值.

【詳解】⑴解：由題意4(百,0),網(wǎng)-34,0),C(0,-3),設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x+3y/3)(x-\/3),

把C(0,-3)代入得至故拋物線的解析式為y=g(x+3⑹(x-@=#+g后一3.

(2)：y=3,.,.對(duì)稱軸是直線4-石，

?.?「下是對(duì)稱軸，.../^-^，。1

?.F隰,0),網(wǎng)-3a0),."尸=26.

Vtan/OAC=0,：.ZOAC=60°,

'.'AD^^-ZOAC,：.ZOAD=30°,

OD=tanZOADx73=1,￡>(0,-1).

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+h9

.梅+b=0.=g.O

??S，??(3，??y=——x

b=-i

b=-l

當(dāng)時(shí)，y=-x-l=-2,???HH，-2),AH=4一區(qū)同+(-2)

-3

AHVAE,

Z￡4O=60°,

EO=描A=3,

E(0,3),

VC(0,-3),

；?〃C=J(我,+1=2,AH=2FH=4,

：.QH=；CH=1,

在H4上取一點(diǎn)K,使得〃K=:，貝|J4K=?

44

作KGJ_AB于點(diǎn)G,則KG〃/V"

當(dāng)％=-?走時(shí),

2

VHQ=}9HKHA=3

:.HO?=HKHA,

.HQ_KH

「而一而’

VZQHK=ZAHQ,；.AQHK^^AHQ,

.歿=迤」

…AQ~AH-"

：.KQ=^-AQ,

—18—

.fQ+QE=KQ+EQ,

當(dāng)E、2、K共線時(shí)，-Q+QE的值最小，最小值=417

14.如圖，直線y=x+2與拋物線-2加什/??+加交于A、3兩點(diǎn)（A在3的左側(cè)），與y軸

交于點(diǎn)C拋物線的頂點(diǎn)為。，拋物線的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)M.作點(diǎn)5關(guān)于直線MQ

的對(duì)稱點(diǎn)B',以點(diǎn)例為圓心，M。為半徑作。M,點(diǎn)。是。M上一動(dòng)點(diǎn)，求。B—qQB的

【詳解】???拋物線對(duì)稱軸為x=m,當(dāng)x=m時(shí)，y=x+2=m+2,

/.M(m,m+2),

又?；A(m-1,m+1),B(m+2,m+4),

??AM=1xyj^2,~y/2,，BM=2xyfz=2yf2?

VD(m,m),

???以MD為半徑的圓的半徑為(m+2)-m=2,

取MB的中點(diǎn)N,連接QB、QN、QB*,

MN=BN=-x2近=0,

2

..MN_QM_72

,ZQMN=ZBMQ,

,QM-BM-V

.,.△MNQ^AMQB,

.QNMN-J2

?,9=麗=1"'

QN=^-QB,

...當(dāng)Q、N、B，三點(diǎn)共線時(shí)QB，+正QB最小,

2

,-,直線AB的解析式為y=x+2,

直線AB與對(duì)稱軸夾角為45°,

?..點(diǎn)B、B，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

.".ZBMB'=90°,

由勾股定理得：QB'+^QB的最小值為BN=J(2互+詆2=拈,即QB'+^QB的最

小值是.

15.已知拋物線y=-f+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè))，與V軸交于點(diǎn)C.

(1)如圖1,點(diǎn)。為拋物線頂點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作。A,點(diǎn)E為。A上的動(dòng)點(diǎn),

連接￡>E、BE,求+的最小值；

(2)如圖2,若點(diǎn)“是直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，以“為圓心，以1為半徑作。H,

點(diǎn)。是。H上一動(dòng)點(diǎn)，求中。Q+AQ的最小值；

(3)如圖3,點(diǎn)。是拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2,過(guò)點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是以0

為圓心，1為半徑的OO上的動(dòng)點(diǎn)，連接QF、PE,求的最大值.

—20—

【詳解】解:(1)令y=0,則0=-￡+2X+3,

解得x=-l,X2=3,A(3,o),B(-1,O),.-.AB=4,

將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式為y=-(x-iy+4,0(1,4),

如圖，在x軸上截取AF=；,則某=J,

4AE4

設(shè)拋物線對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)P,

AE1

*.*—二一，且NE4F=NJME,

AB4

???

?..EF=AE=\，

BEAB4

：.EF=-BE,

4

???當(dāng)。、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，DE+\BE=DE+EF=DF,

即+取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，

4

OF=OA-AF=—,

4

；?點(diǎn)E坐標(biāo)為(r,0),

7

:?PF-，DP=4,

4

/.DF=yJPF2+DP2=,

4

DE+^-BE的最小值為畫1；

44

（2）由拋物線y=-（x-l）2+4,

可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,

設(shè)直線AC的解析式為》=h+6，

將A（3,0）,C（0,3）代入>=收+方，

易得直線AC的解析式為y=-x+3,

???點(diǎn)H為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，

.??點(diǎn)”坐標(biāo)為（1,2）,

如圖，連接OH,與“交于點(diǎn)O,在。”上截取網(wǎng)=更，

HD5

過(guò)點(diǎn)N作NELx軸于點(diǎn)E,設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)尸，連接AN交，于點(diǎn)。,

OH=-JOF2+HF2=-s/5，

又：HQ=1,HD=HQ,

.HNHNHQ45

又?：乙NHQ=4QHO,

：.AQHNS/XOHQ,

.QNHN75

,.------=-------=------,

OQHQ5

QN=與OQ,

—22—

：.^-OQ+AQ=QN+AQ,

要使將OQ+AQ最小，則QV+AQ取最小值.即點(diǎn)A、。、N三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，值最

小，最小值為AN的長(zhǎng)，

易得直線OH的解析式為y=2x,

?.?點(diǎn)N在直線OH上，

；?設(shè)點(diǎn)N橫坐標(biāo)為x,則其縱坐標(biāo)為2x,

,/HN=8HD=墾

55

/?ON=OH-HN=45--=—,

55

軸，HFLx軸，

.OEON

??一，

OFOH

.x4小

175

4

解得x=g，

???點(diǎn)N坐標(biāo)為（?）,

??,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,

???加辦6+收小一升0=等，

???】foQ+AQ的最小值為'野；

（3）???點(diǎn)。是拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2,

。（2,3）,

?；C（0,3）,

/.CZ）_Ly軸，

DE_Lx軸，

易證四邊形OCDE為矩形，

，OE=CD=2,

如圖，在。4上取一點(diǎn)“，使得0H=；,連接?！辈⒀娱L(zhǎng)交。于點(diǎn)P,連接EP,

易得直線DH的解析式為y=2x-\,

,?P(0」),

.OH1OP1

—=一，JiZPOH=AEOP,

1~0P~2OE2

??△POHSAEOP,

.PHOP\

""~EP~~OE~2'

，PH=-EP,

2

當(dāng)點(diǎn)P在。〃的延長(zhǎng)線上時(shí)，尸。-/PE的值最大，最大值為的長(zhǎng),