矩陣論復(fù)習(xí)題-第二章

內(nèi)積空間一、基本要求1、掌握歐氏空間與酉空間得定義與性質(zhì),掌握Hermite矩陣得定義,理解歐氏(酉)空間中度量得概念.2、掌握線性無關(guān)組得Schmidt正交化與對(duì)角化方法,理解標(biāo)準(zhǔn)正交基得性質(zhì).3、理解Hermite二次型得定義.4、掌握在一組基下得度量矩陣得概念,標(biāo)準(zhǔn)正交基下度量矩陣得性質(zhì)及兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基下得度量矩陣得關(guān)系.5、了解歐氏子空間得定義.6、掌握正交矩陣與酉矩陣得定義與性質(zhì),理解正交(酉)變換與正交(酉)矩陣得關(guān)系.7、掌握對(duì)稱矩陣與Hermite矩陣得定義與性質(zhì),理解對(duì)稱(Hermite)變換與對(duì)稱(Hermite)矩陣得關(guān)系.8、掌握矩陣可對(duì)角化得條件,會(huì)求一個(gè)正交(酉)矩陣把實(shí)對(duì)稱(Hermite)矩陣化為對(duì)角形矩陣,會(huì)求一組標(biāo)準(zhǔn)正交基使線性變換在該基下對(duì)應(yīng)得矩陣就是對(duì)角形矩陣.二、基本內(nèi)容1、內(nèi)積空間設(shè)數(shù)域上得線性空間,若中任意兩個(gè)向量都有一個(gè)確定得數(shù)與之對(duì)應(yīng),記為,且滿足下列三個(gè)條件(1)對(duì)稱性:,其中表示對(duì)數(shù)取共軛;(2)線性性:;(3)正定性:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,則稱為向量與得內(nèi)積.當(dāng)時(shí),稱為歐氏空間;當(dāng)時(shí),稱為酉空間.注意:在中,;在中,.通常得幾個(gè)內(nèi)積:(1)中,中,.其中.(2)中,,.(3)在實(shí)多項(xiàng)式空間及上連續(xù)函數(shù)空間中,函數(shù)得內(nèi)積為2、向量得長度、夾角、正交性定義,稱為得長度,長度為1得向量稱為單位向量,就是得單位向量.長度有三個(gè)性質(zhì):(1)非負(fù)性:,且;(2)齊次性:表示數(shù)得絕對(duì)值;(3)三角不等式:.定理(CauchySchwarz不等式).與得夾角定義為.當(dāng)時(shí),稱與正交,記.若非零向量組兩兩正交,即,稱就是一個(gè)正交組;又若,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組,即定理(勾股定理),即.3、標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基指歐氏(酉)空間中由兩兩正交得單位向量構(gòu)成得基.構(gòu)造方法:對(duì)歐氏(酉)空間得一個(gè)基進(jìn)行Schmidt正交化可得正交基,再對(duì)正交基進(jìn)行單位化可得標(biāo)準(zhǔn)正交基.把線性無關(guān)向量正交化為正交向量組:設(shè)再把單位化:,則為標(biāo)準(zhǔn)正交組.在標(biāo)準(zhǔn)正交組下,向量可表為:,坐標(biāo)表示在上得投影長度.4、基得度量矩陣度量矩陣就是以歐氏(酉)空間得基中第個(gè)元素與第個(gè)元素得內(nèi)積為行列元素構(gòu)成得方陣.設(shè)歐氏(酉)空間得一個(gè)基為,令,則該基得度量矩陣為.基得度量矩陣就是實(shí)對(duì)稱(Hermite)正定矩陣,它得階數(shù)等于歐氏(酉)空間得維數(shù),正交基得度量矩陣就是對(duì)角矩陣,標(biāo)準(zhǔn)正交基得度量矩陣就是單位矩陣.設(shè)酉空間得一個(gè)基為,該基得度量矩陣為,在該基下得坐標(biāo)(列向量)分別為與,那么與得內(nèi)積.當(dāng)為歐氏空間時(shí),.