第五節(jié)微分方程的數(shù)值解

第五節(jié)微分方程的數(shù)值解在實(shí)用上有重大意義的許多微分方程，雖然滿足解的存在唯一性定理的相關(guān)條件，但是它們的解常常不能表達(dá)成初等函數(shù)的形式，這類微分方程除了在第六章將要介紹穩(wěn)定性、定性方法進(jìn)行討論之外，最常用的方法就是用數(shù)值方法求解它們了，即微分方程的數(shù)值解法，現(xiàn)已逐步形成一門新的、獨(dú)立的研究分支了。求Cauchy問(wèn)題(初值問(wèn)題)的解，根據(jù)初值條件，按照一定的步長(zhǎng)h，用某種方法（算法）計(jì)算微分方程解的近似值，這樣求出的解稱為數(shù)值解。第一部分歐拉方法一、歐拉格式規(guī)定：相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距稱為步長(zhǎng)，在以后如不特別聲明，步長(zhǎng)就為定值h。討論下列節(jié)點(diǎn)列上的近似解：并用的近似值代入上式的右端，記所得結(jié)果為，于是有歐拉公式(Euler)把方程（1）離散化，其基本方法是用差商代替微商，如以點(diǎn)列代入方程（1），有：并用差商代替其中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即有：例1求解以下初值問(wèn)題解：分析1、確定步長(zhǎng)h＝0.1，由歐拉格式，有2、通過(guò)計(jì)算分析歐拉格式的精度較低。1.73211.78481.01.41421.43510.51.61251.64980.81.26491.27740.31.67331.54921.48320.90.70.61.35821.19181.10001.7178

1.34160.41.5803

1.18320.21.50901.09540.1

在的前提下估計(jì)的誤差稱為局部截?cái)嗾`差。1、歐拉公式（歐拉格式）2、差分方程由（3）構(gòu)成的方程稱為差分方程，由此逐步求。3、局部截?cái)嗾`差和精度如果一種數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差為，則稱這種方法的精度為階。二、隱式歐拉格式（一階精度）用向后差商替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，有（隱式歐拉格式）歐拉格式的精度是階。事實(shí)上，有三、兩步歐拉格式（二階精度）用中心差商替代方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，有（兩步歐拉格式）計(jì)算當(dāng)前步的值需要用到前兩步的值，因此，得名兩步格式。同時(shí)，也稱前兩種方法為單步方法。小結(jié)介紹了常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值求解的歐拉格式，這些格式分別具有一階和二階精度。注意：1、歐拉格式建立的基本思想就是用差商代替微商（向前、向后和中心差商）；2、步長(zhǎng)的選取；3、算法的收斂和穩(wěn)定性分析是一個(gè)算法的重要部分。歐拉格式隱式歐拉格式兩步歐拉格