向量極化恒等式研究

向量的不合常理性質(zhì)的研究向量以其既能體現(xiàn)“形”的直觀的位置特征，又具有“數(shù)”的良好的運(yùn)算性質(zhì)，為廣大師生所喜歡。但向量又不同于數(shù)量，也不同于線段，它是多方的綜合體。對(duì)于初學(xué)者來講，向量的難度就在于它存在著多條與我們已經(jīng)接受和應(yīng)用了十幾年的數(shù)量的運(yùn)算及幾何變換格格不入的法則，存在著一些不合學(xué)生以往邏輯的性質(zhì)；對(duì)于使用向量時(shí)出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤也往往出現(xiàn)在這幾條與我們固有的、想當(dāng)然的不相一致的性質(zhì)、定理上，不妨把這些性質(zhì)、定理稱為“不合常理的性質(zhì)”。不合常理1向量不是有向線段，卻用有向線段表示根據(jù)向量的定義，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向線段來表示，但有向線段又不等同于向量，有向線段有起點(diǎn)、大小、方向三要素，而向量只有大小和方向，與起點(diǎn)無關(guān)。一個(gè)向量可用多條有向線段表示，自由向量的可移動(dòng)性決定了多條不同起點(diǎn)的有向線段表示的可能是同一個(gè)向量，從而有向線段與向量就如同“形”與“神”的關(guān)系，不管“形”的位置如何變動(dòng)，但“神”始終不變，使得利用向量在解題過程中可以有眾多的選擇機(jī)會(huì)。在利用某個(gè)向量進(jìn)行證明及運(yùn)算時(shí)，可使用它的多個(gè)不同“外殼”，以達(dá)到解題目的，當(dāng)然就更需要學(xué)生有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化思想和化歸能力。向量與有向線段的區(qū)別還體現(xiàn)在平行（共線）的關(guān)系上，有向線段有平行和共線之分，這符合學(xué)生的平面幾何中對(duì)直線的理解。不合常理2向量有大小，卻不可比較大小不合常理3零向量方向任意，卻可平行不可垂直不合常理4向量運(yùn)算滿足交換律，分配律卻不滿足結(jié)合律、消去律對(duì)于以上羅列的十條“不合常理”的性質(zhì)和定理，是學(xué)生在使用向量時(shí)出錯(cuò)的主要原因所在，只有教師在平時(shí)的教學(xué)工作中加以認(rèn)真總結(jié)分析，才能達(dá)到防患于未然，使學(xué)生在喜歡用向量解題的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，達(dá)到正確靈活的應(yīng)用向量，使向量的工具性體現(xiàn)得淋漓盡致。極化恒等式在解題中的應(yīng)用向量是高中數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性，是形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合。近幾年來，在新課程的引領(lǐng)下，各省市高考試題涌現(xiàn)了一些以向量為背景的好題，有些省市甚至是以向量為突破口來實(shí)現(xiàn)高考試題命制的創(chuàng)新。它們以向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算為載體，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，推理論證能力，以此做為壓軸試題來提高考生的區(qū)分度。基于上述原因，除了掌握向量的基本運(yùn)算之外，還有必要掌握向量中一些常見的解題方法，比如向量的極化恒等式(平面向量的積化和差公式)。本文介紹向量的極化恒等式及其相關(guān)應(yīng)用。該公式將向量的數(shù)量積與和中點(diǎn)相關(guān)的線段聯(lián)系起來，在解決一些向量試題時(shí)能更多地從幾何的角度分析，大大減少計(jì)算量，凸出體現(xiàn)了多思少算，彰顯思維品