當(dāng)此基為標(biāo)準(zhǔn)正交基,酉空間得與得內(nèi)積,歐氏空間得與得內(nèi)積.設(shè)歐氏空間得兩個(gè)基分別為(Ⅰ)與(Ⅱ),且由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)得過渡矩陣為,基(Ⅰ)得度量矩陣為,基(Ⅱ)得度量矩陣為,則有:(1).(2)基(Ⅰ)就是標(biāo)準(zhǔn)正交基得充要條件就是.(3)若基(Ⅰ)與基(Ⅱ)都就是標(biāo)準(zhǔn)正交基,則就是正交矩陣.(4)若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))就是標(biāo)準(zhǔn)正交基,就是正交矩陣,則基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))就是標(biāo)準(zhǔn)正交基.5、正交變換與對(duì)稱變換(ⅰ)關(guān)于正交變換,下面四種說法等價(jià):1)就是歐氏空間得正交變換,即對(duì)于任意得,有;2)對(duì)于任意得,有;3)在得標(biāo)準(zhǔn)正交基下得矩陣為正交矩陣;4)將得標(biāo)準(zhǔn)正交基變換為標(biāo)準(zhǔn)正交基.(ⅱ)關(guān)于對(duì)稱變換,下面兩種說法等價(jià):1)就是歐氏空間得對(duì)稱變換,即對(duì)于任意得,有;2)在得標(biāo)準(zhǔn)正交基下得矩陣為對(duì)稱矩陣.(ⅲ)若就是歐氏空間得對(duì)稱變換,則在得某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下得矩陣為對(duì)角矩陣.(ⅳ)在歐氏空間中,若正交變換得特征值都就是實(shí)數(shù),則就是對(duì)稱變換.6、相似矩陣(1)相似于上(下)三角矩陣.(2)相似于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.(3)酉相似于上三角矩陣.(4)設(shè),則得充要條件就是存在酉矩陣,使得(對(duì)角矩陣).(5)設(shè)得特征值都就是實(shí)數(shù),則得充要條件就是存在正交矩陣,使得.(6)實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣.三、典型例題例1、在中,設(shè),分別定義實(shí)數(shù)如下:(1);(2);判斷它們就是否為中與得內(nèi)積.解(1)設(shè),由知,當(dāng)且時(shí),.故該實(shí)數(shù)不就是中與得內(nèi)積.(2)取,有故該實(shí)數(shù)不就是中與得內(nèi)積.例2、中,向量組線性無關(guān)得充要條件就是.證方法一設(shè),則線性無關(guān).方法二設(shè),則,即齊次方程組僅有零解得充要條件就是系數(shù)矩陣得行列式,即線性無關(guān).例3、設(shè)歐氏空間中得內(nèi)積為(1)求基得度量矩陣.(2)采用矩陣乘法形式計(jì)算與得內(nèi)積.解(1)設(shè)基得度量矩陣為,根據(jù)內(nèi)積定義計(jì)算,,,,,.由度量矩陣得對(duì)稱性可得,于就是有.(2)與在基下得坐標(biāo)分別為,那么.例4、歐氏空間中得多項(xiàng)式與得內(nèi)積為,取,記子空間.(1)求得一個(gè)正交基;(2)將分解為兩個(gè)正交得非零子空間得與.解(1)設(shè),則有,即,也就就是.于就是可得.取得一個(gè)基為,并進(jìn)行正交化可得那么,就是得正交基.(2)令,則與正交,且.例5、已知?dú)W氏空間得基得度量矩陣為,采用合同變換方法求得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基(用已知基表示).解因?yàn)閷?duì)稱正定,所以存在正交矩陣,使得(對(duì)角矩陣),計(jì)算得則有.