2023學年上海市三林高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

\2x-l,x>0…

1.已知/(X)=,'則//(,og4)=()

2_2

A.2B.-c.D.3

3~3

2.若復數(shù)z滿足(2+3i)z=13i,則z二()

A.-3+2iB.3+2ic.-3-2iD.3-2i

x3

'2-x,x<0則/(/d))

3.已知函數(shù)/(x)=，9=()

lnx,x>0e

3

A.B.1C.1D.0

2

4.若復數(shù)二滿足z->/3(l+z)i=1,復數(shù)Z的共扼復數(shù)是I，貝!Jz+z=()

1

A.1B.0c.-1D.---F——I

22

2y2

5.已知雙曲線C：二=1的一條漸近線與直線3x-y+5=0垂直，則雙曲線C的離心率等于(

a萬

B.典C.VlO?D.2夜

A.0?

3

a>b11八

6.定義6小已知函數(shù)f(X)=c：2，g(X)=c2'則函數(shù)/(?=/(%)區(qū)g(?的最小值

b,a<b2-sinx2-cos-x

為()

24

A.-B.1C.-D.2

33

7.在AABC中，AB-=2,AC=3,ZA=60。，。為MBC的外心，若/x,yeR,則2x+3y=

()

543

A.2B?—C.-D.一

332

8.設雙曲線=—1=l（a>（）,/>>0）的一個焦點為F（c,0）（c>0）,且離心率等于石，若該雙曲線的一條漸近

ab

線被圓好+產(chǎn)-2cx=0截得的弦長為2石，則該雙曲線的標準方程為（）

2222

A.工-工=1B.工-工=1

20525100

222,2

C.----------=]D.----------=1

520525

9.設“、〃是兩條不同的直線，a、￡是兩個不同的平面，則加，萬的一個充分條件是（）

A.a_L/?且機uaB.mHnnn工Pc.a工廿晝m//aD.〃?_L〃且〃//尸

10.黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領域培育增長點、形成新動能.共享經(jīng)濟是公眾將閑置資源通過社會化平

臺與他人共享，進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響，在四個不同的企業(yè)各取兩個部門

進行共享經(jīng)濟對比試驗，根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展

有顯著效果的圖形是（）

11.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該

單位去年的水費開支占總開支的百分比為（）

22

12.已知雙曲線r：「一與=1（。＞0,。＞0）的一條漸近線為/,圓。：。一。）2+產(chǎn)=4與/相切于點4，若乙4耳凡的

crb一

面積為26,則雙曲線「的離心率為（）

A.2B.C.-D.—

333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AMC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,6,c.若AinA=asinC,c=l,則。=_,AABC面積的最大值

為一.

14.設a為銳角，若cos（a+三）=電,貝!Jsin2a的值為__________.

64

15.甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習，每個企業(yè)兩人，則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為.

22

16.已知點（L2）是雙曲線「一匕=1（。＞0）漸近線上的一點，則雙曲線的離心率為

a4

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓。的短軸的兩個端點分別為A（0』）、B（O,-1）,焦距為26.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線.丫=加與橢圓。有兩個不同的交點〃、N,設。為直線AN上一點，且直線B。、郵的斜率的積

為-工.證明：點。在x軸上.

4

22rr

18.（12分）已知橢圓。：「+與=1（a＞b＞0）的離心率為丫4,且以原點。為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的

a2b22

圓與直線x+y-2=（）相切.

（1）求橢圓的標準方程;

(2)已知動直線/過右焦點R且與橢圓C交于4、8兩點，已知。點坐標為(2,0),求?。月的值.

4

19.(12分)已知(x+1)"=4+q(x—l)+a2。-1)2+〃3(x—a---1a〃(x—1)”,(其中〃wN*)

Sfl=4+a2+%+…?

⑴求sn；

(2)求證：當〃24時，S”>(〃-2)2"+2".

x=l+g

20.(12分)已知直線/的參數(shù)方程為｛2。為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標

1

y=T

I2

系，曲線。的極坐標方程為Q=4COS6.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)設點P(l,0),直線/與曲線C交于A,8兩點，求IAPI+IPBI的值.

