復(fù)變函數(shù)與積分變換課件

解析函數(shù)

2.1複變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2.1.1複變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義1

設(shè)函數(shù)在包含的某區(qū)域內(nèi)有定義，當(dāng)變數(shù)在點(diǎn)處取得增量時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)取得增量若極限

（或）（2.1）存在，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，此極限值稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在內(nèi)可導(dǎo).

例1

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（為正整數(shù)）.解因?yàn)?/p>

所以，由導(dǎo)數(shù)定義有

例2

求的導(dǎo)數(shù).解由例12.1.2可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)係若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處必連續(xù).證因?yàn)橹?，故在點(diǎn)處連續(xù).2.1.3複變函數(shù)的微分定義2稱函數(shù)的改變量的線性部分為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作

或，即當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)處的微分又可記為

亦即由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.2.1.4導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則複變函數(shù)的求導(dǎo)法則（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設(shè)可導(dǎo)）：（1）其中為複常數(shù)；（2）其中為正整數(shù)；（3）；（4）（5）；（6）；

（7）是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且..例3

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）（2）

解（1）（2）例4

設(shè).解因?yàn)樗缘?章解析函數(shù)

2.2解析函數(shù)的概念

2.2.1解析函數(shù)的定義及其性質(zhì)1.解析函數(shù)的定義定義3如果函數(shù)不僅在點(diǎn)處可導(dǎo)，而且在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)處解析，並稱點(diǎn)是函數(shù)的解析點(diǎn)；如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱在區(qū)域內(nèi)解析或稱為區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，區(qū)域稱為的解析區(qū)域.如果在點(diǎn)處不解析，但在的任一鄰域內(nèi)總有的解析點(diǎn),則稱為的奇點(diǎn).例1討論函數(shù)的解析性.解由例2知，在整個(gè)複平面內(nèi)處處可導(dǎo)且，則由函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析的定義可知，函數(shù)在整個(gè)複平面上解析.2.解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）若函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)解析，則、、在

內(nèi)也解析；（2）若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，而在區(qū)域內(nèi)解析，且，則複合函數(shù)在內(nèi)也解析，且..2.2.2函數(shù)解析的充要條件定理１

設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有定義，則在內(nèi)解析的充分必要條件為在內(nèi)任一點(diǎn)處（1）可微；（2）滿足上式稱為柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡稱C—R條件（或方程）.定理２

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件為（1）在內(nèi)連續(xù)；（2）在內(nèi)滿足C—R條件，例2討論函數(shù)的可導(dǎo)性，並求其導(dǎo)數(shù).解由得則

顯然，在複平面內(nèi)和的偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，且即和處處滿足C—R條件且處處可微，所以，在複平面內(nèi)處處可導(dǎo)且.例3

討論函數(shù)的可導(dǎo)性.解因?yàn)榈?/p>

顯然，、處處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，但僅當(dāng)時(shí)，、滿足C—R條件.因此，僅在點(diǎn)處可導(dǎo).例4證明在複平面上不可微.證由於，於是，從而

顯然，對複平面上任意一點(diǎn)，都不滿足C—R條件，所以在整個(gè)複平面上不可微.例5

討論下列函數(shù)的解析性.

（1）；

（2）；（3）.解（1）設(shè)因?yàn)榍疫@四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，故在複平面上處處解析.（2）因?yàn)?，設(shè)，而所以在複平面上處處不解析．（3）因?yàn)樵O(shè)，由於

這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)雖然處處連續(xù)，但C—R條件僅在原點(diǎn)處成立，因而函數(shù)在複平面內(nèi)的原點(diǎn)處可導(dǎo)，其他點(diǎn)不可導(dǎo)，可知該函數(shù)在複平面上處處不解析.第2章解析函數(shù)

2.3初等函數(shù)及其解析性2.3.1指數(shù)函數(shù)定義4

複變數(shù)的指數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)：（1）指數(shù)函數(shù)在整個(gè)的有限平面內(nèi)都有定義，且處處不為零.（2）（3）指數(shù)函數(shù)是以為週期的週期函數(shù)．（4）指數(shù)函數(shù)在整個(gè)複平面上解析，且有（2）2.3.2對數(shù)函數(shù)定義5

