動力氣象-第三章(尺度分析與方程簡化)

第三章尺度分析與基本方程組的簡化尺度分析大尺度運(yùn)動方程組簡化★大尺度運(yùn)動的基本性質(zhì)★無量綱方程及動力學(xué)參數(shù)引言

大氣運(yùn)動方程組是非常復(fù)雜的，它是具有6個變量的非線性偏微分方程組，因此在研究具體的大氣運(yùn)動過程時，需要對方程進(jìn)行簡化。

所謂簡化就是在運(yùn)用運(yùn)動方程之前，針對所研究的運(yùn)動形勢的特點，正確區(qū)分影響運(yùn)動過程的主要因素和次要因素，然后略去方程中次要項，而保留其中主要項。目的：對方程進(jìn)行簡化，突出主要因子，研究運(yùn)動的主要特征。途徑：分析各因子（各項）大小，大——重要；——次要簡化的方程一方面在數(shù)學(xué)形式上變得簡單和容易處理，另一方面突出了某種運(yùn)動型式的本質(zhì)特征，其結(jié)果便于從物理上進(jìn)行解釋和在實際工作中應(yīng)用。一、尺度分析特征尺度是指某種特定型式運(yùn)動的空間范圍和時間區(qū)間以及氣象要素或者其他特性的一般大小。各物理場變量的時空變化有一個范圍，具有代表意義的量值——特征值——尺度。例：水平風(fēng)速在5~25m/s之間，特征值(U)取為10m/s。u=Uu*，v=Uv*，則U~101m/s，u*和v*為數(shù)值在0.5~2.5之間的無量綱量。將任一物理量q寫作：

q=Qq*

其中：Q—特征量，表示該物理量的一般大小；常量；有量綱。

q*

—無量綱量，量級在100，表示該物理量的具體大??；變量；沒有量綱。這里的q是廣義的，不僅包括氣象要素，還包括方程各項。比較物理量的大小，可比較特征量的大小。

特征尺度的選取和記號

運(yùn)動的水平尺度L：對于波狀式的運(yùn)動取其1/4的波長，對于渦旋運(yùn)動則取其半徑；

鉛直（垂直）尺度D：是指系統(tǒng)的垂直厚度；

時間尺度

：系統(tǒng)發(fā)生到消亡所經(jīng)歷的時間；

水平速度尺度U：是指水平速度的量級；

垂直速度尺度W：則是指垂直尺度的量級。

特征尺度的選取和記號尺度分析法的基本規(guī)定

(1)速度（水平、垂直）變化尺度與速度尺度相同：

hU

～

zU

～

U，

hW

～

zW

～

W

(2)經(jīng)過時間尺度

，物理量F的時間變化尺度

tF與水平變化尺度

hF相同：

tF

～

hF

(3)氣壓和密度的水平變化尺度比其本身的尺度小，但是氣壓和密度的垂直變化尺度與其本身的尺度相當(dāng)：

hP＜P，

h

＜

；

zP～P，

z

～

。時間尺度：運(yùn)動系統(tǒng)演變經(jīng)歷一個階段所需要的特征時間，用符號τ表示。τ=L/C，如果τ=L/U，則稱為平流時間尺度。尺度分析數(shù)量級運(yùn)算規(guī)則大氣運(yùn)動的尺度分類水平氣壓梯度力是一真實力，它應(yīng)是運(yùn)動方程中的主要項。觀測表明，在水平特征尺度相差很大的氣旋、反氣旋和龍卷、颮線、颶風(fēng)（臺風(fēng)）中的水平氣壓變動尺度可達(dá)到同樣的量級，使得它們的水平氣壓梯度相差好幾個量級。說明大氣運(yùn)動的特征與水平尺度關(guān)系密切，因此常根據(jù)運(yùn)動的水平特征尺度對大氣運(yùn)動進(jìn)行分類。通常分為大、中、小尺度運(yùn)動。各類運(yùn)動的特征尺度—基本物理量各類運(yùn)動的特征尺度—輔助物理量在中緯度大尺度大氣運(yùn)動，各物理量的特征量為：

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對方程組進(jìn)行尺度分析水平尺度：大尺度為106m；中尺度為105m；小尺度為104m。時間尺度：大尺度為105s；中尺度為104s；小尺度為103s?；痉匠痰暮喕椒?.零級簡化方程零級簡化：保留方程中數(shù)量級最大的各項，而其他項都略去不計。2.一級簡化方程一級簡化：除保留方程中數(shù)量級最大的各項外，還保留比最大項小一個量的各項。運(yùn)動方程的尺度分析（不考慮摩擦力）二、大尺度運(yùn)動方程組簡化運(yùn)動方程的尺度分析（不考慮摩擦力）運(yùn)動方程的尺度分析（不考慮摩擦力）連續(xù)方程的尺度分析熱力學(xué)方程簡化（絕熱）熱力學(xué)方程簡化（絕熱）28零級簡化方程（只保留量級最大項，得到的方程）為：三、大尺度運(yùn)動的基本性質(zhì)1.水平方向上：

