幾何學(xué)的發(fā)展

幾何學(xué)的發(fā)展一、近代射影幾何一一綜合幾何的發(fā)展自從笛卡兒等人創(chuàng)立解析幾何以后，代數(shù)的和分析的方法統(tǒng)治著幾何學(xué)，綜合的方法受到了排斥.但是，優(yōu)美而直觀、清晰的幾何方法，一直吸引著不少幾何學(xué)家.19世紀(jì)初，不少著名的數(shù)學(xué)家指出，綜合幾何一一用綜合的方法對(duì)幾何進(jìn)行的研究被不公平、不明智地忽略了，因此應(yīng)該積極努力地來(lái)復(fù)興和擴(kuò)展綜合幾何.以龐斯列(J.V.Poncelet，1788—1867)為代表的幾何學(xué)家放棄分析的方法，采用純粹幾何的方法進(jìn)行探討.他們?nèi)〉昧素S碩的成果，這些成果在19世紀(jì)早期是幾何學(xué)的主流.為了和笛卡兒的解析幾何以及歐幾里得幾何有所區(qū)別，人們稱(chēng)之為近代綜合幾何.實(shí)際上，這種近代綜合幾何是17世紀(jì)帕斯卡、德扎格等人開(kāi)創(chuàng)的射影幾何的復(fù)興，因而又被人稱(chēng)為近代射影幾何.綜合的歐幾里得幾何學(xué)在19世紀(jì)初取得了一些新成果，產(chǎn)生了數(shù)以百計(jì)的新定理.19世紀(jì)綜合幾何的主要成就是射影幾何學(xué)的復(fù)興.射影幾何學(xué)在17世紀(jì)曾有過(guò)突出的成就，但卻被解析幾何、微積分淹沒(méi)了.數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)論戰(zhàn)，終于在19世紀(jì)為綜合幾何贏得了較高的地位.綜合幾何尤其是射影幾何在19世紀(jì)的興起主要應(yīng)歸功于以蒙日(G.Monge，1746—1818)為首的法國(guó)數(shù)學(xué)家.他是法國(guó)拿破侖時(shí)代數(shù)學(xué)界的導(dǎo)師，也是一位優(yōu)秀的教師，大批的優(yōu)秀幾何學(xué)家都是在他的直接教導(dǎo)和影響下成長(zhǎng)起來(lái)的，其中就有龐斯列和卡諾.射影幾何學(xué)的復(fù)興始于卡諾(L.N.M.Carnot，1753—1823)，他是蒙日的學(xué)生，物理學(xué)家S.卡諾的父親.他是受蒙日的影響研究幾何學(xué).1803年，出版了《位置幾何學(xué)》(Geome-triedePosition)，1806年版了《橫截線論》(EssaiSurLatheoriedestransversales)，在這些書(shū)中，他導(dǎo)出了完全四邊形和完全四角形的性質(zhì)，并且引入了種種有價(jià)值的射影幾何理論，他試圖證明射影幾何方法并不比解析幾何方法遜色.龐斯列在俄羅斯的監(jiān)獄中給純粹的幾何方法注入了新的生命力.1822年，他的研究成果《圖形的射影性質(zhì)》(Traitedesproprietesprojectivesdesfigures)在巴黎出版.這本書(shū)內(nèi)容極為豐富，它所研究的是那些在射影時(shí)保持不變的性質(zhì).平面圖形的某些度量性質(zhì)(如距離、角度)在投影時(shí)有所變化，但有些卻不變，如四條相交于一點(diǎn)的直線被一截線所割，截點(diǎn)分別是A，B，C，D，則(AB：BC):(AD：DC)不變.他稱(chēng)(AB:BC):(AD:DC)為點(diǎn)列的反調(diào)和比或交比.他詳細(xì)討論了交比、射影對(duì)應(yīng)、對(duì)合變換、圓上虛渺點(diǎn)等基本概念.龐斯列在射影幾何方面的工作以三個(gè)觀念為中心：(1)透射的圖形；(2)連續(xù)性原理；(3)圓錐曲線的極點(diǎn)與極線.以這些觀念為中心，他奠定了射影幾何的基礎(chǔ).19世紀(jì)射影幾何的一個(gè)重要成就是建立了對(duì)偶(duality)原理.龐斯列等人認(rèn)識(shí)到，涉及平面圖形的定理，如果把“點(diǎn)”換成“線”、“線”換成“點(diǎn)”，重述一遍，不但話談得通，而且竟是正確的.這是為什么呢？為此數(shù)學(xué)家們展開(kāi)了爭(zhēng)論，龐斯列隊(duì)為配極關(guān)系是其原因.