對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).若，則稱是的對數(shù)函數(shù)，記作．對數(shù)函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)，每一個(gè)對應(yīng)著多個(gè)的值.若令，則上式中的多值函數(shù)便成為了單值函數(shù)，則稱這個(gè)單值函數(shù)為多值函數(shù)的主值，記作，即．

例1

求.解因?yàn)榈哪?，其輻角的主值為，所以而又因?yàn)榈哪椋漭椊堑闹髦禐?，所?/p>

複變數(shù)對數(shù)函數(shù)具有與實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)同樣的基本性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）；

（5）對數(shù)函數(shù)的解析性可以證明在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析，所以的各個(gè)分支也在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析（因的每一個(gè)單值連續(xù)分支與只相差一個(gè)複常數(shù)），且

2.3.3冪函數(shù)定義6

設(shè)為任意複常數(shù)，定義一般冪函數(shù)為它是指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的複合函數(shù)，是多值函數(shù)(因是多值的).冪函數(shù)的幾種特殊情形：（1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，是與無關(guān)的單值函數(shù)（（為正整數(shù)）時(shí)，為的次乘方，當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，）；）；（2）當(dāng)為有理數(shù)時(shí)（為既約分?jǐn)?shù)，），

只有個(gè)不同的值，即當(dāng)取時(shí)的對應(yīng)值，因此，.（3）當(dāng)為無理數(shù)或複數(shù)時(shí)，有無窮多個(gè)值.此時(shí)的與根式函數(shù)的區(qū)別是：是無窮多值函數(shù)，而是值函數(shù).冪函數(shù)的解析性：（1）當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，在整個(gè)複平面內(nèi)單值解析，且；（2）當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，在除原點(diǎn)的複平面內(nèi)解析，且（3）當(dāng)（為整數(shù)）時(shí)，由於對數(shù)函數(shù)的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的複平面內(nèi)解析，因而的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的複平面內(nèi)也是解析的，且.例2求.解例3求.解

例4求.解所以的三個(gè)值分別為.2.3.4三角函數(shù)定義7

設(shè)為任一複變數(shù)，稱與分別為複變數(shù)的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，分別記為與，即正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)：（1）與都是以為週期的週期函數(shù)，即

=，（2）為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，即對任意的有（3）實(shí)變函數(shù)中的三角恒等式，在複變函數(shù)中依然成立，如

（4）和都是無界的.

因?yàn)榭梢姡?dāng)無限增大時(shí)，趨於無窮大，同理可知，也是無界的.（5），在複平面內(nèi)均為解析函數(shù)，且其他四個(gè)三角函數(shù)，利用和來定義：例5求.解根據(jù)定義，有

.2.3.5反三角函數(shù)定義8如果，則稱分別為的反正弦、反余弦、反正切函數(shù)，分別記為反三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)係：（1）（2）（3）

複變函數(shù)的積分1瞭解複變函數(shù)積分的概念;2瞭解複變函數(shù)積分的性質(zhì);3掌握積分與路經(jīng)無關(guān)的相關(guān)知識(shí);4熟練掌握柯西—古薩基本定理;5會(huì)用複合閉路定理解決一些問題;6會(huì)用柯西積分公式;7會(huì)求解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).複變函數(shù)的積分

3.1複變函數(shù)積分的概念3.1.1積分的定義本章中,我們將給出複變函數(shù)積分的概念,然後討論解析函數(shù)積分的性質(zhì),其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質(zhì)是解析函數(shù)積分的基礎(chǔ),借助於這些性質(zhì),我們將得出解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個(gè)重要的結(jié)論。3.1.2積分存在的條件及其計(jì)算方法1)當(dāng)是連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時(shí)，積分是一定存在的。2)可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來計(jì)算。3.1.3積分的性質(zhì)從積分的定義我們可以推得積分有下列一些簡單性質(zhì)，它們是與實(shí)變函數(shù)中曲線積分的性質(zhì)相類似的.我們把簡單閉曲線的兩個(gè)方向規(guī)定為正向和負(fù)向.所謂簡單閉曲線的正向是指當(dāng)順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí)，曲線的內(nèi)部始終位於曲線的左方，相反的方向規(guī)定為簡單閉曲線的負(fù)向.以後遇到積分路線為簡單閉曲線的情形，如無特別聲明，總是指曲線的正向.3.1.3積分的性質(zhì)

