第1章 一元二次方程（單元提升卷）（解析版）

第1章一元二次方程（單元提升卷）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）1．（2021秋?寶應(yīng)縣期中）下列方程中，一元二次方程是（）A． B．x2+1＝0 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．x﹣y﹣1＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．x﹣＝0是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意．B．x2+1＝0是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)a＝0時(shí)，是一元一次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；D．x﹣y﹣1＝0是二元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，解題時(shí)，要注意兩個(gè)方面：1、一元二次方程包括三點(diǎn)：①是整式方程，②只含有一個(gè)未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．2．（2022秋?盱眙縣期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022?岳麓區(qū)校級(jí)開學(xué)）某種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)由原來的每盒12.5元降到每盒8元，如果2次降價(jià)的百分率相同，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，可列出的方程為（）A．12.5（1+x）2＝8 B．12.5（1﹣x）2＝8 C．12.5（1﹣2x）＝8 D．8（1+x）2＝12.5【分析】設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格＝降價(jià)前的價(jià)格（1﹣降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是12.5（1﹣x），第二次后的價(jià)格是12.5（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程求解．【解答】解：根據(jù)題意得：12.5（1﹣x）2＝8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價(jià)格問題主要解決價(jià)格變化前后的平衡關(guān)系，列出方程即可．4．（2022秋?大豐區(qū)期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣10＝0，此方程可變形為（）A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝14 D．（x﹣2）2＝14【分析】先移項(xiàng)，再配方，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：x2﹣4x﹣10＝0，移項(xiàng)，得x2﹣4x＝10，配方，得x2﹣4x+4＝10+4，即（x﹣2）2＝14，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．5．（2023春?射陽縣校級(jí)期中）已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一個(gè)解，則的值為（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2020a+4＝0，變形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：由題意得：a2﹣2020a+4＝0，∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7＝a﹣4++7＝+3＝+3＝2023．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是關(guān)鍵．6．（2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個(gè)解為x＝﹣1，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+m＝0得1+2+m＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，將x＝﹣1代入x2﹣2x+m＝0，得：1+2+m＝0，解得m＝﹣3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．7．（2022秋?建鄴區(qū)期中）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一個(gè)實(shí)數(shù)根為2022，則方程cx2+bx＝a一定有實(shí)數(shù)根（）A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義：將x＝2022代入方程ax2+bx＝c中，再兩邊同時(shí)除以2022，可得結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一個(gè)實(shí)數(shù)根為2022，∴20222a+2022b＝c，∴a+＝，∴﹣＝a，∴x＝﹣是方程cx2+bx＝a的實(shí)數(shù)根．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解，熟練掌握等式的性質(zhì)和一元二次方程解的定義是解本題的關(guān)鍵．8．（2022?廣陵區(qū)校級(jí)開學(xué)）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得：k≤且k≠0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△≥0，找出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．9．（2023春?揚(yáng)州月考）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，則方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5【分析】根據(jù)已知方程的解得出x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，求出x即可．【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣1和3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能根據(jù)已知方程的解得出x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1是解此題的關(guān)鍵．10．（2020秋?虎丘區(qū)校級(jí)期中）設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】方法1、根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而最后確定a的取值范圍．