水平氣壓梯度力＋水平科氏力＝0—地轉(zhuǎn)平衡地轉(zhuǎn)平衡運(yùn)動的特征：動力學(xué)特征：水平壓力梯度力與科氏力相平衡運(yùn)動學(xué)特征：風(fēng)沿等壓線吹；背風(fēng)而立，高壓在右，低壓在左（南半球相反）。地轉(zhuǎn)風(fēng)的表達(dá)式：

南半球：在南半球：高壓—反氣旋—逆時針2.垂直方向上：

—靜力平衡

不僅適用于大尺度系統(tǒng)，還適于中小尺度系統(tǒng)。

—Z坐標(biāo)向P坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換的物理基礎(chǔ)

對上式從Z高度積分到大氣頂H：

推論：垂直氣壓梯度力＝浮力

連續(xù)方程的零級簡化形式：——水平無輻散熱力學(xué)方程的零級簡化形式（絕熱）：

——大尺度運(yùn)動中溫度的局地變化

主要是由溫度平流引起的大尺度運(yùn)動的基本性質(zhì)大尺度零級近似方程組（無絕熱方程）中緯度大尺度運(yùn)動是準(zhǔn)水平、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)水平無輻散、緩慢變化的渦旋運(yùn)動。診斷方程、平衡簡化方程組。一級近似簡化方程組（保留量級最大項，和次一級的項，得到的方程）密度變化準(zhǔn)定常準(zhǔn)水平，非定常準(zhǔn)靜力平衡非平衡方程組。進(jìn)行尺度分析的步驟：1）把方程各項寫作“特征量×無量綱量”的形式。2）化為“無量綱方程”：用方程中某一項的特征量同除方程的每一項（量綱齊次性原理）——無量綱方程——各項前面的系數(shù)－無量綱（數(shù)）——體現(xiàn)各項的相對重要性。

四、無量綱方程與無量綱參數(shù)利用特征尺度將基本方程組進(jìn)行無量綱化。不計摩擦的局地直角坐標(biāo)系x方向的運(yùn)動方程為：給出特征尺度引入無量綱量，記為：帶上標(biāo)

的為無量綱量，量級為1。討論各參數(shù)的物理意義？

為基別爾參數(shù)：定義為局地慣性力與科氏力的尺度之比：f0是大氣中慣性運(yùn)動的特征頻率，所以，f0-1可以理解為慣性運(yùn)動的特征時間尺度（

e），也是地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的特征時間尺度。討論各參數(shù)的物理意義？因此，

又可以理解為慣性運(yùn)動的時間尺度與所研究的運(yùn)動時間尺度之比，其大小反映運(yùn)動變化過程的快慢程度。即

的量級表示運(yùn)動地轉(zhuǎn)平衡近似程度。因此，當(dāng)

<<1時，

u/

t

相對于fv可以略去。討論各參數(shù)的物理意義？

為羅斯貝參數(shù)，表示為水平慣性力與科氏力的尺度之比當(dāng)R0<<1水平慣性力相對于科氏力可以略去；反之當(dāng)R0>>1，科氏力相對于水平慣性力可以略去。由于各類運(yùn)動中的圖中水平速度變化不大，因此，R0的大小主要依賴于各種運(yùn)動的水平尺度。大尺度運(yùn)動中，R0<<1，科氏力是不能忽略的；小尺度運(yùn)動中，R0<<1，科氏力可以被忽略不計。中緯度大尺度運(yùn)動：

——準(zhǔn)地轉(zhuǎn)中緯度中小尺度運(yùn)動：

——非地轉(zhuǎn)熱帶大尺度運(yùn)動：

——非地轉(zhuǎn)

Ri為理查遜數(shù)，這是一個與大氣層結(jié)穩(wěn)定度和風(fēng)速切變有關(guān)的動力學(xué)參數(shù)。

熱力學(xué)方程由位溫(

)來表示為：

令

眾所周知，層結(jié)越不穩(wěn)定、風(fēng)速越強(qiáng)，則有利于對流的發(fā)展；反之不利于對流的發(fā)展。所以，Ri當(dāng)用來表示大氣中對流（擾動）導(dǎo)致的條件。為什么要簡化基本方程組？原因：描述大氣運(yùn)動的基本方程組非常復(fù)雜物理上：影響大氣運(yùn)動的因子很多，重點不突出數(shù)學(xué)上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難因此，需要簡化：物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用；數(shù)學(xué)上：略去方程中相對較小的項，保留大項，使方程簡單，容易求解