熱爾崗(Joseph—DiezGergonne,1771—1859)則堅(jiān)決主張對(duì)偶原理是一個(gè)普遍性原理，適用于除了涉及度量性質(zhì)之外的一切陳述和定理，配極關(guān)系是不必要的中介.他首先引入“對(duì)偶性”這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)表示原定理與新的對(duì)偶定理之間的關(guān)系.他還注意到在三維的情形中點(diǎn)與面是對(duì)偶的元素，線的對(duì)偶元素是自身.熱爾崗發(fā)明了把對(duì)偶的定理寫(xiě)成兩欄的格式，把對(duì)偶的定理并排寫(xiě)在原來(lái)命題的旁邊.下面我們看看德扎格定理及其對(duì)偶：德扎格定理 德扎格定理的對(duì)偶如果有兩個(gè)三角形，聯(lián)接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的線過(guò)同一個(gè)點(diǎn)0,那么對(duì)應(yīng)邊相交的三個(gè)點(diǎn)在同一條線上.如果有二個(gè)三角形，聯(lián)接對(duì)應(yīng)邊的點(diǎn)在同一條線0上，那么對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)相連的三條線過(guò)同一個(gè)點(diǎn).我們看到德扎格定理的對(duì)偶也是正確的，實(shí)際上它是原來(lái)定理的道定理.瑞士數(shù)學(xué)家施泰納(J.Steiner，1796—1863)建立了射影幾何學(xué)的嚴(yán)密系統(tǒng)，他把卡諾在完全四邊形方面的工作推廣到空間多邊形，完成了點(diǎn)列、線束、二項(xiàng)曲線及曲面的理論，討論了圓錐曲線的種種性質(zhì).其主要著作是1832年出版的《幾何形的相互依賴(lài)性的系統(tǒng)發(fā)展》(SystematischeEntwicklungderAbhngigkeitgeometrischenGestaltenVoneinaader)，這本書(shū)的主要原理是運(yùn)用射影的概念從簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)(如點(diǎn)、線、線束、面、面束)建造出更復(fù)雜的結(jié)構(gòu).1867年他又對(duì)射影幾何的原理作了詳細(xì)說(shuō)明.施泰納從開(kāi)始研究幾何時(shí)就使用對(duì)偶原理，他把圓錐曲線的對(duì)偶化稱(chēng)為線曲線，把作為點(diǎn)的軌跡的通常的曲線稱(chēng)為點(diǎn)曲線，點(diǎn)曲線的諸切線是一條線曲線.在圓錐曲線的情形就構(gòu)成對(duì)偶曲線.利用圓錐曲線的對(duì)偶概念，可以把許多圓錐曲線定理如帕斯卡定理?yè)Q成其對(duì)偶命題.沙勒(M.Chasles，1793—1880)指出，從對(duì)偶原理來(lái)看，在射影幾何中線可以同點(diǎn)一樣基本.他引進(jìn)了一些新的術(shù)語(yǔ)，如把“交比”稱(chēng)為“非調(diào)和比”，稱(chēng)將點(diǎn)變成線、線變成點(diǎn)的變換為對(duì)射，等等.長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)射影幾何與歐氏幾何的關(guān)系一直不清楚.1847年，德國(guó)數(shù)學(xué)家斯陶特(K.G.C.V.Staudt，1798—1867)出版的《位置幾何學(xué)》(GeometriederLage)澄清了這方面的關(guān)系，他指出，射影幾何完全可以擺脫長(zhǎng)度的概念.例如：“交比”是一個(gè)基本概念，他把坐標(biāo)是％"企.田的四點(diǎn)的交比定歐.為-盤(pán)樣地不依靠長(zhǎng)度和迭合的概念就得到了建立射影幾何的基本工具.因此，他指出射影幾何學(xué)實(shí)際上比歐氏幾何還基本，射影幾何學(xué)是與距離和角的大小無(wú)關(guān)的學(xué)科，歐氏幾何實(shí)際上可以看作射影幾何的特例.這樣，斯陶特完全擺脫了代數(shù)和度量的關(guān)系，建立了“純粹”的綜合幾何理論.