高考試卷中,立體幾何所占百分比約為20%,考查的立足點(diǎn)放

高考試卷中，立體幾何所占百分比約為20%，考查的立足點(diǎn)放在空間形體和空間圖形上，突出對(duì)空間觀念和空間想象能力的考查．高考對(duì)空間想象能力的考查要求是：

1．能根據(jù)條件畫(huà)出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；

2．能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；

3．能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合與變形．一、用關(guān)于圖形的邏輯思維統(tǒng)帥識(shí)圖、畫(huà)圖立體幾何圖形的特征是通過(guò)概念來(lái)描述的，要求理解概念的本質(zhì)，根據(jù)對(duì)概念的敘述想象出圖形，分解出解題所需要的因素，必要時(shí)畫(huà)出草圖，輔助解題.概念是思維的基本元素，也是空間想象的出發(fā)點(diǎn)，高考中對(duì)空間想象能力的考查從概念的理解和使用開(kāi)始．例1

已知三棱錐D－ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且，BC＝2．則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是A．B．C．D．

【思路分析】在正確理解概念的基礎(chǔ)上在頭腦中想象和勾畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形．

①抓住關(guān)鍵：“三個(gè)側(cè)面與底面全等”，畫(huà)出三棱錐．即，AD＝BC＝2．

②由題設(shè)條件畫(huà)出二面角A－BC－D的平面角．E是BC的中點(diǎn)，由于AB＝AC，得AE⊥BC，同理DE⊥BC，∴∠AED是二面角A-BC-D的平面角．③計(jì)算∠AED的大?。鸢窩．

【小結(jié)】解題過(guò)程中有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是正確畫(huà)出三棱錐，二是正確畫(huà)出二面角的平面角．計(jì)算的正確需要正確地畫(huà)圖來(lái)輔佐，而畫(huà)圖的正確要以概念正確為保證．概念是空間想象的基礎(chǔ)．例2

在120°的二面角P－a－Q的兩個(gè)面P和Q內(nèi)，分別有點(diǎn)A和點(diǎn)B，已知點(diǎn)A和點(diǎn)B到棱a的距離分別為2和4，且線段AB＝10．

(1)求直線AB和棱a所成的角；

(2)求直線AB和平面Q所成的角．

【思路分析】本題涉及四類(lèi)空間的角與距離:

（1）二面角及其平面角；（2）點(diǎn)到直線的距離；（3）兩條異面直線所成的角；（4）直線和平面所成的角．先過(guò)A點(diǎn)作出平面Q的垂線，并注意垂足O的位置．再依據(jù)概念和定理依次作出這四類(lèi)空間角與距離．

【解】過(guò)A作AO⊥平面Q，垂足為O，連結(jié)BO，則∠ABO是直線AB和平面Q所成的角．在平面Q內(nèi)作BD⊥a于D，OE⊥a于E，連OE并延長(zhǎng)，a由三垂線定理可知AE⊥a，∠AEC是二面角P－a－Q的平面角，∠AEC＝120°．

AE、BD分別是A、B兩點(diǎn)到a的距離，AE＝2，BD＝4．a(chǎn)a在平面Q內(nèi)作BC∥a交OE的延長(zhǎng)線于C，則∠ABC是直線AB和棱a所成的角．

∵四邊形ECBD是矩形．

∴EC＝BD＝4

在△AEC中，

AC2=AE2＋EC2－2AE×EC×cos120° =28．在Rt△ACB中，，∴．在Rt△AEO中，，在Rt△AOB中，，∴．直線AB與棱a所成的角為，直線AB與平面Q所成的角為．

【小結(jié)】①注意本題圍繞平面Q的垂線AO陸續(xù)添加輔助線的方法；

②立體幾何中關(guān)于角與距離的計(jì)算，總是要把這些幾何圖形與幾何量放到某些三角形中，把關(guān)于空間角與距離的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解三角形．例3

如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，

，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．求（1）側(cè)棱AA1與底面ABC所成角的大??；（2）側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成角的大??；（3）點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離．【思路分析】思路1：側(cè)棱與底面所成角側(cè)棱與射影所成角射影在哪兒側(cè)面A1C⊥底面ABC∠A1AC為所求

∠A1ED為所求二面角的平面角思路2：二面角的平面角概念三垂線定理思路3：距離概念點(diǎn)在平面上的射影三垂線定理△BCH可解

【略解】

（1）由思路1的分析可知∠A1AC是側(cè)棱AA1與底面ABC所成的角,∠A1AC＝45°.（2）作A1D⊥AC，DE⊥AB，連A1E，由題設(shè)條件可得A1D⊥面ABC，A1E⊥AB，∠A1ED是面A1B與面ABC所成二面角的平面角．故∠A1ED＝60°為所求．可計(jì)算得（3）作CH⊥平面A1B，垂足為H，則CH的長(zhǎng)是點(diǎn)C到平面A1B的距離.

