立體幾何動態(tài)問題專題

立體幾何的動態(tài)問題立體幾何的動態(tài)問題，主要有五種：動點問題、翻折問題、旋轉(zhuǎn)問題、投影與截面問題以及軌跡問題。基本類型：點動問題；線動問題；面動問題；體動問題；多動問題等。解題時一般可以通過改變視角、平面化或者尋找變化過程中的不變因素而把問題回歸到最本質(zhì)的定義、定理或現(xiàn)有的結(jié)論中，若能再配以沉著冷靜的心態(tài)去計算，那么相信絕大多數(shù)問題可以迎刃而解。動點軌跡問題空間中動點軌跡問題變化并不多，一般此類問題可以從三個角度進行分析處理，一是從曲線定義或函數(shù)關(guān)系出發(fā)給出合理解釋；二是平面與平面交線得直線或線段；三是平面和曲面（圓錐，圓柱側(cè)面，球面）交線得圓，圓錐曲線。很少有題目會脫離這三個方向。（注意：阿波羅尼斯圓，圓錐曲線第二定義）1．（2015·浙江卷8）如圖11-10，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB＝30°，則點P的軌跡是()A．直線B．拋物線C．橢圓D．雙曲線的一支式題如圖，平面α的斜線AB交α于B點，且與α所成的角為θ，平面α內(nèi)有一動點C滿足∠BAC＝eq\f(π,6)，若動點C的軌跡為橢圓，則θ的取值范圍為________．3．（2015春?龍泉驛區(qū)校級期中）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中點，點P在側(cè)面BCC1B1上運動．現(xiàn)有下列命題：①若點P總保持PA⊥BD1，則動點P的軌跡所在的曲線是直線；②若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡所在的曲線是圓；③若P滿足∠MAP＝∠MAC1，則動點P的軌跡所在的曲線是橢圓；④若P到直線BC與直線C1D1的距離比為2：1，則動點P的軌跡所在的曲線是雙曲線；⑤若P到直線AD與直線CC1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是拋物線．其中真命題的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2018?溫州模擬）已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點，H是點B在AC上的射影，當C運動，點H運動的軌跡（）A．是圓B．是橢圓 C．是拋物線D．不是平面圖形5．（2013?鐵嶺模擬）如圖所示，△PAB所在的平面α和四邊形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6．若tan∠ADP﹣2tan∠BCP＝1，則動點P在平面α內(nèi)的軌跡是（）A．橢圓的一部分B．線段 C．雙曲線的一部分 D．以上都不是6．（2013?嘉興二模）設(shè)m是平面α內(nèi)的一條定直線，P是平面α外的一個定點，動直線n經(jīng)過點P且與m成30°角，則直線n與平面α的交點Q的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線7．（2008?浙江）如圖，AB是平面a的斜線段，A為斜足，若點P在平面a內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）A．圓B．橢圓 C．一條直線D．兩條平行直線8．（2015春?臺州校級月考）AB是平面α的斜線段，長度為2，點A是斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，當△ABP的面積等于3時，點P的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線9．（2016?浙江二模）在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2．若點M在△ABC所在平面上運動，且使得△AC1M的面積為1，則動點M的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線10．（2016?武漢校級模擬）如圖，AB是平面α外的固定斜線段，B為斜足，若點C在平面α內(nèi)運動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點C的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線11．（2008年浙江·理10）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內(nèi)運動使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）一條直線（D）兩條平行直線12.（2014年金華高二十校聯(lián)考·文10）圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，M為正方形ABCD對角線的交點，動點P在圓柱下底面內(nèi)（包括圓周），若直線BM與直線MP所成角為45°，則點P形成的軌跡為()BACDMBACDMPC．雙曲線的一部分D.圓的一部分13．（2014?杭州二模）在等腰梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是底邊AB，BC的中點，把四邊形AEFD沿直線EF折起后所在的平面記為α，p∈α，設(shè)PB，PC與α所成的角分別為θ1，θ2（θ1，θ2均不為零）．若θ1＝θ2，則滿足條件的P所形成的軌跡是．14．（2018秋?諸暨市校級期中）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BP上的動點，且滿足AE＝2BF，則線段EF中點的軌跡是（）A．一條線段B．一段圓弧 C．拋物線的一部分 D．一個平行四邊形15．（2015秋?太原期末）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱A1B1的中點，點Q在側(cè)面DCC1D1內(nèi)運動，給出下列結(jié)論：①若BQ⊥A1C，則動點Q的軌跡是線段；②若|BQ|＝，則動點Q的軌跡是圓的一部分；③若∠QBD1＝∠PBD1，則動點Q的軌跡是橢圓的一部分；④若點Q到AB與DD1的距離相等，則動點Q的軌跡是拋物線的一部分．其中結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．16．如圖，長方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝BC＝，AA，上底面A′B′C′D′的中心為O′，當點E在線段CC′上從C移動到C′時，點O′在平面BDE上的射影G的軌跡長度為（）A． B． C． D．17．（2016秋?溫州期末）點P為棱長是2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動點，點M為B1C1的中點，若滿足DP⊥BM，則動點P的軌跡的長度為（）A． B． C． D．18．（2018?