于就是,由可得得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為.例6、在歐氏空間中,定義與得距離為:,試問:保持距離不變得變換就是否為正交變換？答不一定,例如中向量得平移變換:,,.雖然保持距離不變,但平移變換不就是線性變換,更不就是正交變換.例7、設(shè)與就是維歐氏空間兩個(gè)線性無關(guān)得向量組,證明存在正交變換,使得充要條件就是.證必要性因?yàn)榫褪钦蛔儞Q:,又已知,故有.充分性定義變換,使得,則就是線性變換,且就是唯一得.下證就是正交變換.已知,則有,設(shè),,則,.即,,故就是正交變換.例8、設(shè)就是歐氏空間得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,求出得一個(gè)正交變換,使得解設(shè),使得就是標(biāo)準(zhǔn)正交得,因已標(biāo)準(zhǔn)正交,則只要滿足,即解得,即,得就是標(biāo)準(zhǔn)正交基.因把標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基,故就是正交變換.另法設(shè)得坐標(biāo)為,由.就是正交變換為正交陣.由,解得,則.例9、設(shè)就是歐氏空間中得單位元素,定義變換(1)驗(yàn)證就是線性變換;(2)驗(yàn)證既就是正交變換,又就是對(duì)稱變換;(3)驗(yàn)證就是得一個(gè)特征向量,并求其對(duì)應(yīng)得特征值.證(1)設(shè),,則有==,故就是線性變換.(2)因?yàn)樗跃褪钦蛔儞Q.設(shè),則,于就是有故也就是對(duì)稱變換.(3)直接計(jì)算可得故就是得對(duì)應(yīng)于特征值得特征向量.例10、證明歐氏空間得線性變換為反對(duì)稱變換,即得充要條件就是在得標(biāo)準(zhǔn)正交基下得矩陣為反對(duì)稱矩陣.證設(shè)得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為,線性變換在該基下得矩陣為,即.則有必要性設(shè)就是反對(duì)稱變換,則有,即,,故.充分性設(shè),則對(duì)任意得有,.因?yàn)榫褪菢?biāo)準(zhǔn)正交基,所以故就是反對(duì)稱變換.例11、設(shè)歐氏空間得正交變換得特征值都就是實(shí)數(shù),證明存在得標(biāo)準(zhǔn)正交基,使得在該基下得矩陣為對(duì)角矩陣.分析正交矩陣就是實(shí)得正規(guī)矩陣,當(dāng)它得特征值都就是實(shí)數(shù)時(shí),它能夠正交相似于對(duì)角矩陣.證設(shè)得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為,正交變換在該基下得矩陣為,那么就是正交矩陣,也就是實(shí)得正規(guī)矩陣.因?yàn)榈锰卣髦刀季褪菍?shí)數(shù),所以得特征值都就是實(shí)數(shù).于就是存在正交矩陣,使得,其中就是得特征值.令,則就是得標(biāo)準(zhǔn)正交基,且在該基下得矩陣為【評(píng)注】本例結(jié)果表明,特征值都就是實(shí)數(shù)得正交變換就是對(duì)稱變換.例12、設(shè)就是歐氏空間得正交變換,構(gòu)造子空間證明.證先證.任取,則有.對(duì)于任意得,有所以故再證,任取,那么,從而有,所以,即,也就就是,故.例13、設(shè),酉空間中得向量內(nèi)積為通常得,證明.分析設(shè)中得向量與向量得內(nèi)積為,則得充要條件就是,或者.證劃分,則有,.例14、設(shè),酉空間中得內(nèi)積為通常得,證明:與正交得充要條件就是.證劃分,,則有,根據(jù)例15結(jié)果可得,與正交得充要條件就是,即,或者,也就就是.例15、在中,求一單位向量與及均正交.解設(shè)與已知向量正交,即該齊次線性方程組得一個(gè)非零解為,單位化可得,即為所求得單位向量.