初中數(shù)學常用數(shù)學思想方法典題賞析

初中數(shù)學常用數(shù)學思想方法典題賞析初中數(shù)學常用數(shù)學思想方法典題賞析德國著名數(shù)學家克萊因曾在他的《西方文化中的數(shù)學》中寫道：數(shù)學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；

試圖回答有關人類自身存在提出的問題；

努力去理解和控制自然；

盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。

不僅數(shù)學家體悟到了數(shù)學的魔力，就連希臘著哲學家柏拉圖都在號召：哲學家也要學數(shù)學，因為他必須跳出浩如煙海的萬變現(xiàn)象而抓住真正的實質。又因為這是使靈魂過渡到真理和永存的捷徑。那么，作為初中生，如何才能學好數(shù)學呢？有人曾調侃：數(shù)學學霸和學渣最大的區(qū)別就在于是否會運用數(shù)學思想方法!數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂和精髓。數(shù)學思想方法無論在數(shù)學專業(yè)領域、數(shù)學教育范圍內，還是在其它科學中，都被廣為使用。所謂數(shù)學思想，就是對數(shù)學知識的本質的認識。是從某些具體的數(shù)學內容和對數(shù)學的認識過程中提練上升數(shù)學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想，如建模思想、統(tǒng)計思想、最優(yōu)化思想、化歸思想、分類思想、整體思想、數(shù)形結合思想、轉化思想、方程思想、函數(shù)思想。所謂數(shù)學方法指在數(shù)學中提出問題、解決問題（包括數(shù)學內部問題和實際問題）過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。初中學生應掌握的數(shù)學方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、構造法、特殊值法等。數(shù)學思想和數(shù)學方法是緊密聯(lián)系的，強調指導思想時，稱數(shù)學思想，強調操作過程時，稱數(shù)學方法。典例賞析一、整體思想從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目的的、有意識的整體處理。例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________解析：把“a-b”看成一個整體代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7二、方程思想方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。例2：一個凸多邊形的內角和是外角和2倍，它是_________邊形.解析：由于任意多邊形的外角和都是360°，而n邊形的內角和(n-2).180設這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得：(n-2).180=2*360，解得n=6三、函數(shù)思想函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題。例3:某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克贏利10元，每天可售出500kg。經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，每千克漲價1元，日銷售量將減少20kg。

（1）現(xiàn)該商場要保證每天贏利6000元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？

（2）若該商場單純從經(jīng)濟角度看，這種水果每千克漲價多少元能使商場獲利最多？

解析：（1）解：設每千克應漲價x元，根據(jù)題意得：

（10+x）*(500-20x)=6000解得x1=5,x2=10為了使顧客得到實惠，應取x=5(元)。

（2）設每千克漲價x元時，總利潤為y元。

y=（10+x）*(500-20x)=-20x^2+300x+5000=-20(x-7.5)^2+6125根據(jù)二次函數(shù)性質，當x=7.5時，ymax=6125四、轉化思想所謂的轉化思想就是指在求解數(shù)學問題時,如果對當前的問題感到生疏困惑,可以把它進行變換,使之化生疏為熟悉，化繁為簡,化難為易,,從而使問題得以解決的思想方法.例4;解分式方程。解析：把分式方程去分母轉化為整式方程即可。兩邊乘（x+3）(x-1)2(x-1)=(x+3)2x-2=x+3x=5經(jīng)檢驗：x=5是方程的解五、類比思想把兩個（或兩類）不同的數(shù)學對象進行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。例5：類比正比例函數(shù)研究反比例函數(shù)。解析：通過研究正比例函數(shù)的圖像、性質及應用，類比研究反比例函數(shù)的圖像、性質及應用。六、數(shù)形結合思想“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。所謂數(shù)形結合思想就是在研究問題時把數(shù)和形結合考慮或者把問題的數(shù)量關系轉化為圖形的性質，或者把圖形的性質轉化為數(shù)量關系，從而使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化、具體化.例6：證明勾股定理。解析：美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德借助下列圖形證明了勾股定理。七、分類討論思想分類討論就是按照一定的標準，把研究對象分成為數(shù)不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結作出結論的思想方法.其實質是化整為零，各個擊破，化大難為小難的的策略.例7：若等腰三角形的一個內角為70，則它的頂角為度．解析：分類討論，（1）該內角為頂角時，頂角為70；

（2）該內角為底角時，則頂角為：180-70*2=40故頂角為70或40.八、歸納與猜想的思想方法所謂歸納與猜想,就是在解決數(shù)學問題時,從特殊的、簡單的、局部的例子出發(fā),探尋一般的規(guī)律,或者從現(xiàn)有的已知條件出發(fā),通過觀察、類比、聯(lián)想，進而猜想出結果的思想方法.例8：觀察下列圖形中點的個數(shù)，若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．解析：

第1個圖形中點的個數(shù)為：1+3=4，第2個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5=9，第3個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+7=16，…，第n個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．故答案為：（n+1）2．以下資料為贈送資料：《滴水之中見精神》主題班會教案活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關就主動關上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關會怎樣做呢？

齊：主動關好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談談好嗎？

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談談好嗎？

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們人類自己。

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太