實(shí)變函數(shù)讀書(shū)報(bào)告之

實(shí)變函數(shù)讀書(shū)報(bào)告之測(cè)度及可測(cè)函數(shù)學(xué)號(hào)：20231003103專(zhuān)業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)班級(jí)：123092姓名：程福波【背景】2023年春,我們開(kāi)始接觸實(shí)變函數(shù)與泛函分析這門(mén)課,其中除了集合論以外,最重要的就是測(cè)度和可測(cè)函數(shù).測(cè)度是把數(shù)字和符號(hào)分配給現(xiàn)實(shí)世界實(shí)體的屬性，運(yùn)用測(cè)度，人們能較好地理解建立質(zhì)量模型的屬性，并評(píng)價(jià)所建立的工程化產(chǎn)品或系統(tǒng)質(zhì)量。雖然軟件技術(shù)度量不是絕對(duì)的，但測(cè)度的建立提供了基于一套清晰定義規(guī)那么的系統(tǒng)方法來(lái)評(píng)價(jià)軟件質(zhì)量。軟件質(zhì)量模型和評(píng)價(jià)技術(shù)就是基于運(yùn)用測(cè)度的建立原那么開(kāi)展起來(lái)的?！娟P(guān)鍵字】測(cè)度可測(cè)集Lebesgue外測(cè)度可測(cè)函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù)【主要內(nèi)容】一Lebesgue外測(cè)度1．定義：設(shè)，稱(chēng)非負(fù)廣義實(shí)數(shù)為開(kāi)區(qū)間}為的Lebesgue外測(cè)度。下確界：〔1〕是數(shù)集的下界，即，〔2〕是數(shù)集的最大下界，即使得為開(kāi)區(qū)間}開(kāi)區(qū)間列使得且即：用一開(kāi)區(qū)間列“近似〞替換集合例1設(shè)是中的全體有理數(shù)，試證明的外測(cè)度為0.證明：由于為可數(shù)集，故不妨令作開(kāi)區(qū)間那么且，從而，再由的任意性知3.對(duì)Lebesgue外測(cè)度，我們用可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋中的有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋〔除可數(shù)個(gè)點(diǎn)外〕.2．Lebesgue外測(cè)度的性質(zhì)〔1〕非負(fù)性：，當(dāng)為空集時(shí)，〔2〕單調(diào)性：假設(shè)那么例2對(duì)任意區(qū)間，有.例3Cantor集的外測(cè)度為0.證明：令第次等分后留下的閉區(qū)間為從而注：稱(chēng)外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集.二可測(cè)函數(shù)1可測(cè)函數(shù)定義定義：設(shè)是可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)(可取)，假設(shè)可測(cè)，那么稱(chēng)是上的可測(cè)函數(shù).2可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1零集上的任何函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。注：稱(chēng)外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集性質(zhì)2簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)假設(shè)(可測(cè)且兩兩不交〕，在每個(gè)上取常值，那么稱(chēng)是上的簡(jiǎn)單函數(shù)；其中性質(zhì)3可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)必為可測(cè)函數(shù)設(shè)為上有限實(shí)函數(shù)，稱(chēng)在處連續(xù)比照：設(shè)為上有限實(shí)函數(shù)，在處連續(xù)(對(duì)閉區(qū)間端點(diǎn)那么用左或右連續(xù))證明：任取,那么,由連續(xù)性假設(shè)知，對(duì)使得即.令那么G為開(kāi)集，當(dāng)然為可測(cè)集，且另外所以，故為可測(cè)集性質(zhì)4中的可測(cè)子集上的單調(diào)函數(shù)必為可測(cè)函數(shù)。證明：不妨設(shè)單調(diào)增，對(duì)任意令.由單調(diào)增知下面的集合為可測(cè)集⒊可測(cè)函數(shù)的等價(jià)描述⒈定義：設(shè)是可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，那么在上可測(cè)〔即〔1〕可測(cè)〕可測(cè)可測(cè)可測(cè)可測(cè)〔充分性要求〕⒋可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)⑴可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)假設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),可測(cè)，那么限制在上也是可測(cè)函數(shù)；反之，假設(shè),限制在上是可測(cè)函數(shù)，那么在上也是可測(cè)函數(shù)。注：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測(cè)性即：設(shè)〔almosteverywhere〕于，在上可測(cè)，那么在上也可測(cè)假設(shè),那么稱(chēng)在上幾乎處處成立,記作于.證明：令，那么，從而在上可測(cè)，另外在上可測(cè)，從而在上也可測(cè)，進(jìn)一步在上也可測(cè).注：用到了可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)⑵可測(cè)函數(shù)類(lèi)關(guān)于四那么運(yùn)算封閉假設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),那么仍為上的可測(cè)函數(shù).證明：只要證可測(cè)，任取，那么從而使即從而，反之也成立，從而可測(cè)類(lèi)似可證：設(shè)是上可測(cè)函數(shù)，那么為可測(cè)集.假設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),那么仍為上的可測(cè)函數(shù).證明：首先在上可測(cè)，因?yàn)閷?duì)任意再利用即可作業(yè)：假設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),那么,為上的可測(cè)函數(shù)⑶可測(cè)函數(shù)類(lèi)關(guān)于確界運(yùn)算和極限運(yùn)算封閉.假設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),那么以下函數(shù)仍為上的可測(cè)函數(shù).推論：可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測(cè)函數(shù)〔連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定為連續(xù)函數(shù)〕。對(duì)上式的說(shuō)明：，比擬：⒌可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系可測(cè)函數(shù)總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限假設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),那么總可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，而且還可辦到注：當(dāng)是有界函數(shù)時(shí)，上述收斂可做到一致收斂——————————————————————————————【參考文獻(xiàn)】〔1〕實(shí)變函數(shù)與泛函分析郭大鈞等編山東大學(xué)出版社2005〔2〕陳建功實(shí)函數(shù)論北京科學(xué)出版社1958〔3〕周明強(qiáng)實(shí)函數(shù)論北