第2章函數(shù)專練4-函數(shù)與方程(一)-2021屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第一章函數(shù)專練4—函數(shù)與方程（一）單選題1．函數(shù)f（x）＝lnx﹣（x﹣2）2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣1，3]∪（5，+∞） B．[﹣1，3）∪（5，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（5，+∞）3．方程，x∈[﹣5，9]的所有實(shí)根之和為（）A．0 B．12 C．8 D．104．已知函數(shù)，若函數(shù)F（x）＝f（x）﹣a的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（﹣1，0）和內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B．（0，1） C．（ln2，1） D．5．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件f（x﹣2）＝f（x），且函數(shù)y＝f（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝2x﹣1，則方程f（x）﹣＝0在[﹣1，3]上的實(shí)根之和為（）A．4 B．3 C．2+log23 D．3﹣log236．已知函數(shù)﹣x（x＞0）的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．函數(shù)f（x）＝xlnx﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）（x1，x2，x3，x4互不相等），則x1+x2+x3+x4的取值范圍是（）A． B． C．（0，5） D．9．已知是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有＝ex（2x+3）+f（x）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f（0）＝3，若方程f（x）＝m恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)f（x）＝，若恰有3個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＞﹣ B．﹣＜a＜0 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)≥0或a＝﹣多選題11．記函數(shù)f（x）＝x+lnx的零點(diǎn)為x0，則關(guān)于x0的結(jié)論正確的為（）A．0＜x0＜ B．＜x0＜1 C．＝0 D．＝012．設(shè)函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣b有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b可取的值可能是（）A．0 B． C． D．113．設(shè)三個(gè)函數(shù)y＝2x+x﹣2，y＝log2x+x﹣2和y＝x3﹣3x2+3x﹣1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則有（）A．x1x2＜x3 B．x1x2＞x3 C．x1+x2＝2x3 D．x1+x2≥2x314．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）+f（x）＝x2，且當(dāng)x≤0時(shí)，f'（x）＜x，記集合A＝{x|f（x）﹣x2≥f（1﹣x）﹣（1﹣x）2}，若函數(shù)g（x）＝ex﹣?x﹣a在x∈A時(shí)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可能是（）A． B． C． D．填空題15．已知方程x2﹣2mx+m﹣1＝0的兩實(shí)根為x1、x2，且x12+x22＝4，則實(shí)數(shù)m的值為．16．若函數(shù)的零點(diǎn)為x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，則a的值為．17．設(shè)函數(shù)f（x）＝，若方程f（x）﹣kx＝0恰有4個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．18．已知函數(shù)f（x）＝（1﹣e）（x﹣1）（x﹣3）﹣a有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1≠x2），g（x）＝x﹣ln（a+1）﹣1有唯一零點(diǎn)x3，且（x1﹣x3）（x2﹣x3）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解答題19．（1）作出f（x）＝x|x﹣4|的圖象，并討論方程f（x）＝m的實(shí)根的個(gè)數(shù)；（2）已知函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|﹣a（a∈R），若存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．已知函數(shù)f（x）＝ax﹣﹣lnx，g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若a＝0，求函數(shù)f（x）在（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若方程f（x）＝g（x）恰有一個(gè)實(shí)根，求a的取值集合；（3）若方程f（x）＝g（x）有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2（x1＜x2），求證：2＜x1+x2＜3ea﹣1﹣1．第一章函數(shù)專練4—函數(shù)與方程（一）答案1．解：函數(shù)f（x）＝lnx﹣（x﹣2）2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y＝f（x）的圖象與函數(shù)y＝（x﹣2）2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)y＝f（x）的圖象與函數(shù)y＝（x﹣2）2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選：C．2．解：由題意，函數(shù)，的圖象如圖：方程x﹣5＝0的解為x＝5，方程x2﹣2x﹣3＝0的解為x＝﹣1或x＝2；①當(dāng)m＞5時(shí)，函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)﹣1，3；②當(dāng)﹣1＜m≤3時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)﹣1，5；則實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（﹣1，3]∪（5，+∞）．故選：A．3．解：作出函數(shù)y＝sin與y＝的圖象如圖：兩函數(shù)圖象關(guān)于（2，0）中心對(duì)稱，在[﹣5，9]上共6個(gè)交點(diǎn)，則方程sin，x∈[﹣5，9]的所有實(shí)根之和為4×3＝12．故選：B．4．解：函數(shù)F（x）＝f（x）﹣a的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（﹣1，0）和內(nèi)，∴，即，解得＜a＜ln2，故選：A．5．解：由f（x﹣2）＝f（x），得f（x+2）＝f（x），則f（x）是周期為2的周期函數(shù)．又函數(shù)y＝f（x+1）為偶函數(shù)，∴y＝f（x+1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．