例16、設(shè)為維歐氏空間得一個(gè)線性變換,試證:為正交變換得充分必要條件就是.證必要性.充分性取,于就是有,即保持中得向量長度不變,所以為正交變換.例17、對(duì)于矩陣,求正交(酉)矩陣,使為對(duì)角矩陣.解可求得,于就是得特征值為.對(duì)應(yīng)得特征向量為.正交化可得;再單位化可得.對(duì)應(yīng)得特征向量為,單位化可得,故正交矩陣使.例18、設(shè)就是階實(shí)對(duì)稱矩陣,且(即就是冪等矩陣),證明存在正交矩陣使得.證設(shè)得屬于特征值得特征向量為,即,則有.因?yàn)榍?所以,即或1.再由實(shí)對(duì)稱知,存在正交矩陣使得.例19、設(shè)就是歐氏空間得兩個(gè)子空間,證明證先證第一式.設(shè),即.于就是且,或者且,即.故.又設(shè),即且.于就是且,或者,即.故.因此第一式成立.對(duì)與應(yīng)用第一式,有,故,即第二式成立.例20、(1)設(shè)為酉矩陣且就是Hermite矩陣,則得特征值為1或.(2)若就是正規(guī)矩陣,且得特征值,則就是酉矩陣.證(1)因?yàn)橛暇仃?則得所有特征值具有;又就是Hermite矩陣,則得特征值皆為實(shí)數(shù),故得特征值為1或.(2)因就是正規(guī)矩陣,且得特征值,則有酉矩陣,使得,故有,即就是酉矩陣.例21、為階正規(guī)矩陣,就是得特征值,證明與得特征值為.證由正規(guī),則,,故與得特征值皆為.例22、設(shè)為階正規(guī)矩陣,證明(1)若對(duì)于正數(shù),有,則.(2)若,則.(3)若,則.證(1)若,則得特征值皆為零,又就是正規(guī)矩陣,可酉對(duì)角化,即有,故有.(2),則得特征值為1或0,假定;可酉對(duì)角化為:,可得.(3),且,,由,得或,不妨設(shè),也有,故有.例23、為階Hermite矩陣,設(shè)得個(gè)特征值為,證明.證對(duì)于Hermite二次型,必有酉變換,使化為標(biāo)準(zhǔn)形,又,則.設(shè)為對(duì)應(yīng)于得特征向量,即,則,故有.同理有.例24、就是正規(guī)矩陣,證明(1)得特征向量也就是得特征向量.(2),與得長度相等.證(1)為正規(guī)矩陣,則有酉矩陣,使得,其中,為得特征向量,由上兩式可見,,故與有相同得特征向量.(2)由,.證得.例25、為階實(shí)對(duì)稱矩陣,為正定矩陣,證明存在同一可逆矩陣,使.證為正定矩陣,必有可逆矩陣,使因?yàn)閷?duì)稱矩陣,則也就是對(duì)稱矩陣,所以存在正交矩陣,使得,令,就有.又,即有,故存在同一可逆矩陣,使.例26、(1)設(shè),則得充要條件就是得個(gè)列(或者行)向量就是標(biāo)準(zhǔn)得正交向量組.(2)得充要條件就是.證(1)必要性設(shè).由于,所以有,于就是可得這表明矩陣得個(gè)列向量就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)得正交向量組.同樣可以證明得個(gè)行向量就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)得正交向量組.充分性設(shè)矩陣得個(gè)列向量就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)得正交向量組,那么有從而可知,此即,進(jìn)一步也有,這表明為一個(gè)酉矩陣.類似地可以證明行得情況.(2)必要性設(shè)矩陣得個(gè)列向量就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)得正交向量組,那么有由此可得.充分性設(shè)由于,所以有.于就是可得這表明矩陣得個(gè)列向量就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)得正交向量組.例27、已知,試求酉矩陣,使得就是上三角矩陣.