寧波二模）已知棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為側(cè)面BB1C1C中心，F(xiàn)在棱AD上運動，正方體表面上有一點P滿足＝x（x≥0，y≥0），則所有滿足條件的P點構(gòu)成圖形的面積為．19．（2017?定海區(qū)校級模擬）已知異面直線a，b所成角為60°，直線AB與a，b均垂直，且垂足分別是點A，B若動點P∈a，Q∈b，|PA|+|QB|＝m，則線段PQ中點M的軌跡圍成的區(qū)域的面積是．20．（2017秋?贛州期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，CD＝2AB＝2EF＝2a，E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，把四邊形BEFC沿直線EF折起，使得平面BEFC⊥平面ADFE．若動點P∈平面ADFE，設(shè)PB，PC與平面ADFE所成的角分別為θ1，θ2（θ1，θ2均不為0）．若θ1＝θ2，則動點P的軌跡圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．翻折問題面（動問題）翻折問題的一線五結(jié)論五結(jié)論：1）折線同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持不變；折線兩側(cè)的幾何量和位置關(guān)系發(fā)生改變；1、（2016年聯(lián)考試題）平面四邊形ABCD中，AD=AB=，CD=CB=,且，現(xiàn)將△ABD沿對角線BD翻折成，則在折起至轉(zhuǎn)到平面BCD的過程中，直線與平面BCD所成最大角的正切值為_______2.（2015年10月浙江省學業(yè)水平考試18）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，線段AD，BD的中點分別為E，F(xiàn)?，F(xiàn)將△ABD沿對角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是 A. B. C. D.3.（2015年浙江·理8）如圖，已知，是的中點，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（）A.B.C.D.4．（14年1月浙江省學業(yè)學考試題）如圖在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝x，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是()A．(0，eq\r(3)]B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，2))C．(eq\r(3)，2eq\r(3)]D．(2，4]5．（2016年文）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是．6．（2016年理）如圖，在中，。若平面外的點和線段上的點，滿足，則四面體的體積的最大值是.7．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，M，E分別為AD，CD的中點，N為B上的點，MN⊥BC，且BC＝3，AD＝2，CD＝1，現(xiàn)將四邊形ABNM沿直線MN翻折，則在翻折過程中，（）A．直線AB與直線NE所成的角不可能為25° B．直線AB與直線NE所成的角不可能為50° C．直線AB與平面MNCD所成的角不可能為25° D．直線AB與平面MNCD所成的角不可能為50°8．（2016屆溫州一模8）如圖，在矩形中，，，點在線段上且，現(xiàn)分別沿將翻折，使得點落在線段上，則此時二面角的余弦值為()A．B．C．D．（第8題）9．如圖1，在矩形中，分別為邊上的點，且現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2），使面面，則異面直線與所成角的余弦值為（）（第8題）A.B.C.D.10．（2016屆麗水一模13）已知正方形，E是邊AB的中點，將沿折起至，如圖所示，若為正三角形，則與平面所成角的余弦值是.三、課后練習1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD，AB=1，BC=。將沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中（）A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直.B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直.C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直2．（2009年浙江17）如圖，在長方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(端點除外)上一動點，現(xiàn)將AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB,K為垂足，設(shè)AK=t,則t的取值范圍是.3．（16年浙江六校聯(lián)考）如圖，在邊長為的正方形中，為正方形邊上的動點，現(xiàn)將△所在平面沿折起，使點在平面上的射影在直線上，當從點運動到，再從運動到，則點所形成軌跡的長度為.4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝θ，M為AB的中點．將△ACM沿著CM翻折至△A'CM，使得A'M⊥MB，則θ的取值不可能為（）A． B． C． D．5.（2010年浙江19改編）如圖，在矩形中，點E，F(xiàn)分別在線段，上，．沿直線將翻折成，使平面平面．點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，則線段的長為________AAMFEDCBN6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點，將△ADM沿DM翻折．在翻折過程中，當二面角A﹣BC﹣D的平面角最大時，其正切值為（）A． B． C． D．7．（2018?紹興一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝θ，M為AB的中點．將△ACM沿著CM翻折至△A'CM，使得A'M⊥MB，則θ的取值不可能為（）A． B． C． D．8．（2019?梅州一模）在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M為BC中點，N為AC中點，D為BC邊上一個動點，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，點A在平面BCD上的投影為點O，當點D在BC上運動時，以下說法錯誤的是（）A．線段NO為定長 B．∠AMO+∠ADB＞180° C．線段CO的長|CO|∈[1，） D．點O的軌跡是圓弧9．（2018?臺州一模）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，動點M在邊DC上（不同于D點），P為邊AB上任意一點，沿AM將△ADM翻折成△AD'M，當平面AD'M垂直于平面ABC時，線段PD'長度的最小值為．