射影幾何從古希臘起就已出現(xiàn)，17世紀(jì)德扎格、帕斯卡又進(jìn)一步發(fā)展了，到19世紀(jì)中葉，已經(jīng)發(fā)展成了一門(mén)十分成熟的學(xué)科，占據(jù)著幾何學(xué)乃至數(shù)學(xué)的重要地位.二、非歐幾何的建立從歐幾里得本人開(kāi)始，歐氏幾何第五公設(shè)(平行公設(shè))就一直是數(shù)學(xué)家的一塊心病，它完全不能滿(mǎn)足人們的審美要求.這條公設(shè)冗長(zhǎng)，一點(diǎn)也不直觀，與具有簡(jiǎn)單性、簡(jiǎn)明性的美妙的歐氏幾何太不相稱(chēng)了.于是，許多數(shù)學(xué)家力圖由其他公理、公設(shè)中推出平行公設(shè)，但誰(shuí)也沒(méi)有成功.盡管如此，19世紀(jì)以前依然進(jìn)行了一些有價(jià)值的工作，他們中有普羅克洛斯(Proclus，約公元412—485年)、沃利斯、薩凱里(G.Saccheri，1667—1733)、克萊羅、蘭伯特、勒讓德、普雷菲爾(J.Playfair，1748—1819)等等.薩凱里的工作最值得重視，在1733年發(fā)表的論文中，他從一個(gè)四邊形ABCD開(kāi)始，其中A和B是直角，且AC=BD，(圖13.2)易證ZC=ZD，歐氏幾何平行公設(shè)相當(dāng)于ZC，ZD是直角這個(gè)論斷，于是他在下列兩種情形中選擇：A B圖13.鈍角假設(shè)：/C、/D是鈍角；銳角假設(shè)：/C、/D是銳角.他首先證明第1種情形不可能.其次，他在考慮第二個(gè)假設(shè)時(shí)，沒(méi)有得到任何矛盾，并且得到了許多有趣的定理，本來(lái)這種沒(méi)有矛盾的系統(tǒng)完全可以宣稱(chēng)是一種新幾何，但他缺乏理論勇氣，以“結(jié)論不合情理”而否認(rèn)了.勝利的果實(shí)滑到嘴邊又溜走了.數(shù)學(xué)王子高斯在18世紀(jì)就知道要證明平行公設(shè)是徒勞的，并且在15歲時(shí)已經(jīng)掌握了能夠存在一種邏輯幾何的思想，其中歐氏平行公設(shè)不成立，他在思想上是非常解放的，絲毫不會(huì)為傳統(tǒng)觀念所左右，也不為科學(xué)泰斗所嚇倒.從1813年他就開(kāi)始發(fā)展新幾何，起初他稱(chēng)反歐幾何(anti-EuclideanGeometry)，星空幾何，最后稱(chēng)非歐(Non—Euclidean)幾何，他認(rèn)為非歐幾何在邏輯上是相容，并且具有歐氏幾何一樣的可應(yīng)用性.但他在行動(dòng)上一向謹(jǐn)小慎微，怕受人奚落，不為人理解，不敢發(fā)表離經(jīng)叛道的、但被他認(rèn)為是正確的學(xué)說(shuō).1826年2月12日，俄國(guó)學(xué)者羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)數(shù)理系宣讀了《論幾何原理》一文①，宣告了非歐幾何的創(chuàng)立.1835—1837年，他發(fā)表《具有平行的完全理論的幾何新基礎(chǔ)》，較好地表達(dá)了他的思想，他稱(chēng)他的新幾何為“虛幾何”.1840年用德文出版了《平行理論的幾何研究》_(GeometrischeUntersuchun—genZurTheoriederparalle-llinien)，在雙目失明后仍口授出一部關(guān)于他的幾何的完全新的說(shuō)明，于1855年以《泛幾何》而出版.幾乎與此同時(shí)，匈牙利軍官波爾約(J.Bolyai)在1825年左右已建立起非歐幾何思想，并于1832—1833年以《絕對(duì)空間的幾何》一文作為其父沃夫?qū)?波爾約(WolfgangBolyai，1775—1856)《為好學(xué)青年的數(shù)學(xué)原理論著》的附錄出版了.他的工作與羅巴切夫斯基的工作一起分別創(chuàng)立了非歐幾何.高斯、羅巴切夫斯基、波爾約都認(rèn)識(shí)到歐氏平行公設(shè)不能在其他公設(shè)基礎(chǔ)上證明，平行公設(shè)是歐氏幾何中獨(dú)立的和必不可少的，非歐幾何就是采取一個(gè)與平行公設(shè)相矛盾的命題，并從與此組成的一組新公理中，重新建立一種幾何.