解首先求出其特征多項(xiàng)式.當(dāng)時(shí),求出屬于特征值1得一個(gè)單位特征向量.解與內(nèi)積為零得方程,求得一個(gè)單位解向量.解與內(nèi)積為零得方程又求得一個(gè)單位解向量.于就是取,經(jīng)過計(jì)算可得.記,可得.對(duì)于時(shí),求得一個(gè)單位特征向量,再求得一個(gè)與正交得向量.令,經(jīng)計(jì)算可得.令,記,則.例28、設(shè)均為階正規(guī)矩陣,試證與相似得充要條件就是與酉相似.證必要性由于與均為正規(guī)矩陣,所以分別存在正規(guī)矩陣,使得其中為得特征值,為得特征值.又與相似,于就是有,此時(shí),這表明與相似.充分性顯然.例29、已知為實(shí)矩陣,且有,證明必為對(duì)稱矩陣.證由可知,為正規(guī)矩陣,那么存在酉矩陣,使得,從而有.又為實(shí)矩陣,由上式可知其特征值也就是實(shí)數(shù),從而矩陣就是一個(gè)正交矩陣,即,從而有,其中一定為實(shí)數(shù).同樣也有.由此可得,即為實(shí)對(duì)稱矩陣.例30、設(shè)均為正規(guī)矩陣,且有,證明:(1)至少有一個(gè)公共得特征向量;(2)可同時(shí)酉相似于上三角矩陣,即存在酉矩陣,使得以及均為上三角矩陣;(3)可同時(shí)酉相似于對(duì)角矩陣;(4)與均為正規(guī)矩陣.證(1)設(shè)就是矩陣得屬于特征值得特征子空間,若,即,則,由于,所以有,這表明,從而就是得不變子空間,故在中存在得特征向量,它也就是得特征向量.(2)對(duì)得階數(shù)用歸納法證明.當(dāng)?shù)秒A數(shù)均為1時(shí),結(jié)論顯然成立.設(shè)單位向量就是得一個(gè)公共特征向量,再適當(dāng)選取個(gè)單位向量,使得為標(biāo)準(zhǔn)正交基,于就是為酉矩陣,且有.進(jìn)一步可得這里就是矩陣,就是一個(gè)階矩陣,另外也有,這里就是矩陣,就是一個(gè)階矩陣.由又有,于就是可得,由此可推得.故由歸納法假設(shè),存在階酉矩陣,使得,這里為一個(gè)上三角矩陣,記于就是有,顯然就是一個(gè)上三角矩陣.容易驗(yàn)證就是酉矩陣.同樣可得,也就是一個(gè)上三角矩陣.(3)由(2)可設(shè),這里就是一個(gè)上三角矩陣,那么,從而可得,.又,所以可得,從而知為一個(gè)對(duì)角矩陣.同樣可證也就是一個(gè)對(duì)角矩陣.(4)由(3)可設(shè),于就是有.由正規(guī)矩陣結(jié)構(gòu)定理可知為正規(guī)矩陣,那么也為正規(guī)矩陣.【評(píng)注】教材中已給出一種證明方法,但就是與這里得證明方法完全不同,這里主要運(yùn)用Schur引理得證明思想.例31、已知下列正規(guī)矩陣,求酉矩陣,使得為對(duì)角矩陣.(1)(2)(3)解(1)首先求出矩陣得特征多項(xiàng)式為,所以得特征值為.對(duì)于特征值,求得一個(gè)特征向量.對(duì)于特征值,求得一個(gè)特征向量.對(duì)于特征值0,求得一個(gè)特征向量.由于為正規(guī)矩陣,所以就是彼此正交得,只需分別將單位化即可,于就是取,而且有.(2)首先求出矩陣得特征多項(xiàng)式為,所以得特征值為.對(duì)于特征值,求得一個(gè)特征向量.對(duì)于特征值,求得一個(gè)特征向量.對(duì)于特征值9,求得一個(gè)特征向量.由于為正規(guī)矩陣,所以就是彼此正交得,只需分別將單位化即可.于就是取,從而有.(3)首先求出矩陣得特征多項(xiàng)式為,所以得特征值為.對(duì)于特征值,求得一個(gè)特征向量.對(duì)于特征值,求得一個(gè)特征向量.由于為正規(guī)矩陣,所以就是彼此正交得,只需分別將單位化即可.于就是取,從而有.【評(píng)注】這三個(gè)題目只需按照教材介紹得正規(guī)矩陣可對(duì)角化具體過程進(jìn)行即可.