高一數(shù)學(xué)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量應(yīng)用舉例向量加法三角形法則

a+b=(x1+x2,y1+y2)

向量減法三角形法則

a

–

b=(x1–

x2,

y1–

y2)

數(shù)乘（實(shí)數(shù)與向量的積）

ma=(mx1,my1)

aa+bba-babamaθbaθ內(nèi)積（向量的數(shù)量積）

a?b=|a||b|cos

(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2

a∥b(a≠0)，即a、b共線

存在實(shí)數(shù)m，使b=ma

x1y2=x2y1

a

b

a?b=0

x1x2+y1y2=0

例1已知四點(diǎn)坐標(biāo)：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、D(3，5).

（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；

（2）求∠DAB的大小.(1)證明：∴AB//DC.AB=(1–(-1),1–3)=(2,-2),BC=(4–1,4–1)=(3,3).DC=(4–3,4–5)=(1,-1),∵AB=2DC,xABCDy∴

AB⊥BC.∵

AB·BC=2×3+(-2)×3=0,∴ABCD是直角梯形.又∵AB≠DC,xABCDy（2）解：|AB|=√(1–(-1))2+(1–3)2=2√2,AD=(3–(-1),5–3)=(4,2),|AD|=√(3–(-1))2+(5–3)2=2√5,AD·AB=4×2+2×

(-2)=4,cos∠DAB===,

AD·AB|AD||AB|42√5·2√2√1010∴∠DAB=arccos.√1010例2

M是?OAB中AB邊上的中點(diǎn)，且|OA|=|OB|，

利用向量證明:OM⊥AB.

AMBO證明：設(shè)OA=a,OB=b,ab則AB=b–a,OM=(a+b).12∵|OA|=|OB|,∴|a|=|b|.∴OM⊥AB.∴OM·AB=(a+b)(b–a)=(b2–a2)=0,1212OABCxyDM例3

已知正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo):A(0,1)、C(4,3)，且A、B、C、D按逆時(shí)針排列，求頂點(diǎn)B、D的坐標(biāo).分析一：|AC|=√2

|AD|?>>AC⊥DM?分析二：>AD⊥DC?>AD·AC=|AD||AC|cos45?

?解法一：設(shè)D(x,y),AC中點(diǎn)M(xo,yo),則

xo==2,yo==2.0+421+32|AC|=√42+(3–1)2=2√5,|AD|=√x2+(y–1)2

,由AC=√2|AD|,

得2√5=√2√x2+(y–1)2

，①由AC⊥DM,AC·DM=4(2–x)+(2–y)=0.②由①、②解得x=1,y=4y=0.x=3,{或{∴D、B坐標(biāo)分別是（1，4）、（3，0）.得OABCxyDM又

AC=(4,2),DM=(2–x,2–y).解法二：（略寫）AD⊥DC>x(4–x)+(y–1)(3–y)=0.>AD·AC=|AD||AC|cos45?

4x+2(y–1)=|AC|2.√22√22OABCxyDMABCPabp

例4?ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，設(shè)CA=a,CB=b,CP=p

(1)用a,b,p表示AP2+BP2+CP2;

(2)求AP2+BP2+CP2的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)的位置.

AP2=AP·AP=(p–a)2;∴AP2+BP2+CP2=3p2–2(a+b)p+a2+b2.解:(1)BP2=BP·BP=(p–b)2;CP2=p2.(2)AP2+BP2+CP2=3p2–2(a+b)p+a2+b2

∴AP2+BP2+CP2的最小值為(a2+b2–a·b)，

取得最小值時(shí)P點(diǎn)為ΔABC的重心.23=3(p–)2+(a2+b2–a·b),23a+b3ABCPabp(1)

若P分線段AB為1:k

,試以k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)

求AB?CP;

(3)若CP

AB,

求P點(diǎn)的坐標(biāo).練習(xí)

已知A、B、C的坐標(biāo)分別為(3,4)、(9,1)和(7,7)，OABxyPCP解:(1)則x=,9+3k1+ky=.1+4k1+k即P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.9+3k1+k1+4k1+k由已知，點(diǎn)P分BA的比為k,設(shè)P(x,y)，AB·CP=–.6(2–4k)1+k3(-6–3k)1+k(3)∵CP⊥AB,∴AB·CP=0,解得k=2,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3）.OABxyPCP(2)AB=(6,-3),CP=(–7,–7),1+4k1+k9+3k1+k已知正方形ABCD兩頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,0)、B(4,1),求C、D坐標(biāo).2.等腰梯形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-1,0)、B（2，1）、C（2，5），求點(diǎn)D的坐標(biāo).3.