10.如圖，已知矩形ABCD中,AB=3，AD=1,AF⊥平面ABC，且AF=3.E為線段DC上一點，沿直線AE將?DAE翻折成?D'AE,M以靜制動（旋轉(zhuǎn)問題、投影與截面問題）1.（2006年浙江·理14）正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是.2.（16屆高考模擬卷·理）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，底面ABCD的對角線BD在平面α內(nèi)，則正方體在平面α內(nèi)的投影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是．3.（16屆嘉興一?！の?5）邊長為1的正方體將其對角線與平面垂直，則正方體在平面上的投影面積為．4.如圖，直線平面，垂足為，正四面體的棱長為4，在平面內(nèi)，是直線上的動點，則當?shù)降木嚯x為最大時，正四面體在平面上的射影面積為（）A．B．C．D．5.棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1在空間直角坐標系中移動，但保持點A、B分別在X軸、y軸上移動，則點C1到原點O的最遠距離為（） A． B． C．5 D．46.（16屆寧波一?！だ?4）在中，，將直線繞旋轉(zhuǎn)得到，直線繞旋轉(zhuǎn)得到，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線所成角的取值范圍為____．7.（2012?浙江校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點，∠ABE＝20°，∠CDF＝30°．將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線AB與直線DF所成角的最大值為．8.（2018秋?浙江期中）如圖，正方形ABCD與矩形BCEF所成的二面角的平面角的大小是，現(xiàn)將△ABD繞AB旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線BD與平面BCEF所成角的取值范圍是．動態(tài)最值問題1．（16屆高考模擬卷·理）將一個棱長為的正方體嵌入到四個半徑為1且兩兩相切的實心小球所形成的球間空隙內(nèi)，使得正方體能夠任意自由地轉(zhuǎn)動，則的最大值為（）A．B．C． D．2．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分別為BD1，BB1上的動點，則△C1PQ周長的最小值為（）A． B． C． D．3．（2014秋?西城區(qū)期末）如圖，在邊長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分別為棱AB、A1D1的中點，M、N分別為面BCC1B1和DCC1D1上的點，一質(zhì)點從點P射向點M，遇正方體的面反射（反射服從光的反射原理），反射到點N，再經(jīng)平面反射，恰好反射至點Q，則三條線段PM、MN、NQ的長度之和為（）A． B． C．2 D．34．(2014年7月浙江學考第25題)在棱長為1的正方體中，E、F分別是棱的中點，Ｎ為線段的中點，若Ｐ、M分別為的動點，則PM+PN的最小值為（第10題）5.如圖，在四棱柱中，底面ABCD是邊長為1的正形，底面ABCD，E為棱的中點，點M是四棱柱表面上的一個動點，且，則最小值為()（第10題）A.B.C.D.36．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝BC＝1，AD＝CD＝，∠DAB＝∠DCB＝90°，點P為AD中點，M，N分別在線段BD，BC上，則PM的最小值為．7．如圖，在棱長為2的正四面體S﹣ABC中，動點P在側(cè)面SAB內(nèi)，PQ⊥底面ABC，垂足為Q，若，則PC長度的最小值為．8．（2018?金華模擬）如圖，若三棱錐A﹣BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到點A的距離之比為正常數(shù)λ，且動點P的軌跡是拋物線，則二面角A﹣BC﹣D平面角的余弦值為（）A．λ B． C． D．9．（15年上海高考題改編）在四面體中，已知，，，則最大值的取值范圍是A.B.C.D.10．（2016秋?越城區(qū)校級期末）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分別是線段CC1，BD上的點，R是直線AD上的點，滿足PQ∥平面ABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方體的頂點，則|PR|的最小值是（）A． B． C． D．11．（16屆金華十校一模·理14）在四面體ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，且，則V四面體ABCD的最大值為 A.6 B. C. D.812.在正四面體ABCD中，M是AB的中點，N是棱CD上的一個動點，若直線MN與BD所成的角為α，則cosα的取值范圍是________．13．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，若BC＝2，AD＝4，且∠ABD＝∠ACD＝60°，則四面體ABCD的體積的最大值是．OABCDA1B1C1D1·15.（15屆高考模擬卷·文OABCDA1B1C1D1·15.（2014·浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練．已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大?。鬉B＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，則tanθ的最大值是________．(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)16.（16屆金華十校一模17）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，點E、F分別在AD、BC上，且AE=1，BF=3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點B在平面CDEF上的射影H在直線DE上. (Ⅰ)求證:CD⊥BE;(Ⅱ)求線段BH的長度； (Ⅲ)求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值.FFCABDEHAEFCDB17．（2018?諸暨市二模）如圖，矩形中ABCD，AB＝1，BC＝，E是線段BC（不含點C）上一動點，把△ABE沿AE折起得到△AB′E，使得平面B′AC⊥平面ADC，分別記B′A，B′E與平面ADC所成角為α，β，平面B′AE與平面ADC所成銳角為θ，則（）A．θ＞α＞β B．θ＞2α C．θ＞2β D．tanθ＞2tanα18．（2017秋?嘉興期末）如圖，正方體ABCD﹣A1B1