21.(12分)記拋物線。：產(chǎn)=22光(/?>0)的焦點為E，點。,E在拋物線。上，且直線OE的斜率為1,當直線OE

過點尸時，|DE|=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若G(2,2),直線DO與EG交于點H,D/+EI=0>求直線”/的斜率.

「121

22.(10分)已知矩陣知=.的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應的一個特征向量.

2a

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.

【詳解】

log2-<0,/./(log21)=-log2：=log23>0；

3DO

???/[/(log2^)]=/(log23)=3-l=2；

故選：A.

【點睛】

本題考查了函數(shù)值的求法，考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題，解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應用.

2.B

【解析】

由題意得,z=求解即可.

【詳解】

13i13i(2-3i)26i+39、、

因為(2+3i)z=13i,所以z=------------------=-----------=3+21.

2+3i(2+3i)(2-3i)4+9

故選:B.

【點睛】

本題考查復數(shù)的四則運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.

3.A

【解析】

2K丫3丫<f)111

由函數(shù)/(幻=,一,"，求得/(一)=In-=-1,進而求得/(/(一))的值，得到答案.

Inx,x>0eee

【詳解】

、田―140

由題意函數(shù).f(X)=,

Inx,x>0

i1?3

則/(-)=ln-=一1,所以/(/(-))=/(-1)=27-(-1)3=彳，故選A.

eee2

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理

與運算能力，屬于基礎題.

4.C

【解析】

根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出z,再根據(jù)共飄復數(shù)的概念求解即可.

【詳解】

解：：z-gi-Gzi=l，

.1+收1G.

??Z------=--------1-----I9

1-V3z22

贓」_4

22

,?z+z=-1?

故選：C.

【點睛】

本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，考查共甄復數(shù)的概念，屬于基礎題.

5.B

【解析】

由于直線的斜率k=3,所以一條漸近線的斜率為女'=即2=工，所以e=Jl+(、)2=典,選民

3a3Va3

6.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得尸(X)>/(X),F(x)>g(x),則2F(x)>/(x)+g(x)，再根據(jù)基本不等式構造出相應的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【詳解】

依題意得尸(x)"f(x),F(x)>g(x),貝！|2F(x)N/(無)+g(x),

11111,,

/(%)+g(x)=--------+----------=-(--------—+---------)[(2-sin-x)+(2-cos-x)]

2-sin2x2-cos2x32-sin2x2-cos2x

22222

1小2-cosx2-sinI小/2-cosx2—sinxx4,出上2-cos?x2-sinxHn

=-(2+-------5—+---------5—)>-(2+2,-------3------------5—)=-(當且僅當-=------—，即

32-sin-x2-cos-x3V2-sin-x2-cos-x32-sin-x2-cos'x

i242

sir?x=cos2x=i時"=”成立.此時,/(x)=g(x)=§,，2F(x)>-,F(x)的最小值為§,

故選：A.

【點睛】

本題考查求分段函數(shù)的最值，關鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2E(x)?/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

7.B

【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關系求出X,y,即可求出2x+3y的值.

【詳解】

如圖所示過。做三角形三邊的垂線，垂足分別為。，E,F,

過。分別做AB,AC的平行線NO,MO,

.AB2+AC2-BC29+4+BC2/

由題知cos600=--------------------------=-----------------nBC=B,

2-AB-AC12

則外接圓半徑r=-BC_=叵

2-sin6003

因為所以00=’4凡6=樣—1=2

214

又因為N0MO=6O°,所以。M=—,MO=AN=—,

333

由題可知M=x麗+y/=說+前,

AM1AN_4

所以x

^B~6AC-9

所以2x+3y=|.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.

8.C

【解析】

be

由題得又a2+〃=c2,聯(lián)立解方程組即可得6=5,從=20,進而得出雙曲線

a

方程.

