內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期高一年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試卷數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知命題p：，，則p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用全稱命題的否定方法，改變量詞，否定結(jié)論可得答案.【詳解】，的否定為：，.故選：A.2.設(shè)集合，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用舉反例可排除選項(xiàng)A,B,D，然后根據(jù)集合中元素可滿足集合中元素的表示形式，故，可判斷C【詳解】因?yàn)榧希?，所以，，所以選項(xiàng)A,B,D均不正確，因?yàn)橹械乃性乜杀硎緸?，滿足集合中元素的表示形式，故，所以，故C正確，故選：C3.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】由對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分成，討論進(jìn)行求解.詳解】對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，①時(shí)，恒成立，②時(shí)，，解得，綜上可得，.故選：A.4.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，設(shè)出解析式，代入點(diǎn)可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，所以.故選：C.5.若，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)的奇偶性、結(jié)合圖象變換和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)?，函?shù)滿足，解答或，即函數(shù)的定義域?yàn)?，排除A、B，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是函數(shù)的圖像向右平移一個(gè)單位得到的，可排除C.故選：D.6.設(shè)，，，則，a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可比較大小.【詳解】依題意，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，由此可?故選：D.7.設(shè)是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的范圍，求出以及的范圍，根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知，的取值集合為.所以，，所以，，所以，可能是第一象限角，也可能為第二象限角，終邊也有可能落在軸正半軸上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由已知，的取值集合為.所以，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)位于第二象限，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)位于第四象限，.綜上所述，恒成立，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)位于第二象限時(shí)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)位于第四象限時(shí)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.8.定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】由已知化簡不等式可得.然后根據(jù)單調(diào)性、奇偶性，分別討論求解以及時(shí)，不等式的解集，即可得出答案.【詳解】由已知可得.當(dāng)時(shí)，有.由，且在上單調(diào)遞減，可知；當(dāng)時(shí)，有.根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可推得，且在上單調(diào)遞減，所以.綜上所述，不等式的解集為或.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義和增函數(shù)的特征來判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不是增函數(shù)；對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)；又，所以為增函數(shù)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以是奇函?shù)；因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，是減函數(shù)，所以為增函數(shù)，C正確；對(duì)于D，定義域?yàn)?，因?yàn)椋圆皇瞧婧瘮?shù)，D不正確.故選：BC.10.已知都是正數(shù)，若，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷ABC；消元，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】因?yàn)槎际钦龜?shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；由，得，由，可得，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．則下列判斷正確的是（）A. B.C.圖象的對(duì)稱軸為 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】運(yùn)用偶函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)對(duì)稱性可分析A項(xiàng)、C項(xiàng)，再運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性可分析B項(xiàng)、D項(xiàng).【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∴圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C項(xiàng)正確；∴將代入得：，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；將代入得：，又∵在上單調(diào)遞減，∴，即：，故B項(xiàng)正確；∵，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，∴，即：，解得：.故D項(xiàng)正確.故選：BCD.12.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”，設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14的含量為y（把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位），則下列敘述正確的是（）A.函數(shù)解析式為，B.碳14的年衰減率為C.經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一D.在2010年，某遺址檢測出碳14的殘留量為，則該遺址大概是公元前2903年建成的【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)半衰期的定義可直接得出函數(shù)解析式及衰減率，將相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入解析式即可求解.【詳解】依題意，對(duì)于A：因?yàn)闄C(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，所以年后體內(nèi)的碳14應(yīng)為原來的，所以函數(shù)解析式為，，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：設(shè)每年的衰減率為，原來的碳14含量為，則有，，解得，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樘?4的殘留量為，所以，即，解得，由，可知?jiǎng)t該遺址大概是公元前2903年建成的，所以D選項(xiàng)正確；故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是A，函數(shù)的定義域?yàn)锽，則是的______條件（填寫充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要中的一個(gè)）．【答案】必要不充分【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)定義域化簡集合，再結(jié)合條件的定義來判斷.【詳解】由可得或，即或；由可得；因?yàn)?，，所以是的必要不充分條件.故答案為：必要不充分14.已知，且，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得，故答案為：15.函數(shù)，若函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】對(duì)分段函數(shù)的每一段進(jìn)行單調(diào)性分析，畫出對(duì)應(yīng)的圖象，然后結(jié)合題意可得到與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可求解【詳解】當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故此時(shí)最小值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)在上單調(diào)遞減，故此時(shí)最小值；作出對(duì)應(yīng)的圖象，如圖所示函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可看作與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，從圖象可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍是故答案：16.若（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：令，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，因?yàn)椋?，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上恒成立，則，且，解得；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，因?yàn)椋?，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上恒成立，則，且，無解，綜上：，故答案為：四、解答題；本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）已知，求的值；（2）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值．【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）將代入，化簡即可得出答案；（2）化簡可得.然后根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出答案.【詳解】（1）由題知.（2）由誘導(dǎo)公式可得.由三角函數(shù)的定義知，所以．18.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接運(yùn)用冪函數(shù)運(yùn)算法則即可求解；（2）直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算法則即可求解.【小問1詳解】依題意，【小問2詳解】19.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明．【答案】（1）（2）減函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定義求解即可；（2）利用單調(diào)性的定義求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且定義域?yàn)?，所以?duì)于，，即對(duì)恒成立，所以恒成立，因?yàn)椴缓銥榱悖?【小問2詳解】由題知為減函數(shù)，下證明：任取，且，則，因?yàn)?，所以，故，即，則，即，所以在上為減函數(shù).20.（1）已知二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的平方和為15，求該二次函數(shù)的解析式．（2）在（1）條件下，當(dāng)時(shí)，求一元二次不等式的解集．【答案】（1）或；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，，然后利用韋達(dá)定理可求得，即可求解；（2）將，代入不等式可得，先求出對(duì)應(yīng)方程的根，然后分和兩種情況進(jìn)行討論即可【詳解】（1）由題知，．因?yàn)?，是方程的兩根，則由韋達(dá)定理得，．又，故，解得．所以，函數(shù)的解析式為或．（2）由（1）可知，，一元二次不等式可化．由題知，則二次方程，可化為，解得，或．當(dāng)時(shí)，有，原不等式的解集為．當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，原不等式的解集為．若，即時(shí)，原不等式的解集為．若，即時(shí)，原不等式的解集為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．21.為迎接2022年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié)，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷．經(jīng)調(diào)查測算，該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費(fèi)用x萬元滿足：（其中，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元/件．假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求．（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？并求出最大利潤的值．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可推得，代入，化簡即可得出結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式即可求出最大值；當(dāng)，先根據(jù)單調(diào)性的定義得出在上的單調(diào)性，即可得出最大值.【小問1詳解】由題意知，，將代入化簡得，．【小問2詳解】因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，.，且，則.因?yàn)?，且，所以，所以，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，y取最大值為．綜上，當(dāng)時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬元時(shí)，廠家的利潤最大為17萬元；當(dāng)時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬元時(shí)，廠家的利潤最大為萬元．22.設(shè)函數(shù)．（1）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；（2）設(shè)函數(shù)，，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）11；（2）.【解析】【分析】（1）分離參數(shù)可得，.換元求出的最大值，即可得出答案；（2）代入整理可得，.換元，原題可轉(zhuǎn)化為在時(shí)有兩個(gè)解.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象，即可得出答案.【小問1詳解】由題意得，設(shè)，則．令，顯然函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)