方法2、由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函數(shù)y＝ax2+（a+2）x+9a的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在1左右兩側(cè)，由此得出自變量x＝1時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)，即可得出結(jié)論．【解答】解：方法1、∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范圍為：＜a＜0．故選D．方法2、由題意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的兩根一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)分別在1兩側(cè)，當(dāng)a＞0時(shí)，x＝1時(shí)，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合題意，舍去），當(dāng)a＜0時(shí)，x＝1時(shí)，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．2、根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2＝﹣，x1x2＝．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11．（2023春?濱江區(qū)校級(jí)期中）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，則x2+y2的值等于4．【分析】首先把x2+y2當(dāng)作一個(gè)整體，設(shè)x2+y2＝k，方程即可變形為關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值．【解答】解：設(shè)x2+y2＝k∴（k+1）（k﹣3）＝5∴k2﹣2k﹣3＝5，即k2﹣2k﹣8＝0∴k＝4，或k＝﹣2又∵x2+y2的值一定是非負(fù)數(shù)∴x2+y2的值是4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題注意把x2+y2看作一個(gè)整體，然后運(yùn)用因式分解法解方程，最后注意根據(jù)式子的形式分析值的取舍．12．（2022秋?巨野縣期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接開平方法求解，則m的取值范圍是m≤0．【分析】根據(jù)直接開平方法求解可得．【解答】解：∵（x+1）2+m＝0，∴（x+1）2＝﹣m，∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接開平方法求解∴﹣m≥0，∴m≤0．故答案為m≤0．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，正確化簡方程是解題關(guān)鍵．13．（2022?陵城區(qū)模擬）已知等腰三角形三邊分別為a、b、4，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩個(gè)根，則m的值是34．【分析】討論：當(dāng)a＝4時(shí)，則4+b＝12，解得b＝8，此時(shí)不符合三角形三邊的關(guān)系；同理可得當(dāng)b＝4時(shí)，不符合三角形三邊的關(guān)系；當(dāng)a＝b時(shí)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到12＝a+b，解得a＝b＝6，則m+2＝36，從而得到m的值．【解答】解：當(dāng)a＝4時(shí)，∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴4+b＝12，∴b＝8，而4+4＝8，不符合題意；當(dāng)b＝4時(shí)，∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴4+a＝12，而4+4＝8，不符合題意；當(dāng)a＝b時(shí)，∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴12＝a+b，解得a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34，故m的值為34，故答案為34．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系．14．（2021秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）（1）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是m≠2．（2）一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣1＝0有一個(gè)根為0，則m＝1．【分析】（1）直接根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解答即可；（2）將x＝0代入方程即可求出m的值．【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，解得m≠2．故答案為：m≠2；（2）將x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，∴m2﹣1＝0，∴m＝1或m＝﹣1，∵m+1≠0，∴m＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是將x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，本題屬于基礎(chǔ)題型．15．（2021秋?廣陵區(qū)期中）若關(guān)于x的方程（m﹣1）+4x﹣2＝0是一元二次方程，則m的值為﹣1．【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【解答】解：由題意得，，由①得，m＝±1，由②得，m≠1，所以，m的值為﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．16．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的兩根，則（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝16．【分析】根據(jù)一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，變形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，∴m2+3m＝1，n2+3n＝1，（m2+3m+3）（n2+3n+3）（1+3）（1+3）＝4×4＝16，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝，也考查了一元二次方程的解．17．（2021秋?灌南縣校級(jí)月考）一個(gè)等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一個(gè)根，則此三角形的周長是14．【分析】先求出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理判斷能否組成三角形，再求出即可．