1234例1計(jì)算其中為從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。解直線的方程可寫成又因?yàn)槿菀昨?yàn)證，右邊兩個(gè)線積分都與路線無關(guān)，所以的值無論是怎樣的曲線都等於例2計(jì)算其中為以中心，為半徑的正向圓周,為整數(shù).解:的方程可寫成所以因此例3計(jì)算的值，其中為沿從（0，0）到（1，1）的線段：解:例4計(jì)算的值，其中為沿從（0，0）到（1，1）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結(jié)成的折線。解:3.2柯西—古薩（Cauchy—Goursat）基本定理3.2.1積分與路經(jīng)無關(guān)問題積分的值與路經(jīng)無關(guān)，或沿封閉的曲線的積分值為零的條件，可能與被積分函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān).柯西—古薩（Cauchy—Goursat）基本定理如果函數(shù)在單連域內(nèi)處處解析，那末函數(shù)沿內(nèi)的任何一條簡單閉曲線的積分值為零。即

3.2.3幾個(gè)等價(jià)定理定理一如果函數(shù)在單連域內(nèi)處處解析，那末積分與連結(jié)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路線無關(guān).定理二如果函數(shù)在單連域內(nèi)處處解析，那末函數(shù)必為內(nèi)的解析函數(shù),並且原函數(shù)的概念下麵，我們再來討論解析函數(shù)積分的計(jì)算。首先引入原函數(shù)的概念：結(jié)論：的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。利用原函數(shù)的這個(gè)關(guān)係，我們可以推得與牛頓—萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分的計(jì)算公式。定理三如果函數(shù)在單連域內(nèi)處處解析，為的一個(gè)原函數(shù)，那末這裏為區(qū)域內(nèi)的兩點(diǎn)。例5計(jì)算解：例6計(jì)算解：例7計(jì)算解：例8計(jì)算解：3.3基本定理的推廣—複合閉路定理我們可以把柯西—古薩基本定理推廣到多連域的情況.在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，這一重要事實(shí)，稱為閉路變形原理.

例9計(jì)算的值，為包含圓周在內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線。解:3.4柯西積分公式定理(柯西積分公式)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含於,為內(nèi)的任一點(diǎn),那末

(3.4.1)公式(3.4.1)稱為柯西積分公式.通過這個(gè)公式就可以把一個(gè)函數(shù)在內(nèi)部任何一點(diǎn)的值,用它在邊界上的值來表示.例10計(jì)算(沿圓周正向)

解由公式(3.4.1)得例11計(jì)算(沿圓周正向)

解由公式(3.4.1)得柯西積分公式不但提供了計(jì)算某些複變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出瞭解析函數(shù)的一個(gè)積分運(yùn)算式,是研究解析函數(shù)的有力工具(見3.5解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)).一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等於它在圓周上的平均值.3.5解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù).這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同,因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)性不保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,因而不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在,關(guān)於解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有下麵的定理定理解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的階導(dǎo)數(shù)為:其中為在函數(shù)的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全含於.例12計(jì)算其中為正向圓周:

解:由公式(3.5.1)得

級數(shù)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)瞭解冪級數(shù)的概念;會(huì)求泰勒級數(shù);會(huì)把函數(shù)在展開成冪級數(shù);知道冪級數(shù)和羅倫級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)繫;會(huì)求函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù).4.1冪級數(shù)4.1.1冪級數(shù)的概念同實(shí)變函數(shù)一樣,關(guān)於冪級數(shù)也有:1.收斂圓與收斂半徑2.級數(shù)在其收斂圓內(nèi)有如下性質(zhì):1)可以逐項(xiàng)求導(dǎo).2)可以逐項(xiàng)積分.3)在收斂圓內(nèi),冪級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù).例1求的收斂半徑(並討論在收斂圓周上的情形)解:因?yàn)樗?收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散.在圓周上,原級數(shù)收斂,所以原級數(shù)在收斂圓內(nèi)和收斂圓周上處處收斂.4.1.2泰勒級數(shù)我們經(jīng)常利用泰勒展開式的唯一性及冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)(級數(shù)在其收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),可以逐項(xiàng)積分)來把函數(shù)展開成冪級數(shù),即利用間接的方法,把函數(shù)展開成冪級數(shù).4.1.2泰勒級數(shù)