羅巴切夫斯基放棄了平行公設(shè)，提出了“羅氏平行公設(shè)”：過(guò)定直線外一定點(diǎn)有無(wú)數(shù)條定直線的平行線，并按如下方式建立新幾何：“設(shè)想從一點(diǎn)(C)作垂線a垂直于已知直線(AB)，并從該點(diǎn)向直線作平行線；記F(a)為。和平行線間的角”.在圖13.3中，過(guò)點(diǎn)C的所有直線關(guān)于直線AB可以分成兩類(lèi)，一類(lèi)直線與AB相交，另一類(lèi)不相交.直線p與q屬于后一類(lèi)，構(gòu)成相交與不相交兩類(lèi)直線的邊界.F(a)是AB的垂線a與過(guò)C的AB的平行線間的角，稱(chēng)為平行角.在羅巴切夫斯基幾何中，過(guò)C與AB平行的直線有無(wú)窮條.這正與歐氏幾何中“過(guò)定直線外一定點(diǎn)只有一條定直線的平行線”形成了鮮明對(duì)照.若F9)=則得出歐氏平行公設(shè).若F(cO尹號(hào)則當(dāng)咸小到0暇職)增加且趨于；當(dāng)疫成無(wú)限大時(shí)"壹將減小而趨于零.因此，三角形的內(nèi)角之和恒小于n，且隨著三角形面積的增大而減小，當(dāng)面積趨于零時(shí)，它就趨于n.“假設(shè)三角形內(nèi)角和小于n，就導(dǎo)致出圓隨半徑的增長(zhǎng)不趨于直線，而趨于一特種曲線，我們稱(chēng)它為極限圓.球面在這種情況下也趨向于一曲面，類(lèi)似地，我們稱(chēng)它為極限球面.”然后羅巴切夫斯基轉(zhuǎn)向新幾何的三角學(xué)部分.設(shè)想一個(gè)球面三角形AJBC,其球面中心為A(圖捋.4).首先他確定了F愆)，?結(jié)果是遴①愆)=巳-％己為自然對(duì)數(shù)？勺底°由此羔F(0)=—F(+e)=爪對(duì)于圖13.4中的球面三角形，他給出了公式ctgF(a)=ctgF(c)sinA，sinA=cosBsinF(b)，sinF(c)=sinF(a)sinF(b).“一般說(shuō)來(lái)，在直角三角形中，a,b為直角邊，n-23為各角和，則有;/+ij因而三角形越小，它的各角之和同兩直線的區(qū)別越小.”根據(jù)對(duì)無(wú)窮小三角形的研究，羅巴切夫斯基還得出了曲線y=f(x)在(x，y)處的孤微分公式叫『若m于是，半徑為r的圓周長(zhǎng)c=n(er—e-r)，圓面積A=n(孩-己一時(shí)隨后，他還建立了非歐空間的解析幾何和微分幾何的原理.非歐幾何的一種形式一一羅巴切夫斯基幾何已經(jīng)建立起來(lái)，“無(wú)論如何，新的幾何學(xué)，它的基礎(chǔ)已在此被規(guī)定，如果不存在于自然界中，那也可以存在于我們的虛想之中，它無(wú)助于實(shí)際測(cè)量，但對(duì)幾何學(xué)和分析學(xué)的互相利用，卻開(kāi)拓了一個(gè)新的、廣闊的領(lǐng)域.”非歐幾何的誕生在數(shù)學(xué)史上具有十分重大的意義.它使人們認(rèn)識(shí)到，平行公設(shè)不能在其它公設(shè)的基礎(chǔ)上證明，它是獨(dú)立的命題，因而可以采用一個(gè)與之矛盾的公理并進(jìn)而發(fā)展成為全新的幾何.三、微分幾何19世紀(jì)微分幾何的主要成就是柯西、高斯和黎曼做出的.不僅如此，高斯還提出了一個(gè)全新的概念：一張曲面本身就是一個(gè)空間，這個(gè)概念隨后為黎曼所推廣.并且由此確立了羅巴切夫斯基幾何的“合法”地位，從而在非歐幾何中開(kāi)辟了新的發(fā)展道路.空間曲線理論在19世紀(jì)日趨完善.1826年，柯西在他的名著《無(wú)窮小計(jì)算在幾何上的應(yīng)用教程》(ApplicationsduCal-culinfinitesimalalageemetrie)中，改進(jìn)了一些新的概念并且澄清了空間曲線理論中的許多問(wèn)題。他把通過(guò)空間中的點(diǎn)(…，Q的直線方程記作其中cosa，cosp，cosy是直線的方向余弦，這在今天已成標(biāo)準(zhǔn)形式.他取孤長(zhǎng)作自變量(s)，從而得到空間曲線任一點(diǎn)處切線的方向余弦笑一笑證明了主法線的方向數(shù)是共凄點(diǎn)曲線的曲率dsdsds ds"dsdsk=^-=摭曜))'+(頊,"(P是曲率半徑)；隨后他又證明了，