由三角形ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE、ACFG,EG中點(diǎn)為M,求證：AM⊥BC.

MGFEDABC作業(yè);/平行進(jìn)口車美規(guī)車hnq892dgk大的樹，還有歷史悠久的古龍王廟，太不可思議了，今后我們可以燒香拜佛了?！瘪R啟明一眼望不到樹頂，須仰視才可以，剩下的就是馬啟明發(fā)出的感嘆聲了,它們確實(shí)算得上綠溪鎮(zhèn)的奇跡和悠久歷史的見證了。突然，“嘰”的一聲，嘹亮的長(zhǎng)嘯聲猛地在白果樹尖響起，一只鳥兒如一支利箭直沖云端，留下一道殘影，逐漸與發(fā)白的天空白云融為一體，不見了蹤影。一進(jìn)入新糖化工段二樓，就看見五只嶄新的不銹鋼大鍋環(huán)繞在寬敞明亮的半圓形車間內(nèi)，北面正中央是半圓形的控制室，操作屏上紅綠LED燈閃亮一片，操作工從容地按著這些紅綠按鈕，和剛才老糖化形成了鮮明地對(duì)比，就像一位年輕貌美的漂亮姑娘和一位老掉牙的老太婆一樣，不可同日而語(yǔ)。離開了糖化工段，來(lái)到發(fā)酵工段，馬啟明看到一排排嶄新的不銹鋼管道整齊有序地排列在走道兩側(cè)，一只只錐形發(fā)酵大罐下半部懸空立在水泥圈梁上，通體用銀粉刷成銀灰色，像整裝列隊(duì)的士兵倒立，馬啟明覺得他像在檢閱儀仗隊(duì)一樣，不由得挺胸抬頭。初次進(jìn)入發(fā)酵工段就像進(jìn)入了迷魂陣一樣,分不清東南西北。發(fā)酵溫度儀表控制室內(nèi)，兩臺(tái)計(jì)算機(jī)上正顯示著每個(gè)發(fā)酵罐的溫度、壓力、發(fā)酵周期等控制參數(shù)，比起自己原來(lái)實(shí)習(xí)的西安啤酒廠要先進(jìn)許多。整個(gè)車間干凈、整潔、涼爽，但有一種讓馬啟明胸口喘不過氣來(lái)的感覺，好像一個(gè)肺不夠用的。上到發(fā)酵工段二樓，一個(gè)個(gè)高高的圓柱形大罐整齊地排列成三個(gè)方陣。東邊則是清酒間，成熟混濁的鮮啤酒在這里經(jīng)過硅藻土過濾機(jī)過濾后，變成了清亮透明的清酒，晶瑩剔透金黃耀眼的瓊漿就在這里形成了。張鋼鐵講道：“最早是用棉餅過濾啤酒，一次過濾量比較少，不足一百噸，而且勞動(dòng)強(qiáng)度大。前幾年改成了硅藻土過濾機(jī)，一次過濾量能達(dá)到四五百噸，而且啤酒質(zhì)量有了大幅度提高，特別是外觀質(zhì)量。以前沒有濁度計(jì)，灌裝車間班長(zhǎng)只憑眼睛看一下認(rèn)為可以就灌裝了?，F(xiàn)在不行了，要用濁度計(jì)測(cè)量清亮度，如果濁度超過0.4EBC就得復(fù)濾，現(xiàn)在過濾好的啤酒從三角瓶里看，能清清楚楚地看到對(duì)面的手指指紋。”張鋼鐵像個(gè)講師一樣，口才得到了極大的發(fā)揮，給馬啟明講