定理一若函數(shù)在圓盤內(nèi)解析,則在該圓盤內(nèi)可展成的冪級數(shù),這種展式是唯一的,且為

(4.1.3)

或其中這個(gè)公式(4.1.3)稱為在的泰勒展開式,它的右端稱為在的泰勒級數(shù),稱為泰勒係數(shù).利用泰勒展開式,我們可以直接通過計(jì)算係數(shù),把函數(shù)展開成冪級數(shù).(4.1.4)(4.1.5)

(4.1.6)

(4.1.7)1.只要函數(shù)在圓盤內(nèi)解析,就可在展開成泰勒級數(shù);2.此時(shí)泰勒級數(shù),泰勒展開式,的冪級數(shù)為同意語;3.若在平面內(nèi)處處解析,則;4.若只在區(qū)域內(nèi)解析,為內(nèi)的一點(diǎn),則在的泰勒展開式的收斂半徑等於到的邊界上各點(diǎn)的最短距離;5.若在平面上除若干孤立奇點(diǎn)外內(nèi)處處解析,則等於到最近的孤立奇點(diǎn)的距離.例2把函數(shù)展開成的冪級數(shù)解:函數(shù)在內(nèi)處處解析,由公式(4.1.7)把上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),即得所求的展開式羅倫級數(shù)定理二設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域,內(nèi)處處解析,那末

(4.2.1)其中

(4.2.2)4.2羅倫級數(shù)冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)在收斂圓環(huán)域:內(nèi)的羅倫級數(shù)也具有.1.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),2.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)可以逐項(xiàng)積分,3.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù)求羅倫展開式的係數(shù)羅倫展開式的係數(shù)用公式(4.2.2)計(jì)算是很麻煩的,由羅倫級數(shù)的唯一性,我們可用別的方法,特別是代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分等方法展開,這樣往往必將便利(即間接展開法).同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一般不同;由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一個(gè)函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一定相同.例3把函數(shù)展開成的級數(shù)解:因?yàn)樗岳?把函數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解:因?yàn)樗?

例5把函數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解:因?yàn)樗?

例5把函數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解:因?yàn)樗?

通過例3、例4、例5可知同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一般不同;由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一個(gè)函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一定相同.

留數(shù)

本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.瞭解孤立奇點(diǎn)的概念;2.會(huì)求可去奇點(diǎn),本性奇點(diǎn);3.熟練掌握極點(diǎn)的求法;4.會(huì)求留數(shù);5.熟練掌握留數(shù)定理;6.會(huì)用留數(shù)定理計(jì)算積分;7.瞭解留數(shù)的一些應(yīng)用;5.1孤立奇點(diǎn)5.1.1孤立奇點(diǎn)的概念5.1.2孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)展開的羅倫級數(shù)的不同情況將孤立奇點(diǎn)作如下分類:1.可去奇點(diǎn)2.極點(diǎn)3.本性奇點(diǎn)5.1孤立奇點(diǎn)5.1.1孤立奇點(diǎn)的概念定義1如果函數(shù)在處不解析,但在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)處處解析,那末稱為的孤立奇點(diǎn).1可去奇點(diǎn)定義2如果羅倫級數(shù)中不含的負(fù)冪項(xiàng),那麼孤立奇點(diǎn)稱為的可去奇點(diǎn).這時(shí)在它的孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的羅倫級數(shù)實(shí)際上就是一個(gè)普通的冪級數(shù)例如是的可去奇點(diǎn)因?yàn)樵诘娜バ泥徲騼?nèi)的羅倫級數(shù)為2極點(diǎn)定義3如果的羅倫級數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),且其中關(guān)於的最高冪為,即那麼孤立奇點(diǎn)稱為的級極點(diǎn).3本性奇點(diǎn)定義4如果羅倫級數(shù)中含有無窮多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),那麼孤立奇點(diǎn)稱為的本性奇點(diǎn).5.1.3函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)係定理(1)如果是的級零點(diǎn),則是的級零點(diǎn);(2)如果是的級極點(diǎn),則是的級零點(diǎn),反過來也成立.例1試求的孤立奇點(diǎn)解因?yàn)槠渲性诮馕?並且似乎是函數(shù)的二級極點(diǎn),其實(shí)是一級極點(diǎn).由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點(diǎn)時(shí),不能一看函數(shù)的表面形式就急於做出結(jié)論.例2試求的孤立奇點(diǎn)解:因?yàn)槠渲性诮馕?並且似乎是函數(shù)的三級極點(diǎn),其實(shí)是二級極點(diǎn).由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點(diǎn)時(shí),不能一看函數(shù)的表面形式就急於做出結(jié)論.5.2留數(shù)5.2.1留數(shù)概念5.2.2留數(shù)定理定理一(留數(shù)定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)處處解析.是內(nèi)包含諸奇點(diǎn)的任意一條正向簡單閉曲線,則