如果切線的方向余藕是做a和&&Y.頊臉?"=一-=="■d（c：O：5p）站。" : =—-—-Z*＜■d（c：O：5p）站。" : =—-—-Z*J - —-一=——.紊十片弋co?/4GdsH 既P”s節(jié)是一條法線的方向余弦，他取遺條法線為主法線.他還證明了其中攜相鄰切線間的夾角.pdscoeL柯西把切線和主法線決定的平面作為密切平面，這個(gè)平面的法線是次法線，而次法線的方向余弦cosL,cosM，cosN由下列公式給出：coeLcosM ?casNdyd3z-dzd"!ydzd22i.-dxd'z dxc\-dyd^z:：TOC\o"1-5"\h\z地—m、一dc：osL cosX d^osM coslc dcosN cosv然盾他UL明了 ， ，— ,dstas；tdst-其中［是撓率;.【=嘩，好是密切平面間的夾角。7 TC1S曲線的曲率G）和撓率（!）是空間曲線的兩個(gè)最主要的性質(zhì),曲宰和撓率確定以后，曲線就幾乎被完全決定了.弗朗內(nèi)（F.J.Frenet,1816—1900）、塞雷（J.A.Serret,1819-1885）分別于1847年，1851年發(fā)現(xiàn)了上述柯西的切線、次法線的方向余弦的導(dǎo)數(shù)公式，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)了法線的方向余弦的導(dǎo)數(shù)公式：dwsAcosa率BeosMdb&svcosydspdsPT 如，pdGQSVcosyjc^sNdspT這三個(gè)公式就是空間曲線理論中著名的弗朗內(nèi)一塞雷公式.用向量表示為:稱(chēng)為曲線論的基本公式.1828年，高斯發(fā)表《關(guān)于曲面的一般研究》（Disquisitio-nsGeneralesCircaSuperficiesCurvas）一文（完成于1827年），對(duì)微分幾何的進(jìn)展起了決定性的作用，給出了今天教科書(shū)中曲面論的大多數(shù)結(jié)果.高斯利用歐拉的參數(shù)u,v表示曲面的思想，將曲面方程寫(xiě)成x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v).他的出發(fā)點(diǎn)就是利用參數(shù)表示來(lái)進(jìn)行曲面的系統(tǒng)研究.苜先，高斯引入了曲面習(xí)：(u,v)的第一基本齊歸1=ds2=E(u,du^+2F\.u,心dudv+G(u?v)如"。其rpE-fu,v;j;=JF3,v.)=ru?j=%奩享+乳扁+%%，G(u,v)= +%七E,F,G稱(chēng)為第一類(lèi)基本量，在曲面上每一點(diǎn)都是常數(shù).接著，他又開(kāi)始考慮另一個(gè)基本量一一曲面上兩條曲線之間的夾角。.對(duì)于從(u,v)出發(fā)的曲線上的兩條曲線，一個(gè)由du：dv給定，一個(gè)由0u:6v給定，高斯證明了兩條曲線之間的夾角。滿(mǎn)足EduSu+F(du3u+dv3u)+GdvSv' " ，^Ddu2+2Fdudv+Gdv"VE3u'i-:2FSu.Sfr-+Gj3v隨后，他引進(jìn)了曲面習(xí)Ir=7(uf的第二基本齊式務(wù)"=nfds2=Ldu'：+2Mdudv+Ndv2；L,M,N稱(chēng)為第二類(lèi)基本量.進(jìn)行了這些準(zhǔn)備工作后，高斯證明了曲面的全曲率公式K,并且證明他的K就是歐拉在18世紀(jì)提出的兩個(gè)主曲率k,匕的乘積，即K=LN-M2虹虹=eg_F‘o’1街1年，格爾曼怎.Germain,；.1776—1831)提出了EKT?-.?2M+GL頂EG-F")了兩個(gè)主曲率的平均曲率——中曲率的概念并得到H=： +k疔。EKT?-.?2M+GL頂EG-F")引進(jìn)這些基本量以后，高斯又考察了曲面的許多性質(zhì).他特別對(duì)曲面的等距變換感興趣。兩張曲面彌為等距的，如果這兩抵曲面習(xí)】；r1=r1(l,時(shí)，2<■r2=r2(u,時(shí)關(guān)M建立一一對(duì)我的關(guān)系,并且兩張曲面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離元素相等，即Edu+2Fdudv+Gdv=Edu+2Fdudv+Gdv.1 2 1 1 2 2 2 2 2 2然后高斯證明全曲率R=k也=己二實(shí)際上由E,然后高斯證明全曲率R=k也=己二實(shí)際上由E,F,G笫一類(lèi)基本基本量完全確定，為此他證明了(耳中dTeg-f”)3Ga?1［arF6E1

