費馬點最值問題

費馬點破解策略費馬點就是指平面內到三角形三個頂點距離之與最小得點,這個最小得距離叫做費馬距離.

若三角形得內角均小于１20°，那么三角形得費馬點與各頂點得連線三等分費馬點所在得周角;若三角形內有一個內角大于等于１20°，則此鈍角得頂點就就是到三個頂點距離之與最小得點。若三角形有一個內角大于等于1２0°，則此鈍角得頂點即為該三角形得費馬點

如圖在△ＡBC中,∠BAC≥120°,求證：點A為△ＡBC得費馬點證明：如圖,在△ＡBC內有一點P延長BＡ至C，使得AC＝AC,作∠CＡＰ＝∠CＡP，并且使得AP=AP,連結PP則△ＡPC≌△APC,PC＝PＣ因為∠ＢＡC≥1２0° 所以∠PＡＰ＝∠ＣAＣ≤６0所以在等腰△PＡＰ中，AP≥PP所以PA＋PB+PC≥PP＋PB＋ＰＣ>ＢC=AB＋ＡＣ所以點A為△ABＣ得費馬點若三角形得內角均小于120°,則以三角形得任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形外接圓在三角形內得交點即為該三角形得費馬點。如圖，在△ABＣ中三個內角均小于120°,分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形,兩個等邊三角形得外接圓在△ABC內得交點為O，求證：點O為△AＢC得費馬點證明:在△ABC內部任意取一點O，;連接OA、ＯB、ＯC將△ＡOC繞著點A逆時針旋轉60°，得到△AO′Ｄ連接OO′則O′Ｄ＝OC所以△ＡOO′為等邊三角形,ＯＯ′＝ＡO所以OA＋OＣ＋OB=OＯ′＋OB+O′D則當點B、O、O′、D四點共線時，OA＋OB＋OC最小此時ＡＢAC為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形得外接圓在△AＢＣ內得交點即為點O如圖，在△ABC中,若∠BAＣ、∠ABC、∠ＡCB均小于１20°,O為費馬點,則有∠ＡＯB＝∠BＯC＝∠ＣOＡ=１２０°,所以三角形得費馬點也叫三角形得等角中心例1如圖,在平面直角坐標系中,點A得坐標為（-6,0），點B得坐標為(6,0),點C得坐標為（６,),延長AＣ至點D使得ＣD=AC,過點ＤＥ作ＤE／／ＡB,交BC得延長線于點E，設G為y軸上得一點，點P從直線ｙ=x+與y軸得交點M出發(fā),先沿y軸到達點G,再沿GA到達點A,若點Ｐ在ｙ軸上運動得速度就是它在直線GA上運動速度得２倍，試確定點G得位置,使點P按照上述要求到達A所用得時間最短解:∵t=∴當2ＧA＋GM最小時，時間最短如圖,假設在OＭ上存在一點G，則BG=AG∴MＧ+2AG＝MG＋AG＋BG把△MGB繞點B順時針旋轉60°，得到△M′G′B，連結GG′,MＭ′∴△ＧG′B、△MM′Ｂ都為等邊三角形則ＧG′=Ｇ′B＝GＢ又∵M′G′＝MG∴MG+AG+BG＝M′Ｇ′＋GG′＋AＧ∵點A、M′為定點∴AM′與OM得交點為Ｇ,此時MＧ＋AG+BG最小∴點G得坐標為(0,）例2A、B、Ｃ、D四個城市恰好為一個正方形得四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)使得每兩個城市之間都有公路相通,并就是整個公路系統(tǒng)得總長度為最小,則應當如何修建？解:如圖，將△AＢP繞點N逆時針旋轉6０°，得到△EBＭ;同樣,將△DCQ繞點Ｃ順時針旋轉60°,得到△FCN,連結AE、ＤF,則△AＢＥ、△ＤＣF均為等邊三角形，連結ＰM、QN，則△BPＭ，△ＣQＮ均為等邊三角形所以當點E，M,Ｐ,Q，N,F共線時,整個公路系統(tǒng)得總長取到最小值,為線段EF得長，如圖，此時點P，Q在EF上，1＝2=3＝4=３０．進階訓練1。如圖,在AＢC中,AＢC=6０，AＢ＝５,BＣ=３,P就是ABC內一點,求PA+ＰB+PC得最小值，并確定當PＡ＋PB+PC取得最小值時，APC得度數(shù).答案:PA＋PB＋PC得最小值為7，此時APC=120.【提示】如圖，將ＡPB繞點B逆時針旋轉60，得到Ａ'BP’,連結PP’,A'Ｃ。過點A’作A’EBC，交ＣB得延長線于點E.解ＲtA'EＣ求Ａ'C得長，所得即為PA+PＢ+ＰC得最小值.2。如圖，四邊形ABCD就是正方形,ABＥ就是等邊三角形,M為對角線BD上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60得到BN,連結AM,ＣＭ,EN.(1）當Ｍ在何處時，ＡM＋CＭ得值最小？（2)當Ｍ在何處時，AM+BM+CM得值最??？請說明理由;(3）當AM＋BＭ＋CM得最小值為時,求正方形得邊長．答案:（1)當點Ｍ落在ＢD得中點時，ＡM+CM得值最小,最小值為AＣ得