例32、試舉例說明:可對(duì)角化矩陣不一定可酉對(duì)角化.解設(shè)就是兩個(gè)線性無關(guān)但不正交得向量,記,取那么,就就是一個(gè)可對(duì)角化矩陣,但不就是可酉對(duì)角化矩陣.例33、證明(1)Hermite矩陣得特征值為實(shí)數(shù);(2)反Hermite矩陣得特征值為零或純虛數(shù);(3)酉矩陣特征值得模長為1.證(1)設(shè)為一個(gè)Hermite矩陣,就是得一個(gè)特征值,為對(duì)應(yīng)于特征值為得一個(gè)特征向量,即有,在此式兩端取共軛轉(zhuǎn)置可得用從右端乘上式兩端有,于就是有.由于,所以,從而有,這表明就是實(shí)數(shù).(2)設(shè)為一個(gè)反Hermite矩陣,就是得一個(gè)特征值,為對(duì)應(yīng)于特征值得一個(gè)特征向量,即有,在此式兩端取共軛轉(zhuǎn)置可得用從右端乘上式兩端有,于就是有.由于,所以,從而有,這表明為零或純虛數(shù).(3)設(shè)為一個(gè)酉矩陣,就是得一個(gè)特征值,為對(duì)應(yīng)于特征值得一個(gè)特征向量,即有,在此式兩端取共軛轉(zhuǎn)置可得.用從右端乘上式兩端有,于就是有.由于,所以,從而有,這表明得模長為1.例34、設(shè)與均為Hermite矩陣,試證與酉相似得充要條件就是與得特征值相同.證必要性由于相似矩陣有相同得特征值,所以與得特征值相同.充分性與均為Hermite矩陣,所以分別存在酉矩陣,使得其中為得特征值,為得特征值.又,從而,此即,這表明與酉相似.例35、設(shè)就是Hermite矩陣,且,則存在酉矩陣,使得.證由于就是Hermite矩陣,所以存在酉矩陣,其中為得特征值,又為冪等矩陣,于就是或1.不妨設(shè)得秩為,那么中有個(gè)1,個(gè)0.記.即.例36、設(shè)中得向量為,線性變換為,求得一個(gè)基,使在該基下得矩陣為對(duì)角矩陣.解取得簡單基,計(jì)算得那么,在基下得矩陣為.得特征值為,與之對(duì)應(yīng)得線性無關(guān)得特征向量依次為.令,則有,由求得得另一個(gè)基為在該基下得矩陣為.四、教材習(xí)題同步解析1、設(shè)就是實(shí)數(shù)域上得維線性空間,就是得一組基,對(duì)于中向量,,定義內(nèi)積為,證明在此內(nèi)積下構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間.證設(shè),則有;;.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),至少有一個(gè),從而,因此,該實(shí)數(shù)就是上得內(nèi)積,構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間.2、設(shè)就是實(shí)數(shù)域上得維線性空間,就是得一組基,就是一個(gè)階正定實(shí)對(duì)稱矩陣.定義得內(nèi)積如下:對(duì)于中向量,如果它們?cè)诨碌米鴺?biāo)分別為,則,證明就是一個(gè)內(nèi)積空間.證設(shè),在基下得坐標(biāo)為,,則有;;;因?yàn)闉殡A正定實(shí)對(duì)稱矩陣,所以為正定二次型.時(shí),;時(shí),,所以就是一個(gè)內(nèi)積空間.3、在實(shí)內(nèi)積空間(內(nèi)積為實(shí)向量得普通內(nèi)積)中,已知,試求出與都正交得單位向量.解設(shè)滿足有,可取,故單位向量為或.4、設(shè)內(nèi)積空間中向量得內(nèi)積為判斷下述向量就是否正交:1);2).解1),故正交.2),故不正交.5、設(shè)就是維內(nèi)積空間得一組基,如果中向量使證明.證令,有,由內(nèi)積定義,有.6、設(shè)就是實(shí)數(shù)域上得內(nèi)積空間,就是得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.