2D［血［EDdvD23F13EF3E3uD血DdvED汛J這個(gè)公式稱(chēng)為高斯特征方程.1860年，巴爾策爾(R.Baltzer,1818—1887)改寫(xiě)為1--Gm+F^~2Ew&號(hào)EE'IE1FF它揭示了第一、二類(lèi)基本量之間的關(guān)系.有了這個(gè)關(guān)系式后，高斯于1826年得到了“高斯定理”：一個(gè)曲面的全曲率被曲面的第一類(lèi)基本量完全確定，等距曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定有相同的全曲率.他稱(chēng)這個(gè)定理為“極妙的定理”.邁因納爾迪(G.Mainard，1800—1879)在1857年，科達(dá)齊(D.Codazzi，1824—1875)在1868年分別得到了方程(今天稱(chēng)之為邁因納爾迪一科達(dá)齊方程):MF這兩個(gè)方程與高斯特征方程一起構(gòu)成曲面論的基本方程.1867年，邦內(nèi)(O.Bonnet,1819—1892)證明了：如果給定了u和v的六個(gè)函數(shù)E,F,G和L,M,N,它們滿(mǎn)足曲面論的基本方程，則它們除了在空間的位置和定向外，唯一地確定了這張曲面.1861年，魏恩加滕(J.Weingarten)發(fā)現(xiàn)了“魏恩加滕公式”：t(FM-GL)二+(FL-EM)二t(PN-GM)?u+(FM-EN)二nn= = 這個(gè)公式與下列高斯公式一起構(gòu)成了“曲面的基本公式”，它們?cè)谇嬲摾锏淖饔孟喈?dāng)于弗朗內(nèi)一塞雷公式在曲線論里的作用.高斯公式是當(dāng)F=0時(shí)，曲面論的基本方程與曲面論的基本公式都可以大為簡(jiǎn)化.在1827年的文章中，高斯還研究了另一個(gè)十分重要的課題一一尋找曲面上的測(cè)地線.測(cè)地線這一名稱(chēng)是列維爾在1850年引進(jìn)的，取自大地測(cè)量學(xué).測(cè)地線在今天的微分幾何教材中又稱(chēng)短程線.對(duì)于一個(gè)由測(cè)地線構(gòu)成的三角形，高斯證明了一條關(guān)于曲率的著名定理.設(shè)k是一個(gè)曲面的可變曲率，于是是這個(gè)曲率在面積A上的積分，高斯定理是理是(圖13.5)JJkdA=色1+色a+色3一兀?這是一小非常精美的定理，.它表明，在一個(gè)測(cè)地三角形上曲率的積分等于三個(gè)角之和超過(guò)n之盈量，或在三角形之和小于180°時(shí)，等于三個(gè)角之和不足n之虧量.囹IS,5若r是曲面上的測(cè)地（短程）多邊形，則一般地有后來(lái)，邦內(nèi)把高斯的結(jié)果推廣，對(duì)曲面工上的單連通域工1和它的邊界線r，得到了高斯一邦內(nèi)公其中kg為r的短程曲率，t為由方向余弦到r的切線矢的有向角.高斯在曲面保角變換方面也進(jìn)行了十分有價(jià)值的工作，并由此而獲得了丹麥皇家科學(xué)會(huì)的獎(jiǎng)金.高斯證明了曲面的幾何可以集中在曲面本身進(jìn)行研究，曲面本身就可以看成是一個(gè)空間，因?yàn)樗娜啃再|(zhì)都被ds「EdU2+2Fdudv+GdV2確定了，這樣就可以拋棄以往的觀念:、曲面是位于一個(gè)三維空間張曲面由E，，F(xiàn)，G確定，于是曲面就有E，F(xiàn)，G所確定的幾何，這個(gè)幾何對(duì)于曲面是內(nèi)蘊(yùn)的，而與周?chē)目臻g毫無(wú)關(guān)系，因此隨著E，F(xiàn)和G的不同的選取，同一張曲面可以有不同的幾何.這樣，我們就可以輕而易舉地在歐氏幾何曲面上實(shí)現(xiàn)非歐幾何了.如果把球面看成三維空間中的一張曲面，球面的幾何就是歐氏的；但如果把球面本身當(dāng)作一個(gè)空間來(lái)研究，取緯度和經(jīng)度作為點(diǎn)的坐標(biāo)，大圓弧就是“直線”（稱(chēng)為測(cè)地線或“短程線”），這樣的幾何就是一種非歐幾何.這樣得到的空間是一個(gè)二維的正的常曲率空間，這樣的幾何在今天稱(chēng)為二重橢圓幾何.