連結(jié)HB，由于BC⊥AB，故HB⊥AB，在△HBC中，．∠HBC是平面A1B與面ABC所成二面角的平面角，∠HBC＝60°．

【小結(jié)】立體幾何的計(jì)算題，常要分兩步：第一步“畫(huà)”，第二步“算”．“畫(huà)”，要在深入理解概念與定理前題下，通過(guò)適當(dāng)?shù)耐评聿拍堋爱?huà)準(zhǔn)”，畫(huà)出后還需證明所畫(huà)即為所求．“算”，要在推理基礎(chǔ)上，運(yùn)用平面幾何或解三角形知識(shí)合理運(yùn)算，才能得出正確結(jié)論．空間想象能力是指對(duì)空間圖形的處理能力，其中的一種表現(xiàn)方式是對(duì)空間圖形的分解與整合能力，即把復(fù)雜圖形分解為簡(jiǎn)單圖形，把簡(jiǎn)單圖形合成復(fù)雜圖形；把空間圖形拆成平面圖形，并把平面圖形合成立體圖形．二、對(duì)空間圖形分解與整合

1．復(fù)雜圖形的分解與組合

例4

將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD＝a，則三棱錐的體積為A．

B．C．

D．

【思路分析】(1)要依題設(shè)條件畫(huà)出折疊前的平面圖形及折疊后的直觀圖．（2）把原來(lái)的三棱錐分解成易求體積的小三棱錐．【略解】由于DO⊥AC，BO⊥AC，

故AC⊥平面DBO．又，DB＝a因此∠DOB＝90°VD－ABC＝VA－DOB＋VC－DOB答案D．

例5

正四棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為m，問(wèn)兩相鄰側(cè)面所成二面角α多大時(shí)，其體積是最大．

【思路分析】

先作出兩個(gè)相鄰側(cè)面所成二面角的平面角∠BED，設(shè)為α．需建立三棱錐S－BCD的體積V與α之間的函數(shù)關(guān)系．△BED與α的關(guān)系密切VS－DBC

VS－BED+VC－BED【略解】由作圖知SC⊥平面BED，VS－DBC＝VS－DBE＋VC－DBE其中△BDE的面積用m和α表示為于是即，α=120°時(shí)，故正四棱錐的體積當(dāng)且僅當(dāng)，棱錐體積最大．

【小結(jié)】上述兩例都是把整體“分解”，把三棱錐分割成兩個(gè)小三棱錐，都是把待處理的關(guān)系結(jié)構(gòu)重新搭配，在新的關(guān)系結(jié)構(gòu)中尋找解決問(wèn)題的途徑．如例5的新關(guān)系：二面角的平面角α→面積S△BDE→體積V．

例6

球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么這個(gè)球的面積是_________________．【思路分析】

題設(shè)：PA、PB、PC兩兩垂直且相等P、A、B、C四點(diǎn)在球面的位置？正方體從同一點(diǎn)出發(fā)的三條棱球的內(nèi)接正方體

【略解】由思路分析知，PA、PB、PC恰是正方體PF的三條棱，球的直徑2r等于正方體對(duì)角線的長(zhǎng)，即，球面積S＝4πr2＝3πa2．

【小結(jié)】本題是由題設(shè)所給的局部圖形，通過(guò)邏輯推理，完成對(duì)圖形的補(bǔ)全，構(gòu)筑出“整體”．是對(duì)圖形分解與組合的一種逆向思維，常在“順向”思維受阻時(shí)發(fā)揮作用．

2．空間圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化

例7

正三棱錐A－BCD，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)2a，E、F為AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，求截面△BEF周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)E、F的位置．思路：【思路分析】空間圖形的最值問(wèn)題平面圖形的最值問(wèn)題手段：把正三棱錐A－BCD的側(cè)面沿AB展開(kāi)．【略解】根據(jù)平面幾何“兩點(diǎn)間所有連線中，直線段最短”知在側(cè)面展開(kāi)圖中，線段BB′的長(zhǎng)是△BEF周長(zhǎng)的最小值．此時(shí)E、F兩點(diǎn)分別滿(mǎn)足．由△ADB′∽△B′FD，可求得，又由△AEF∽△ACD，可求得，故截面△BEF的周長(zhǎng)最小值．

【小結(jié)】“展平”是空間圖形平面化常用的方法之一．把多面體、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展成多邊形、矩形、扇形、扇環(huán)等平面圖形利于一些問(wèn)題的解決．

例8

在直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，，M是CC1中點(diǎn)，求證AB1⊥A1M．【思路分析】直三棱柱∠ACB＝90°

B1C1⊥平面AC1AC1是AB1的射影欲證AB1⊥A1M，只需證AC1⊥A1M

【證明】三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，得

CC1⊥B1C1，又∠A1C1B1＝90°，故B1C1⊥平面A1ACC1．，，在平面AC1中，由題設(shè)得則，因而有△AC1A1∽△A1MC1，所以∠1＝∠2，∠A1GC1＝90°即A1M⊥AC1，又AC1是AB1在平面AC1上的射影，由三垂線定理得AB⊥AC1．

【小結(jié)】本題的證明思路是把求證空間直線的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證平面內(nèi)直線的垂直問(wèn)題，這種“平面化”處理空間圖形的方法是解立體幾何題常用的方法之一．

例9

已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，AB＝BC＝4，AA1＝8，E、F分別為AD和CC1的中點(diǎn)，O1為下底面正方形的中心，求：（1）二面角C－EB－O1的正切；（2）異面直線EB與O1F所成角的余弦值；（3）三棱錐O1－