(5.2.2)一、如果是的可去奇點(diǎn),那末因?yàn)榇藭r(shí)在的展開式是泰勒展開式,所以.二、如果是的本性奇點(diǎn),那末那就往往只能用在展開成羅倫級數(shù)的方法求三、如果是的極點(diǎn)我們有以下三個(gè)計(jì)算留數(shù)的規(guī)則.規(guī)則1如果是的一級極點(diǎn)，那末

（5.2.3）三、如果是的極點(diǎn)規(guī)則2如果是的級極點(diǎn)，那末

（5.2.4）規(guī)則3設(shè)及在都解析,如果

那麼是的一級極點(diǎn)，而

(5.2.5)例3計(jì)算積分為正向圓周:解:根據(jù)規(guī)則1,有同理因此例3我們也可用規(guī)則3來求留數(shù):因此例4求在處的留數(shù).解:應(yīng)用規(guī)則3*5.3.1在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)關(guān)於在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算,我們有以下的規(guī)則:規(guī)則4(5.3.3)*5.4.1留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用

複變函數(shù)是一門工程數(shù)學(xué)，在工程技術(shù)上有許多應(yīng)用,複變函數(shù)在穩(wěn)定平面流場和靜電場以及在工程技術(shù)上都有許多用,由於涉及到許多專業(yè)知識(shí),因此我們在此只簡述一點(diǎn)留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)以及實(shí)際問題中往往要求出一些定積分的值,而這些定積分中,被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來;有時(shí)即便可求出原函數(shù),計(jì)算也往往比較複雜.利用留數(shù)定理,來計(jì)算這些類型的定積分,只需計(jì)算這些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù);這樣一來就把問題大大簡化了.

傅立葉變換6.1傅立葉積分6.2傅立葉變換6.3函數(shù)及其傅立葉變換6.4傅立葉變換的性質(zhì)6.1傅立葉積分6.1.1主值意義下的廣義積分定義1

設(shè)函數(shù)在實(shí)軸的任何有限區(qū)間上都可積.若極限存在,則稱在主值意義下在區(qū)間上的廣義積分收斂,記為例1

計(jì)算為實(shí)常數(shù)）解我們可以證明

為實(shí)數(shù))令則例2設(shè)計(jì)算積分解上式(1)稱為函數(shù)的複指數(shù)形式的傅裏葉積分公式,而等號(hào)右端的積分式稱為的傅裏葉積分(簡稱傅氏積分).從例2可以看出,函數(shù)存在如下關(guān)係

若函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)(2)至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）,並且在上絕對可積則有：

6.1.2傅氏積分存在定理

為連續(xù)點(diǎn)為間斷點(diǎn)也叫做的傅氏積分運(yùn)算式

6.2.1傅立葉變換的概念6.2傅立葉變換叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做

=?[]叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=?例3

求函數(shù)的傅氏變換

解例4求函數(shù)的傅氏變換

和傅氏積分表達(dá)式.

