高考數(shù)學(xué) 6.7 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)試題

課時(shí)提升作業(yè)(三十九)數(shù)學(xué)歸納法(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2015·鄭州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=n4A.k2+1B.(k+1)2C.(D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】選D.當(dāng)n=k時(shí),左邊=1+2+3+…+k2,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以應(yīng)加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A.2 B.3 C.5 D.6【解析】選C.當(dāng)n=1時(shí),21=2=12+1,當(dāng)n=2時(shí),22=4<22+1=5,當(dāng)n=3時(shí),23=8<32+1=10,當(dāng)n=4時(shí),24=16<42+1=17,當(dāng)n=5時(shí),25=32>52+1=26,當(dāng)n=6時(shí),26=64>62+1=37,故起始值n0應(yīng)取5.3.(2015·南昌模擬)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的關(guān)系是()A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】選A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故選A.4.(2015·濰坊模擬)某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),若當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)該命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立,那么可推得()A.當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立B.當(dāng)n=5時(shí),該命題成立C.當(dāng)n=3時(shí),該命題成立D.當(dāng)n=3時(shí),該命題不成立【解析】選D.由數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)可以知道,當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立,可知當(dāng)n=3時(shí),該命題不成立.5.對(duì)于不等式n2+n<n+1(n(1)當(dāng)n=1時(shí),12+1<(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即k2+k<k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)2+(k+1)=所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.()A.過(guò)程全部正確B.n=1驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確【解題提示】此證明中,在推出P(k+1)成立中,并沒有用到假設(shè)P(k)成立的形式,不是數(shù)學(xué)歸納法.【解析】選D.在n=k+1時(shí),沒有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),即從n=k到n=k+1的推理不正確,故選D.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2015·洛陽(yáng)模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+…+12【解析】由n∈N*,n>1知,n取第一個(gè)值n0=2,當(dāng)n=2時(shí),不等式為1+12+1答案:1+12+1【誤區(qū)警示】此題很容易出現(xiàn),第一步驗(yàn)證的不等式是n=2時(shí)左邊為1+12,缺少了17.設(shè)Sn=1+12+13+14+…【解析】因?yàn)镾n+1=1+12+…+12n+12nSn=1+12+13+14+…所以Sn+1-Sn=12n+1+12n答案:12n+1+12n+28.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的正整數(shù)n都有(Sn-1)2=anSn,通過(guò)計(jì)算S1,S2,S3,猜想Sn=.【解析】由(S1-1)2=S12得:S1=由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=23由(S3-1)2=(S3-S2)S3得:S3=34猜想Sn=nn+1答案:n三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列{an}中,1<a1<2,an+1=1+an-12an(1)a3∈118(2)當(dāng)n≥3時(shí),|an-2|<12【證明】(1)因?yàn)?<a1<2,所以a2=1+a1-12a12=-則a2∈1,a3=1+a2-12a22=-故a3∈118(2)①當(dāng)n=3時(shí),a3-2∈118又118-2>-18,32-2所以-18<a3-2<18,即|a3-2|<②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3且k∈N*)時(shí),|ak-2|<12則當(dāng)n=k+1時(shí),|ak+1-2|=12·|ak-2|·|ak+2-2|<12·12即n=k+1時(shí)結(jié)論成立.由①②可知,當(dāng)n≥3時(shí),|an-2|<12【方法技巧】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的種類和注意點(diǎn)(1)證明不等式的種類一般有三種:一是直接給出不等式;二是比較兩個(gè)式子的大小,先利用n的幾個(gè)特殊值猜想大小再證明;三是已知不等式成立,尋求變量的取值范圍.(2)從n=k到n=k+1成立時(shí),一定要用假設(shè)n=k的中間過(guò)渡,可以用放縮法、基本不等式、分析法等.10.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,對(duì)任意的正整數(shù)n都有(n2+n)(an2-(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<2n.【解析】(1)由(n2+n)(an2-得an2-an+12=1n(n+1)所以an2-an-12=所以an2=(an2-an-12)+(an-12-an-22)+…=1n-1n-1+1n-1-1n-2+…+13-12+又因?yàn)閍1=1,適合上式,所以an2=因?yàn)閍n>0,所以an=1n(2)因?yàn)閍n=1n,所以Sn=1+12+13+…+①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,左<右,所以n=1時(shí),Sn<2n.②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí)所證不等式成立,即Sk<2k,當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1=1+12+13+…+1k+1k+1=2k(k+1)+1k+1<=2k+1故n=k+1時(shí),不等式仍成立.由①②可知,對(duì)任意n∈N*,不等式成立.