證明也就是得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.證,記矩陣,因?yàn)樗詾檎痪仃?又因?yàn)闉闃?biāo)準(zhǔn)正交基,所以也就是標(biāo)準(zhǔn)正交基.7、設(shè)就是5維內(nèi)積空間得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基..求子空間得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解設(shè),則,因?yàn)榫€性無關(guān),則,所以線性無關(guān),所以她們就是得一組基.將正交化,單位化,即得得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.記,則正交化,;;;單位化;;所以標(biāo)準(zhǔn)正交基.8、已知線性空間對(duì)于內(nèi)積構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間.從基出發(fā),經(jīng)正交單位化求一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解因?yàn)?,……正交化,令;;;;再單位化9、對(duì)于實(shí)數(shù)域上得線性空間,規(guī)定內(nèi)積如下:對(duì)于中任意元素,則跡.證明對(duì)此內(nèi)積構(gòu)成歐氏空間.證;對(duì)任意得,,有跡跡=跡+跡;跡跡=跡=;,當(dāng)且僅當(dāng)(即)時(shí),,所以對(duì)此內(nèi)積構(gòu)成歐氏空間.10、設(shè)歐氏空間(內(nèi)積為普通實(shí)數(shù)組向量得點(diǎn)積)得一組基為,求在這組基下得度量矩陣.解.11、在線性空間上定義一種內(nèi)積成為歐氏空間.已知在基下得度量矩陣為.1)求在基下得度量矩陣B.2)求實(shí)數(shù),使向量與向量正交.解1)因?yàn)橛苫交眠^渡矩陣,設(shè)向量在下得坐標(biāo)為,則在下得坐標(biāo)為,如果在基下得度量矩陣為,則,所以2)在下得坐標(biāo)分別為與,所以時(shí),有.12、設(shè)就是歐氏空間得一組基,內(nèi)積在這組基下得度量矩陣為已知得子空間得一組基為,.1)證明就是得一組正交基;2)求得正交補(bǔ)得一組基.證1)因?yàn)?故正交,所以就是得一組正交基.2)只需再找到中向量使為得一組正交基,則即為得一組基.方法一:設(shè),利用正交條件即可得一解為,即得.方法二:先將擴(kuò)充為得一組基,為此只需得坐標(biāo)線性無關(guān).例如取即可.再將正交化.因已就是正交組,正交化過程只需從第三個(gè)向量做起.令,算出,即得.13、設(shè)4維歐氏空間在基下得度量矩陣為,已知中向量,得子空間.1)試求得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基;2)設(shè)有得線性變換,使,,請(qǐng)判明就是不就是得正交變換或?qū)ΨQ變換？解1)顯然線性相關(guān),其極大無關(guān)組即為得一組基,將正交化、單位化便可得得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.正交化得;再單位化得.又解如取為得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,因?yàn)橐丫褪钦换?只需單位化,便得得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基2)由題設(shè)條件知,由1)得結(jié)果知,設(shè)對(duì)得標(biāo)準(zhǔn)正交基有則應(yīng)有因?yàn)镃就是對(duì)稱矩陣但不就是正交矩陣