【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，當(dāng)腰為3時(shí)，三角形的三邊為3，3，6，3+3＝6，此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)不行；當(dāng)腰為4時(shí)，三角形的三邊為4，4，6，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長為4+4+6＝14，故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．18．（2020秋?宜興市校級(jí)月考）設(shè)a，b是方程x2+x﹣2019＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為2018；【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，變形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵設(shè)a，b是方程x2+x﹣2019＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，∴a2+a＝2019，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，故答案為：2018．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解，能求出a+b＝﹣1和a2+a＝2019是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10小題，共96分．）19．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期中）解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，∴△＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，則x＝＝＝﹣2，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）∵（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，則x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?豐縣月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1+x2+x1?x2＝4，求m的值．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，則2m+m2+m＝4，然后解關(guān)于m的方程，再利用m的范圍確定m的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0；（2）根據(jù)題意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，∵x1+x2+x1?x2＝4，∴2m+m2+m＝4，整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，∵m≤0，∴m的值為﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．21．（2022秋?儀征市校級(jí)月考）2022年，合肥蜀山區(qū)某商場于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，三月份銷售256件．四、五月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)上漲．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到400件．（1）求四、五這兩個(gè)月的月平均增長率；（2）從六月份起，商場為了減少庫存，從而采用降價(jià)促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，月銷量增加40件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場月獲利6240元？【分析】（1）設(shè)四、五這兩個(gè)月的月平均增長率為x，利用五月份的銷售量＝三月份的銷售量×（1+月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)商品降價(jià)m元，則每件獲利（40﹣m﹣25）元，月銷售量為（400+40m）件，利用商場銷售該商品月銷售利潤＝每件的銷售利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)四、五這兩個(gè)月的月平均增長率為x，依題意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合題意，舍去）．答：四、五這兩個(gè)月的月平均增長率為25%；（2）設(shè)商品降價(jià)m元，則每件獲利（40﹣m﹣25）元，月銷售量為（400+40m）件，依題意得：（40﹣m﹣25）（400+40m）＝6240，整理得：m2﹣5m+6＝0，解得：m1＝2，m2＝3．答：當(dāng)商品降價(jià)2元或3元時(shí)，商場月獲利6240元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22．（2022?宿豫區(qū)校級(jí)開學(xué)）閱讀材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．又∵pq≠1，∴p≠．∵1﹣q﹣q2＝0可變形為（）2﹣（）﹣1＝0．根據(jù)p2﹣p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則p+＝1，即＝1．根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求（1）mn的值；（2）+．【分析】由+﹣2＝0得到2n2﹣5n﹣1＝0，根據(jù)題目所給的方法得到m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝，mn＝﹣，利用完全平方公式變形得到原式＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵+﹣2＝0，∴2n2﹣5n﹣1＝0，根據(jù)2m2﹣5m﹣1＝0和2n2﹣5n﹣1＝0的特征，∴m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴m+n＝，mn＝﹣，（1）mn＝﹣；（2）原式＝＝＝29．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝．23．（2023春?高郵市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求證：無論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2（x1＞x2），且為整數(shù)，求整數(shù)m所有可能的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝1＞0，進(jìn)而可證出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解方程求出方程的兩根為m，m+1，得出＝＝1+，然后利用有理數(shù)的整除性確定m的整數(shù)值．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×（m2+m）＝1＞0，∴無論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0，即（x﹣m）[x﹣（m+1）]＝0，解得：x＝m或x＝m+1．