【詳解】

由題得e=￡=J?①

a

又該雙曲線的一條漸近線方程為云-歐=0,且被圓好+必,2cx=0截得的弦長為2石,

2

所以=b=\Jc-5②

A/O2+b2

又+白③

由①(D③可得：/=5,/=20，

r2v2

所以雙曲線的標準方程為上-L=1.

520

故選：C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關計算，考查了學生的計算能力.

9.B

【解析】

由m//〃且〃，力可得”?，，，故選B.

10.D

【解析】

根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知，

圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟活躍度的差異最大，

它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D.

11.A

【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費

開支占總開支的百分比.

【詳解】

水費開支占總開支的百分比為一二;…x20%=6.25%.

250+450+100

故選：A

【點睛】

本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎題.

12.D

【解析】

由圓C:(x—c)2+y2=4與/相切可知，圓心C(c,O)到/的距離為2,即。=2.又5AA叱2=25“*="=2有，由

此求出。的值，利用離心率公式，求出e.

【詳解】

由題意得b-2,SAAf.]F2=ab=2A/3,

故選：D.

【點睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.1-

2

【解析】

由正弦定理，結合加inA=asinC,c=\,可求出沙；由三角形面積公式以及角A的范圍，即可求出面積的最大值.

【詳解】

因為加in4=asinC,所以由正弦定理可得仇z=ac,所以Z?=c=l；

所以SA48c=gbcsinA=gsz>2A<g，當s譏4=1,即A=90°時，三角形面積最大?

故答案為(1).1(2).《

2

【點睛】

本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎題型.

14萬+3)

【解析】

a為銳角,cos(a+—)=—,:.sin(a+—)=,

6464

sin(2?+—)=2sin(a+—)cos(a+—)=,cos(2a+—)=2cos2(a+-)-1=--,

3664364

sin2?=sin[(2<z+—)--1=sin(2a+—)cos--cos(2?+—)sin—=——x—+—x——=-—―~

33333342428

1

15.-

3

【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計算公式.

【詳解】

解：甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習，每個企業(yè)兩人，共有了=6種，甲乙在同一個公司有兩種可能,

21

故概率為P=：=4，

63

故答案為彳.

【點睛】

本題考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題

16.V5

【解析】

先表示出漸近線，再代入點(L2),求出則離心率易求.

【詳解】

2222

解：三一匕=l(a>0)的漸近線是二一匕=0(a>0)

a44

I2?2

因為(1,2)在漸近線上，所以二一±=0(。>0)

CT4

a=l(a>0)

C=V12+22=V5，八：石

故答案為：亞

【點睛】

考查雙曲線的離心率的求法，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)—+/=1;(2)見解析.

4-

【解析】

(1)由已知條件得出〃、c的值，進而可得出。的值，由此可求得橢圓C的方程;

(2)設點加)，可得N(一%,加)，且工尸0,-1<m<1,求出直線8M的斜率，進而可求得直線8D與AN的

方程，將直線直線80與AN的方程聯(lián)立，求出點。的坐標，即可證得結論.

【詳解】

b=l

(1)由題設，得所以q-=b2+c2=4,

丫2

故橢圓C的方程為±?+y2=i；

4'

(2)設則N(一不㈤，工尸0,

加一(一1)zn+1

所以直線8M的斜率為一二2=——，

%,-0%

1x.

因為直線8。、創(chuàng)/的斜率的積為-二，所以直線的斜率為-

44(根+1)

1_"71X】1

直線.的方程為y=r?i,直線皿的方程為廣一而包1

1，21

——x.—m+1

聯(lián)立，解得點。的縱坐標為力4

122，

y=——/~~rX-1——x；+m

4(m+1)41

因為點M在橢圓。上，所以五+機2=1,則%,=0,所以點。在x軸上.

4

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.

r27

18.(1)二+丁=1；(2)——.

2-16

【解析】

(D根據(jù)橢圓的離心率為交，得到c=R2。，根據(jù)直線與圓的位置關系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到

22

a=叵,從而求得匕=1,進而求得橢圓的方程；

(2)分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論，寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，向量的

數(shù)量積，結合已知條件求得結果.