這種非歐幾何模型曲面的例子是黎曼在1854年給出的.1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米（E.Beltrami，1835—1900）獨(dú)立而成功地找到了非歐幾何模型，在數(shù)學(xué)史上使羅巴切夫斯基等人開(kāi)創(chuàng)的非歐幾何得到了舉世公認(rèn)，在整個(gè)科學(xué)史乃至人類(lèi)思想史上具有十分重大的意義.貝爾特拉米是通過(guò)研究具有常數(shù)全曲率的曲面而作出這一重大發(fā)現(xiàn)的.從高斯起人們就知道，具有相同的常數(shù)全曲率k的曲面互相等距等價(jià)，因而有相同的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì).當(dāng)常數(shù)k=0時(shí)，曲面和平面等距等價(jià)；當(dāng)常數(shù)k=4>0時(shí)，曲面和一個(gè)半徑等于，的球面等距等價(jià)；人們認(rèn)識(shí)到k=0時(shí)的幾何實(shí)質(zhì)上就是歐氏幾何；k>0時(shí)的幾何，1854年黎曼發(fā)現(xiàn)是一種非歐幾何一一橢圓幾何學(xué).1868年，貝爾特拉米發(fā)現(xiàn)，如果令yz平面上的曳物線繞z軸旋轉(zhuǎn)，即得到偽球面，寒=aco's^qos9,參數(shù)方程為y=acos^sin日，z=a：lr(sec^?+tg^j—sm, 0^4-I偽球面的全曲率R為一常數(shù)<K=-^<0o而且當(dāng)一個(gè)曲面的全曲率常數(shù)K=-^<0時(shí)，曲面和偽球面等距等價(jià)，而此時(shí)的幾何實(shí):質(zhì)上就是羅巴切夫斯基幾何一一雙曲幾何.這樣具有負(fù)常數(shù)全曲率的曲面的內(nèi)在幾何與雙曲幾何的關(guān)系就被發(fā)現(xiàn)了.19世紀(jì)微分幾何的第三個(gè)里程碑是黎曼奠定的.他在幾何領(lǐng)域中是高斯的忠實(shí)追隨者和發(fā)揚(yáng)光大者.1854年，高斯給黎曼指定以幾何基礎(chǔ)作為他取得大學(xué)教授資格應(yīng)作的演說(shuō)，當(dāng)時(shí)能聽(tīng)懂他的報(bào)告的，只有已入暮年的高斯.他的1854年的演講稿后來(lái)以《關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假說(shuō)》(UeberdieHypothesen，wel-chederGeometrieZuGrundeliegen于1868年出版了.這篇文章已經(jīng)成了數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典著作.黎曼幾何的主要工作是把通常熟悉的三維空間推廣到n維空間中的m維可微流形.對(duì)于同一張曲面可以有ds=dx+dy+dz，而ds=Edu+2Fdudv+Gdv.隨著E，F(xiàn)，G的不同可以有不同的幾何，因此2 2 2 2 2 2 2

選取ds的不同表達(dá)式，就可以得到完全不同的幾何一一一種非歐幾何，這種思想本來(lái)是屬于高斯的，一 2.在1854年的論文中，黎曼把這種研究曲面時(shí)的思想推廣到任意n維空間，提出了這樣的觀念，對(duì)于n維空間點(diǎn)集中的每一個(gè)點(diǎn)用n個(gè)坐標(biāo)（x，x，…，x）表示，而空間一條曲線x=x（t），i=1，2,…，耽何學(xué)您就稱(chēng)為黎用空間囂?f炕羸贏內(nèi)在幾糙慌挪都可"到幾維黎曼空間，而曲面的內(nèi)在幾何學(xué)可以看作是二維的黎曼空間幾何.如對(duì)于t=a和t=p之間的『卜既?！翰芳扰?兩條曲線在（眼1，遂*…，既）處的交隹°滿(mǎn)足曲線可以給出長(zhǎng)度i=y曲 出出這方面，黎曼給出了依賴(lài)于流形的性質(zhì)而不依賴(lài)于所采用的特殊坐標(biāo)系的程序.黎曼幾何的另一件重要的工作是改進(jìn)、引進(jìn)了許多新的記號(hào).