復(fù)變函數(shù)第四版習(xí)題課

1一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)運(yùn)算和各種表示法2.復(fù)變函數(shù)以及映射的概念1.復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2.映射的概念2二、內(nèi)容提要復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)極限連續(xù)性代數(shù)運(yùn)算乘冪與方根復(fù)數(shù)表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數(shù)表示法復(fù)球面復(fù)平面擴(kuò)充曲線與區(qū)域判別定理極限的計(jì)算3

1.復(fù)數(shù)的概念41)兩復(fù)數(shù)的和2)兩復(fù)數(shù)的積3)兩復(fù)數(shù)的商2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算54)共軛復(fù)數(shù)實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)63.復(fù)數(shù)的其它表示法（1）幾何表示法7（2）向量表示法復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)8模的性質(zhì)三角不等式復(fù)數(shù)的輻角9輻角的主值10（3）三角表示法利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成稱為復(fù)數(shù)z的指數(shù)表示式.（4）指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成114.復(fù)數(shù)的乘冪與方根1)乘積與商兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.則有12

幾何意義復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為13兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.則有142)冪與根(a)n次冪:15

(b)棣莫佛公式165.復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)平面南極、北極的定義(1)復(fù)球面17球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大的幾何表示.球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.復(fù)球面的定義18包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱復(fù)平面.對(duì)于復(fù)數(shù)

來(lái)說(shuō),實(shí)部,虛部,輻角等概念均無(wú)意義,它的模規(guī)定為正無(wú)窮大.(2)擴(kuò)充復(fù)平面的定義196.曲線與區(qū)域（1）鄰域（2）內(nèi)點(diǎn)20如果G內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末G稱為開(kāi)集.(4)區(qū)域如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(a)D是一個(gè)開(kāi)集；(b)D是連通的,即D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái).(3)開(kāi)集21(5)邊界點(diǎn)、邊界

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P

的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn),這樣的P點(diǎn)我們稱為D的邊界點(diǎn).(7)有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.(6)區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域.

閉區(qū)域

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沒(méi)有重點(diǎn)的曲線C稱為簡(jiǎn)單曲線(或若爾當(dāng)曲線).(8)簡(jiǎn)單曲線23(9)光滑曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)24(10)單連通域與多連通域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.

從幾何上看，單連通域就是無(wú)洞、無(wú)割痕的域.257.復(fù)變函數(shù)的概念(1)復(fù)變函數(shù)的定義26(2)映射的定義27函數(shù)極限的定義注意:

8.復(fù)變函數(shù)的極限28極限計(jì)算的定理29與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.極限運(yùn)算法則30（1）連續(xù)的定義

9.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性31連續(xù)的充要條件連續(xù)的性質(zhì)32有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)有理分式函數(shù)特殊的:在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.33三、典型例題3435

其幾何意義是三角形任意一邊的長(zhǎng)不小于其它兩邊邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值.3637解38解39解40例6滿足下列條件的點(diǎn)組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實(shí)數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解41

是以為焦點(diǎn),以3為半長(zhǎng)軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因?yàn)閳D中解解在圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn).42例7函數(shù)將平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？解又于是表示平面上的圓.(1)43解表示平面上以為圓心，為半徑的圓.放映結(jié)束，按Esc退出.44例8解45例9證46兩邊平方,并化簡(jiǎn)得下面例子表明,很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形.47例10證48兩邊同時(shí)平方,49例11解故原方程可寫成50故原方程的根為51例12證利用復(fù)數(shù)