解若上式右端為於是6.2.2傅氏變換的物理意義—頻譜

稱為的頻譜函數(shù)

其模稱為的振幅頻譜可以證明,頻譜為偶函數(shù),即6.3－函數(shù)及其傅立葉變換

在物理和工程技術(shù)中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會(huì)碰到單位脈衝函數(shù).因?yàn)樵谠S多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分佈的物理量外,還會(huì)有集中在一點(diǎn)的量（點(diǎn)源）,或者具有脈衝性質(zhì)的量.例如瞬間作用的衝擊力,電脈衝等.在電學(xué)中,我們要研究線性電路受具有脈衝性質(zhì)的電勢作用後所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受衝擊力作用後的運(yùn)動(dòng)情況等.研究這類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的脈衝函數(shù).有了這種函數(shù),對於許多集中在一點(diǎn)或一瞬間的量,例如點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源、集中於一點(diǎn)的品質(zhì)以及脈衝技術(shù)中的非常狹窄的脈衝等,就能夠像處理連續(xù)分佈的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決.

6.3.1函數(shù)的定義

（1）看作矩形脈衝的極限（2）函數(shù)的數(shù)學(xué)定義（3）物理學(xué)家狄拉克給出的定義滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為函數(shù)：Ⅰ

Ⅱ

1函數(shù)用一個(gè)長度等於1的有向線段來表示,如下圖

o1如下圖o定義為滿足下列條件的函數(shù)6.3.2函數(shù)的性質(zhì)

（1）對任意的連續(xù)函數(shù),都有

（2）函數(shù)為偶函數(shù),即

（3）其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有.

6.3.3函數(shù)的傅立葉變換

由於=?可見,

?[]=1,?-1[1]=.

與常數(shù)1構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對,即與也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對,即6.3.4一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對

例5

可以證明單位階躍函數(shù)的傅氏變換為

的積分運(yùn)算式為

例6證明的傅氏變換為證明=?所以例7

求正弦函數(shù)的傅氏變換

可以證明??6.4傅立葉變換的性質(zhì)

6.4.1線性性質(zhì)

?=?設(shè)為常數(shù)則=?

?6.4.2對稱性質(zhì)

若=?則以為引數(shù)的函數(shù)

的象函數(shù)為

即?

?6.4.3相似性質(zhì)

=?若則??6.4.4平移性質(zhì)

（1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)

若=?為實(shí)常數(shù),則

??例8

求??解因?yàn)樗?（2）象函數(shù)的平移性質(zhì)

若=?為實(shí)常數(shù),則

??例9已知?求?解??顯然一般地?且則6.4.5微分性質(zhì)

（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)

若=??一般地,若?則?例10證明?證明因?yàn)樗???一般地?（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)

若=?則?或?例11已知?求?解?6.4.6積分性質(zhì)

若=??則在這裏必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個(gè)廣義積分應(yīng)改為?6.4.7傅氏變換的卷積與卷積定理

1．上的卷積定義

若給定兩個(gè)函數(shù),則積分

稱為函數(shù)的卷積,記為卷積滿足下列性質(zhì)例12

對函數(shù)計(jì)算卷積解所以2．傅氏變換的卷積定理=?=?(1)若則??=?=?(2)頻譜卷積定理則?若

拉普拉斯變換7.1拉普拉斯變換7.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)7.3拉普拉斯逆變換7.4拉普拉斯變換的應(yīng)用在所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為

7.1拉普拉斯變換7.1.1拉普拉斯變換的概念定義1

設(shè)函數(shù)當(dāng)有定義,而且積分是一個(gè)複參量）

我們稱上式為函數(shù)的拉普拉斯變換式

,記做?

叫做的拉氏變換,象函數(shù).叫做的拉氏逆變換,象原函數(shù),=?

的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),亦即存在常數(shù)7.1.2拉普拉斯變換存在定理

若函數(shù)滿足下列條件

Ⅰ在的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù),時(shí),

Ⅱ當(dāng)時(shí),及,使得成立,則函數(shù)的拉氏變換在半平面上一定存在.此時(shí)右端的積分絕對收斂而且一致收斂.並且在此半平面內(nèi)為解析函數(shù)

7.1.3一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換

例2

求單位階躍函數(shù)的拉氏變換

解

?

例1