如黎曼引進(jìn).1869年克里斯托費(fèi)爾（E.B.Ghnstdffek.1829曼引進(jìn)-1900）正式引入了各種形式的“克里斯托費(fèi)爾記號(hào)”：黎曼引進(jìn)了現(xiàn)在通稱(chēng)的“黎曼四指標(biāo)記號(hào)”黎曼引進(jìn)了現(xiàn)在通稱(chēng)的“黎曼四指標(biāo)記號(hào)”“克里斯托費(fèi)爾四指標(biāo)記號(hào)”則是克里斯托費(fèi)爾仿照黎曼引進(jìn)的:騷）=*[g,W畿p）[kk,kl-jgh,嗷引入這些記號(hào)后，從而開(kāi)始了張量演算.貝爾特拉米不僅詳細(xì)研究了具有負(fù)常數(shù)全曲率的曲面，而且他還第一個(gè)對(duì)曲面論的不變量作了深入詳細(xì)的研究，由此開(kāi)創(chuàng)了19世紀(jì)人們對(duì)不變量的廣泛研究.微分不變量理論以及黎曼等人引入的記號(hào)對(duì)張量分析起了積極的推動(dòng)作用.張量分析由里奇(C.G.Ricci,1853—1925)和列維一齊維塔(T.Levi—civi-ta,1873—1941)在20世紀(jì)初，發(fā)展成一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科，1916年愛(ài)因斯坦(A.Einstein,1879—1955)給出了“張量分析”這個(gè)名稱(chēng).黎曼幾何倍受物理學(xué)家青睞，尤其是愛(ài)因斯坦創(chuàng)立相對(duì)論大量應(yīng)用了它，同時(shí)愛(ài)因斯坦也對(duì)此作出了貢獻(xiàn).翻開(kāi)《愛(ài)因斯坦文集》，看到里面有那么多地方利用了黎曼幾何，贊美了黎曼及其幾何，我們就不難理解黎曼幾何的重要性.黎曼幾何還為現(xiàn)代微分幾何奠定了基礎(chǔ).四、愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)(ErlangenProgramm)19世紀(jì)初葉射影幾何重新為人們重視后，不僅有數(shù)學(xué)家從“純粹”綜合的角度進(jìn)行研究，而且隨著研究的進(jìn)一步深入，有不少數(shù)學(xué)家開(kāi)始從代數(shù)甚至從群論的角皮進(jìn)行探討，這樣幾何學(xué)的研究就進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期.不僅射影幾何有了進(jìn)一步的發(fā)展，而且各種度量幾何的內(nèi)在關(guān)系也逐漸為人們揭示了.麥比烏斯 F.Mobius,1790—1S6S)和普呂克".Pucker，1801—1868)從代數(shù)方面發(fā)展了射影幾何.他們的工作之一是引進(jìn)了齊次坐標(biāo).普呂克還對(duì)幾何觀念給出了優(yōu)美的代數(shù)表示，利用齊次坐標(biāo)，他給出了無(wú)窮遠(yuǎn)線、圓上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)等等許多概念的代數(shù)表示.他積極地利用射影的概念研究高次平面曲線和高次曲面，得到了許多重要的結(jié)果.在斯陶特弄清楚了射影幾何與歐氏幾何的關(guān)系后，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始根據(jù)射影概念進(jìn)行建立歐氏幾何度量性質(zhì)的工作.拉蓋爾(E.Laguerre，1834—1886)建立了兩直線u與/間夾角的公式伽段=!(,uuy,WW)O其中(uu'，ww')是u，u'及兩條虛直線w，w'四條直線的交比，i為虛單位.凱萊引入二次型及雙線性型F(吏，耳)=三雙猝i^j., %=勺門(mén)ij-2- 」F慫，y)=2^鮮目「ij=l''F(x，x)=0為一條二次曲線即凱萊絕對(duì)型.絕對(duì)型的線坐標(biāo)方TOC\o"1-5"\h\z程為G[u,u)=^AijuiUj=0,&i」是F的系數(shù)行列式同中辿的代數(shù)余i.j=l '子式.有了這些準(zhǔn)備工作后，他定義兩點(diǎn)x=(x,x,x3)及y=(y,y,))間的距離兒1 2 1 2 3線坐標(biāo)為u=(u,u,u)及v=(v,v,v)的兩直線的夾123 123角飽浚足ICOS(P= : G(u：u：G(Wv其甲G(u,u)=，.A/iUj=0,而Aij是；T程F：(幻瘴)=G的系數(shù)蕓"行列式中aij的