用插值法求拋物線的解析式

用拉格朗日插值法求拋物線的解析式李立波在數(shù)學的學習過程中，我們總是在不斷總結規(guī)律，盡量得出一些形式化的結論.比如我們用配方法已經(jīng)能夠很好地解決一元二次方程根的求解問題,但是我們?nèi)圆粷M足,進而我們又有了公式法這一利器.今天,筆者想就拋物線解析式的求法作一下類似的探究.在初中階段我們主要利用待定系數(shù)法求拋物線(指對稱軸與x軸垂直的拋物線,本文中的拋物線均是該類型)的解析式.下面筆者就介紹一種更加直接的方法：拉格朗日插值法.引理:若拋物線y二ax2+bx+c(a豐0)經(jīng)過拋物線y二ax2+bx+c(a豐0)上的三點A(x,y)、111111B(x,y)、C(x,y)，則必有a二a,b二b,c二c.2233111證明：TA(x,y)、B(x,y)、C(x,y)在拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)上112233x,x,x互不相等123???拋物線y二aix2+bix+ci和拋物線y二ax2+bx+c都經(jīng)過點A.ax2+bx+c=0 ①11ax2+bx+c=0②11111①一②，得：(a—a)x2+(b—b)x+(c—c)=011111同理：(a—a)x2+(b—b)x+(c—c)=0,(a—a)x2+(b—b)x+(c—c)=01212113131/.x,x,x是(a—a)x2+(b—b)x+(c—c)=0的三個根123111由代數(shù)基本定理可知，必有a-a1=°,b-b1=°,c—c1=0即a=a,b=b,c=c111該引理說明如果過三個點有一條拋物線,那么它必定是唯一的一條.定理：若一條拋物線經(jīng)過A(x,y)、B(x,y)、C(x,y)三點，則它的解析式為112233y=yiXy=yiX(x—x)(x—x) (x—x)(x—x)2 3 +yx 1 3-(x—x)(x—x) 2(x—x)(x—x)1 2 1 3 2 1 2 3(x—x)(x—x)+yx1 2-3 (x—x)(x—x)3 1 3 2③.證明：?A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)在同一拋物線上y—yx,x,x互不相等并且——1豐x—x31TOC\o"1-5"\h\z123 x—x—x3121故③式一定存在，下面證明它是一個二次函數(shù):yyy在③式中x2的系數(shù)為 1 + 2 + 汁(x—x)(x—x) (x—x)(x—x)(x—x)(x—x)1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

整理,得(y-y)(x-x整理,得(y-y)(x-x)-(y-y)(x-x)2 1 3 1 3 1 2 1—(x-x)(x-x)(x-x)1 2 1 3 2 3x-xx-x2 1 3 1???(y2-人)(語—T-(y廠人)(x2-T豐0故在③式中x2的系數(shù)不為0.(x-x)(x-x)?y=yx 2 3 +yx1(x-x)(x-x) 2(x-x)(x-x)1 2 1 3 2 1一條拋物線.(x-x)(x-x) (x-x)(x-x)i3 +yx1 -3(x-x)(x-x)2 3 3—是一個二次函數(shù)，其圖象是容易驗證:當x二％時，y二帯當x二時,y二y2；當x二"3時'y二y3.由引理知：過A(x,y)、B(x,y)、C(x,y)三點的拋物線解析式必為③式.1 1 2 2 3 3注:③式是我們用拉格朗日插值公式構造的.例:已知一拋物線經(jīng)過A(0,—l),B(l,0),C(—1,2),求其解析式.解:所求拋物線的解析式為y=解:所求拋物線的解析式為y=-1Xx(x+1),2x(1-0)(1+1)x