【詳解】

(1)由離心率為也，可得e=￡=立,

2a2

c=—a,且以原點。為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為Y+/2=

2

2

因與直線x+y-2=0相切，則有正=a即。=\[2,c—\

故而橢圓方程為1+V=1.

(2)①當直線/的斜率不存在時，AB1,

5、

市」1⑷/5—也7

由于y,T-，-

7-4V7

②當直線/的斜率為0時，A(A/2,0),B(-V2,0),

則,一(,0乂一0一(,0)=一5；

③當直線/的斜率不為0時，設直線/的方程為x=）+l,A（X1,y），B（x2,y2）,

2

由X="+l及++y2=l,

得“2+2）/+2）-1=0，有/>0,/.+y2=--,乂%=一，77，

玉=）］+1,々=伙+1，

???卜一一'%)=,一一；)+X必=(r+1)=必必一5(凹+必)+'

112fl-2r-2+t217

-----+--f------P=+---

/+24/+216--2（/+2）---16----16'

------7

綜上所述：QAQB=--.

16

【點睛】

該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，求向量數(shù)量積，在解題的過程

中，注意對直線方程的分類討論，屬于中檔題目.

19.（1）3"-2"（2）見解析

【解析】

(1)取x=l,則。0=2"；取尤=2,貝！J/+〃1+4+4---F〃“=3〃，

***Sn=4+4+q+?,?+=3〃-2〃?

(2)要證S”>(〃-2)2"+2〃2,只需證3">(n—1)2"+2〃2,

當〃=4時，81>8()；

假設當〃=儀女24)時，結論成立，即3&>/-1)2.+2%2,

兩邊同乘以3得：3川>3](左一1)2*+2女2]=女2"1+2(女+1)2+聯(lián)—3)2&+4公一4女—2J

而伏-3)2*+4條2—4左一2=(左一3)2*+4僅2—左—2)+6=伏-3)2*+4伏一2)(k+1)+6>0

3i+1>((k+l)-l)2t+1+2伏+,即〃=&+1時結論也成立，

二當〃24時，3">(〃-1)2"+2川成立.

綜上原不等式獲證.

20.(1)x-島-1=()；(x-2)2+y2=4(2)Jl5

【解析】

(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；

(2)將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程，可得4+f2=6，?2=-3,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知

2

\PA\+\PB\=\ti-t2\=yl(ti+t2)-^t2>代入即可解決.

【詳解】

X=1H---1

(D直線/的參數(shù)方程為2(7為參數(shù))，

卜三1

消去，；得x-?百y-l=()

曲線C的極坐標方程為。=4cos氏

由尤=夕(\)56,y-psin0,x2+y2=p2,

可得/+y2=4x,即曲線c的直角坐標方程為0—2)2+y24；

(2)將直線/的參數(shù)方程|2(，為參數(shù))代入C的方程(x-2>+y2=4,

y=-t

I2

可得--3=0,/>0,

設乙，是點A,6對應的參數(shù)值，

%+與=百，伍=一3,則|PA|+1|=「一胃=+幻2—4科=岳.

【點睛】

本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.

21.(1)y2=2x(2)0

【解析】

(1)根據(jù)題意，設直線OE：y=x—g與。：丁2=2〃叱〃>0)聯(lián)立，得尸-2h-/=0,再由弦長公式,

|。初="^^-%|=4求解.

八2\/2\力_.；2

(2)設。彳,M，E，根據(jù)直線DE的斜率為1，則代犬％+x，得到%+X=2,再由

[21(2-'-

2

而+百=(),所以線段DE中點/的縱坐標為％=1,然后直線。。的方程.丫=丁r與直線￡G的方程

2/c、

y=-~-(-^-2)聯(lián)立解得交點//的縱坐標為,=1，說明直線H///X軸，直線印的斜率為0.

【詳解】

⑴依題意，尸已°)，則直線°E:y=x—g

y2=2px