∴一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0的兩根為m，m+1，∵x1＞x2，∴x1＝m+1，∴＝＝1+，如果1+為整數(shù)，則m＝﹣4或﹣2或0或2，∴整數(shù)k的所有可能的值為﹣4或﹣2或0或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用解方程求出m的整數(shù)值．24．（2022?宿豫區(qū)校級(jí)開學(xué)）某商場經(jīng)營一種新型臺(tái)燈，進(jìn)價(jià)為每盞300元．市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售單價(jià)定為400元時(shí)，平均每月能銷售300盞；而當(dāng)銷售單價(jià)每下降1元時(shí)，平均每月的銷售量就增加10盞．（1）當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，該型臺(tái)燈的銷售利潤平均每月能達(dá)到40000元？（2）臨近春節(jié)，為了回饋廣大顧客，商場部門經(jīng)理決定在一月份開展降價(jià)促銷活動(dòng)，估計(jì)分析：若每盞臺(tái)燈的銷售單價(jià)在（1）的最高銷售單價(jià)基礎(chǔ)上降價(jià)m%，則可多售出2m%．要想使一月份的銷售額達(dá)到209950元，并且保證不虧損，求m的值．【分析】（1）當(dāng)降價(jià)為x元時(shí)，該型臺(tái)燈的銷售利潤平均每月能達(dá)到40000元，利用總利潤等于每盞燈的利潤乘以銷售量列方程得（10x+300）（400﹣300﹣x）＝40000，然后解方程即可；（2）當(dāng)x＝380時(shí)，銷售量為500盞，則利用一月份的銷售額達(dá)為209950元列方程得380（1﹣m%）×500（1+2m%）＝209950，然后解關(guān)于m%的一元二次方程即可得到m的值．【解答】解：（1）當(dāng)降價(jià)為x元時(shí)，該型臺(tái)燈的銷售利潤平均每月能達(dá)到40000元，根據(jù)題意得（10x+300）（400﹣300﹣x）＝40000，解得x1＝50，x2＝20，所以400﹣50＝350（元），400﹣20＝380（元）．答：當(dāng)銷售單價(jià)為350或380元時(shí)，該型臺(tái)燈的銷售利潤平均每月能達(dá)到40000元；（2）當(dāng)售價(jià)380時(shí)，此時(shí)銷售量為500盞．根據(jù)題意得380（1﹣m%）×500（1+2m%）＝209950，解得m＝15或m＝35，當(dāng)m＝15時(shí)，銷售單價(jià)為323元；當(dāng)m＝35時(shí)，銷售單價(jià)為247元，將虧損，故舍去．答：m的值為15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用：列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．解決本題的關(guān)鍵是理解總利潤等于每盞燈的利潤乘以銷售量．25．（2021?邗江區(qū)校級(jí)開學(xué)）解某些高次方程或具有一定結(jié)構(gòu)特點(diǎn)方程時(shí)，我們可以通過整體換元的方法，把方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解，從而達(dá)到降次或變復(fù)雜為簡單的目的．例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果設(shè)x2﹣3＝y(tǒng)，∵x2﹣3＝y(tǒng)，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．應(yīng)用：請用換元法解下列各題：（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，求x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．【分析】（1）設(shè)x2+y2＝m，方程變形后用求根公式求解，再根據(jù)x2+y2≥0，這個(gè)條件確定最后結(jié)果；（2）設(shè)x+＝m，方程變形后用十字相乘法求m，代入設(shè)的條件求出x；（3）首先等式兩邊都除以b2，把原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，解出即可．【解答】解：（1）設(shè)x2+y2＝m，原方程化為：（m+1）（m+3）＝8，m2+4m﹣5＝0，b2﹣4ac＝36＞0，∴方程有兩個(gè)不想等的實(shí)數(shù)根，解得m1＝﹣5，m2＝1，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝1．（2）設(shè)x+＝m，原方程化為：m2+m﹣2＝0，（m+2）（m﹣1）＝0，m+2＝0或m﹣1＝0，m1＝﹣2或m2＝1．∴x+＝﹣2，x2+2x+1＝0，（x+1）2＝0，x1＝x2＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴x＝﹣1．x+＝1，x2+x+1＝0，b2﹣4ac＜0，∴此方程無解．綜上所述，x＝﹣1．（3）原方程化為：+﹣1＝0，+﹣1＝0，∴＝，∴＝，＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法求解，掌握如何換元是解題關(guān)鍵．26．（2022秋?東?？h校級(jí)月考）如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．（1）如果要圍成面積為45平方米的花圃，那么AD的長為多少米？（2）能否圍成面積為60平方米的花圃？若能，請求出AD的長；若不能，請說明理由．【分析】（1）設(shè)出AD的長，表示出AB的長，利用長方形面積公式列方程解答，再據(jù)墻的最大可用長度為11米即可；（2）利用（1）中的方法列出方程解答，利用根的判別式進(jìn)行判定即可．【解答】解：（1）設(shè)AD的長為x米，則AB為（24﹣3x）米，根據(jù)題意列方程得，（24﹣3x）?x＝45，解得x1＝3，x2＝5；當(dāng)x＝3時(shí)，AB＝24﹣3x＝24﹣9＝15＞11，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝5時(shí)，AB＝24﹣3x＝9＜11，符合題意；答：AD的長為5米．（2）不能圍成面積為60平方米的花圃．理由：假設(shè)存在符合條件的長方形，設(shè)AD的長為y米，于是有（24﹣3y）?y＝60，整理得y2﹣8y+20＝0，∵Δ＝（﹣8）2﹣4×20＝﹣16＜0，∴這個(gè)方程無實(shí)數(shù)根，∴不能圍成面積為60平方米的花圃．【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是利用長方形的面積計(jì)算公式列方程解答問題，注意結(jié)合圖形．27．（2021春?建湖縣月考）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價(jià)下降m（0＜m＜1）元．（1）零售單價(jià)下降0.2元后，該店平均每天可賣出500只粽子，利潤為400元．（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？【分析】（1）根據(jù)零售單價(jià)每降0.1元，每天可多賣出100只粽子，求出零售單價(jià)下降0.2元賣出的粽子和利潤；（2）當(dāng)零售單價(jià)下降m時(shí)，表示出利潤，并將