【一題多解】解答此題還有如下方法:(1)因?yàn)閍1=1,an>0,(n2+n)(an2-所以a2=12,a3=13,a4=12=14,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,①當(dāng)n=1時(shí),因?yàn)閍1=1,所以n=1時(shí),an=1n②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí)所證成立,即ak=1k,當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?k2+k)(ak2-所以ak+12=ak2-1k2+k所以ak+1=1k+1故當(dāng)n=k+1時(shí),an=1n由①②可知,對(duì)任意n∈N*,an=1n(2)因?yàn)?n=22n<2n+所以Sn=1+12+13+…<2(1-0+2-1+3-2+…+n-n-1)=2n.【加固訓(xùn)練】由下列不等式:1>12,1+12+13>1,1+12+13+…+17>32,1+12+【解析】一般結(jié)論:1+12+13+…+12n-1(1)當(dāng)n=1時(shí),由題設(shè)條件知命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),猜想正確,即1+12+13+…+12當(dāng)n=k+1時(shí),1+12+13+…+12k-1+>k2+12k+12>k2+12k+1+12=k2+2k2所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)n∈N*,1+12+13+…+12(20分鐘40分)1.(5分)(2015·天津模擬)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命題總成立的是()A.若f(1)<1成立,則f(10)<100成立B.若f(2)<4成立,則f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k2成立【解析】選D.選項(xiàng)A,B與題設(shè)中不等號(hào)方向不同,故A,B錯(cuò);選項(xiàng)C中,應(yīng)該是k≥3時(shí),均有f(k)≥k2成立;選項(xiàng)D符合題意.2.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”的第二步是()A.假使n=2k+1時(shí)正確,再推n=2k+3時(shí)正確(k∈N*)B.假使n=2k-1時(shí)正確,再推n=2k+1時(shí)正確(k∈N*)C.假使n=k時(shí)正確,再推n=k+1時(shí)正確(k∈N*)D.假使n≤k(k≥1)時(shí)正確,再推n=k+2時(shí)正確(k∈N*)【解析】選B.因?yàn)閚為正奇數(shù),根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟,第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立,本題即假設(shè)n=2k-1(k∈N*)時(shí)正確,再推第k+1個(gè)正奇數(shù),即n=2k+1時(shí)正確,故選B.3.(5分)平面上有n條直線,它們?nèi)魏蝺蓷l不平行,任何三條不共點(diǎn),設(shè)k條這樣的直線把平面分成f(k)個(gè)區(qū)域,則k+1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k+1)=f(k)+.【解析】當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段,而每一段將它們所在區(qū)域一分為二,故增加了k+1個(gè)區(qū)域.答案:k+14.(12分)(2015·漢沽模擬)如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個(gè)點(diǎn),點(diǎn)Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)寫出a1,a2,a3.(2)求出點(diǎn)An(an,0)(n∈N*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式并證明.【解析】(1)a1=2,a2=6,a3=12.(2)依題意,得xn=an-1+an2由此及yn2=33·an即(an-an-1)2=2(an-1+an).由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N*).下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明:①當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即有ak=k(k+1),則當(dāng)n=k+1時(shí),由歸納假設(shè)及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1],即ak+12-2(k2+k+1)ak+1+[k(k-1)]解得ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak不合題意,舍去),即當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由①②可知,命題成立.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=a3=k,an+1=k+anan-1an-2(n≥(1)求b1,b2,b3,b4.(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(3)是否存在正數(shù)k,使得數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為整數(shù),如果不存在,說(shuō)明理由,如果存在,求出所有的k.【解析】(1)經(jīng)過(guò)計(jì)算可知:a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+2k求得b1=b3=2,b2=b4=2k+1(2)由條件可知:an+1an-2=k+anan-1.①類似地有:an+2an-1=k+an+1an②①-②有:an+a即:bn=bn-2.所以b2n-1=b2n-3=…=b1=a1b2n=b2n-2=…=b2=a2+a所以bn=4k+12k+(3)假設(shè)存在正數(shù)k,使得數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均為整數(shù),則由(2)可知:a2n+1=2由a1=k∈Z,a6=k+4+2k∈當(dāng)k=1時(shí),2k+1k=3為整數(shù),利用a1,a2,a3結(jié)合③式,反復(fù)遞推,可知{an}的每一項(xiàng)均為整數(shù),當(dāng)k=2時(shí),③變?yōu)閍2n+1=2我們用數(shù)學(xué)歸納法證明a2n-1為偶數(shù),a2n為整數(shù),n=1時(shí),結(jié)論顯然成立,假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,這時(shí)a2n-1為偶數(shù),a2n為整數(shù),故a2n+1=2a2n-a2n-1為偶數(shù),a2n-2為整數(shù),所以n=k+1時(shí),命題成立,故數(shù)列{an}是整數(shù)列,綜上所述,k的取值集合是{1,2}.【加固訓(xùn)練】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1(n∈N*).(1)求a1,a2.(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并給出證明.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),方程x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1,所以(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12.當(dāng)n=2時(shí),方程x2-a2x-a