高一數(shù)學(xué)等差數(shù)列的性質(zhì)

等差數(shù)列的性質(zhì)皖黃山市徽州區(qū)第一中學(xué)凌榮壽知識(shí)回顧等差數(shù)列

AAAAAAAAAAAAA每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，等于同一個(gè)常數(shù).......【說明】AAA①數(shù)列{an}為等差數(shù)列

an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an②公差是唯一的常數(shù)。an=a1+(n-1)d等差數(shù)列各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在同一條直線上.一、判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.

a,a,a,a,……，a，……

；√√√××復(fù)習(xí)鞏固：

(1)等差數(shù)列8，5，2，…，的第5項(xiàng)是

AA

AAAAAAA

(2)等差數(shù)列-5，-9，-13，…的第n項(xiàng)是A

-4an=-5+(n-1).(-4)10【說明】

在等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中a1、d、an、n任知三個(gè)，可求出另外一個(gè)二、填空題：簡言之————“知三求四”(3)已知{an}為等差數(shù)列，a1=3，d=2，an=21，則n=

②上面的命題中的等式兩邊有相同數(shù)目的項(xiàng)，如a1+a2=a3成立嗎？【說明】3.更一般的情形，an=，d=等差數(shù)列的性質(zhì)1.{an}為等差數(shù)列

2.a、b、c成等差數(shù)列

an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b為常數(shù)）am+(n-m)db為a、c的等差中項(xiàng)AA2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命題的逆命題是不一定成立的；

例1.

梯子的最高一級(jí)寬33cm，最低一級(jí)寬110cm，中間

還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬.項(xiàng)數(shù)（上）123456789101112數(shù)列的項(xiàng)33110項(xiàng)數(shù)（下）121110987654321分析：例題分析

解法一:用{an}題中的等差數(shù)列，由已知條件，有

a1=33，a12=110，n=12

又a12=a1+(12—1)d即110＝33＋11d

所以d=7

因此，

a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103

答：梯子中間各級(jí)的寬從上到下依次是40cm、47cm、54cm、

61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.例2.在等差數(shù)列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例題分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,從而a14=_3或31課堂練習(xí)1.等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a-6，2a-5，

-3a+2，則a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在數(shù)列{an}中a1=1，an=an+1+4，則a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差數(shù)列{an}中

(1)

若a59=70，a80=112，求a101；

(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0研究性問題300<<5004.在等差數(shù)列{an}中,a1=83，a4=98，則這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)在300到500之間？d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}為等差數(shù)列，若a10=20，d=-1，求a3

?1.若a12=23，a42=143，

an=263，求n.3.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積為12，求此三數(shù).d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a-da，a+d，則3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6

②上面的命題中的等式兩邊有相同數(shù)目的項(xiàng)，如a1+a2=a3成立嗎？【說明】3.更一般的情形，an=，d=一、知識(shí)鞏固1.{an}為等差數(shù)列

2.a、b、c成等差數(shù)列

an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b為常數(shù)）am+(n-m)db為a、c的等差中項(xiàng)AA2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命題的逆命題是不一定成立的；

5.在等差數(shù)列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===①前100個(gè)自然數(shù)的和：1+2+3+…+100=

；

②前n個(gè)奇數(shù)的和：1+3+5+…+(2n-1)=

；③前n個(gè)偶數(shù)的和：2+4+6+…+2n=

.思考題：如何求下列和？n2n(n+1)二、學(xué)習(xí)新課㈠等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn

=

=

.=an2+bna、b為常數(shù)Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

(1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1(2)(1)+(2)得2Sn=n(a1+an)㈡【說明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法叫

；②等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式類同于

；③{an}為等差數(shù)列

，這是一個(gè)關(guān)于

的

沒有

的“

”

倒序相加法梯形的面積公式Sn=an2+bnn常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)（注意a還可以是0）例1

已知數(shù)列{an}中Sn=2n2+3n，求證：{an}是等差數(shù)列.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚喝⒄n堂練習(xí)a1dnansn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5

例2

如圖，一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支.這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？書包網(wǎng)

書包網(wǎng)vgc57wjv套。仁玉打扮好了，我像充當(dāng)起伴娘的角色，來到她的房間，和她講起話來：“今天是你出嫁的日子，有何感想呢？”貌似我又問了一個(gè)欠扁的問題。只是這樣一問，誰料逗了仁玉笑了一笑。仁玉打趣的說：“蓮，今天我當(dāng)然不高興啦！”“我也知道你不高興，但是呢，留得青山在不愁沒柴燒??！嫁了也沒說就失去愛自己喜愛之人的權(quán)利的，是吧？”我一鼓作氣地說了對(duì)她來說算是很新潮的話。果然，仁玉有點(diǎn)吃驚，但是很快又回過神來，她貌似已經(jīng)習(xí)慣了我這說的話。仁玉低著頭一本正經(jīng)地思考了一會(huì)，驀地抬起頭來沖我笑了一下?！吧?，謝謝你，其實(shí)我也知道我這一生是要這樣過的了，但是你那晚告訴了我，就算是有許多艱難與不幸，我還是應(yīng)該去追逐自己的夢想，你說是嗎？”我聽后，感到無比欣慰，連忙點(diǎn)頭稱是。仁玉笑了，這是第一次真心地在笑吧！看到讓人無比憐惜的仁玉，我暗中認(rèn)定了這位朋友，一個(gè)擁有夢想的，并學(xué)會(huì)樂觀接收現(xiàn)實(shí)生活的女子；就好像在告訴我，其實(shí)我也可以克服我自身的軟弱，活得像她一樣，盡管世事不盡如意，但是還有我的夢想在鼓舞著我。這時(shí)，仁老夫人和仁軒也穿著整齊光鮮的衣服走了進(jìn)來。仁軒看見我也在這，就一蹦一蹦地跑過來拉起我的手，說要帶我去看那大紅燈籠，還有去燒鞭炮。我看了看老夫人，知道她有話要跟仁玉說，我也是個(gè)識(shí)趣的人，于是向老夫人說聲告辭，仁老夫人也示意地點(diǎn)了點(diǎn)頭，我便拉著仁軒走出了房門。屋里剩下新娘和老夫人了。老夫人緩緩地走向床邊，坐下后又深深地嘆了一口氣，說道：“玉兒啊，今天你終于要出嫁了。奶奶可是真舍不得你??！自從你爹娘被害之后，我是一手把你們拉扯大的啊，如今你有了好的歸宿，奶奶也替你高興啊。”老夫人說著說著，眼淚也隨之留下來了。仁玉正坐在老夫人對(duì)面，不作聲地聽著奶奶的教導(dǎo)。仁老夫人繼續(xù)講道：“還有一件事就是，今天之后你就是傅家四少爺?shù)逆砹?，也算是?*子了，應(yīng)該注意一下自己的言行，尤