又當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝2x﹣1，作出函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)y＝f（x）的圖象與y＝的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴方程f（x）﹣＝0在[﹣1，3]上的實(shí)根之和為4．故選：A．6．解：根據(jù)題意，對(duì)于h（x）＝x3﹣x，（x＞0），其零點(diǎn)為c，則有c3﹣c＝0，解可得c＝1，對(duì)于f（x）＝（）x﹣x，有f（1）＝﹣1＝﹣＜0，f（）＝﹣＞0，則＜a＜1，對(duì)于g（x）＝﹣x，有g(shù)（）＝﹣＝＞0，g（）＝﹣＝﹣＝2＜0，則＜c＜，則有c＞a＞b，故選：B．7．解：令f（x）＝0可得m＝xlnx，令g（x）＝xlnx（x＞0），則g′（x）＝lnx+1，∴當(dāng)0＜x＜時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，故g（x）的最小值為g（）＝﹣，又當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0，作出y＝g（x）的大致函數(shù)圖象如下：∵f（x）＝xlnx﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，∴y＝g（x）的函數(shù)圖象與直線y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)，∴﹣＜m＜0，故選：A．8．解：作出函數(shù)函數(shù)的圖象，如圖，x＝1時(shí)，f（1）＝1，令t＝f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，則有x1+x2＝1，（x3﹣1）?（x4﹣1）＝1，≥3+2＝5，因?yàn)?＜x4﹣1≤2，所以x1+x2+x3+x4的最小值大于5，當(dāng)x3＝，x4＝2時(shí)，x1+x2+x3+x4的最大值為：．x1+x2+x3+x4的取值范圍是，故選：A．9．解：∵f'（x）＝ex（2x+3）+f（x），∴＝2x+3，即＝2x+3，∴，則f（x）＝ex（x2+3x+c），∵f（0）＝3，∴f（0）＝c＝3，∴f（x）＝ex（x2+3x+3），∴f′（x）＝ex（x+2）（x+3），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2或x＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣2，故f（x）在（﹣∞，﹣3）遞增，在（﹣3，﹣2）遞減，在（﹣2，+∞）上遞增，故f（x）極大值＝f（﹣3）＝，f（x）極小值＝f（﹣2）＝，若方程f（x）＝m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，m∈（），故選：D．10．解：設(shè)g（x）＝（x≠0），∵恰有3個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得＝2，∴g（x）＝2恰好3個(gè)解，（1）當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＝，則g′（x）＝，令g′（x）＝0可得x＝﹣，∴當(dāng)x＜﹣時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)﹣＜x＜0時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，﹣）上單調(diào)遞減，在（﹣，0）上單調(diào)遞增，又g（﹣）＝＝＝＜＜2，∴g（x）＝2在（﹣∞，0）上有2解，∴g（x）＝2在（0，+∞）上只有1解，（2）當(dāng)x＞0時(shí)，由g（x）＝2可得a＝﹣，令h（x）＝﹣（x＞0），則h′（x）＝，∴當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）的最小值為h（e）＝﹣，又當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＝﹣＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜0，作出h（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：∵g（x）＝2在（0，+∞）上只有1解，∴直線y＝a與y＝h（x）的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，∴a≥0或a＝﹣．故選：D．11．解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝x+lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），有f（）＝ln+＝﹣ln2＜0，f（1）＝1+ln1＝1＞0，則有f（）f（1）＜0，若函數(shù)f（x）＝x+lnx的零點(diǎn)為x0，則有＜x0＜1，B正確，A錯(cuò)誤，函數(shù)f（x）＝x+lnx的零點(diǎn)為x0，即x0+lnx0＝0，則lnx0＝﹣x0，則有＝x0，變形可得﹣x0＝0，C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC．12．解：函數(shù)g（x）＝f（x）﹣b有三個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g（x）＝f（x）﹣b＝0，即f（x）＝b有三個(gè)根，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝ex（x+1），則f′（x）＝ex（x+1）+ex＝ex（x+2），由f′（x）＜0得x+2＜0，即x＜﹣2，此時(shí)f（x）為減函數(shù)，由f′（x）＞0得x+2＞0，即﹣2＜x＜0，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，即當(dāng)x＝﹣2時(shí)，f（x）取得極小值f（﹣2）＝﹣，作出f（x）的圖象如圖：要使f（x）＝b有三個(gè)根，則0＜b≤1，故選：BCD．13．解：y＝x3﹣3x2+3x﹣1＝0，可得x3＝1，畫出函數(shù)y＝2x與y＝log2x，y＝2﹣x三個(gè)函數(shù)的圖象如右圖其中A（x1，y1），B（x2，y2）分別是兩個(gè)函數(shù)與直線的交點(diǎn)（即零點(diǎn)x1，x2）由指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝logax的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且y＝2﹣x也關(guān)于y＝x對(duì)稱，所以交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以?2﹣x1+2﹣x2＝x1+x2∴x1+x2＝2．即x1+x2＝2x3；再由基本不等式得x1x2＜＝1（0＜x1＜x2）．x1x2＜x3，故選：AC．14．解：令函數(shù)T（x）＝f（x）﹣x2，因?yàn)閒（﹣x）+f（x）＝x2，∴T（x）+T（﹣x）＝f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣（﹣x）2＝f（x）+f（﹣x）﹣x2＝0，∴T（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，T′（x）＝f′（x）﹣x＜0，∴T（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，∴T（x）在R上單調(diào)遞減．∵存在x0∈{x|T（x）≥T（1﹣x）}，∴得T（x0）≥T（1﹣x0），x0≤1﹣x0，即x0≤，∵g（x）＝ex﹣x﹣a；（x≤），∵x0為函數(shù)y＝g（x）的一個(gè)零點(diǎn)；∵當(dāng)x≤時(shí)，g′（x）＝ex﹣x≤0，∴函數(shù)g（x）在x≤時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知a＞0，取x＝﹣＜，又∵g（﹣）＝e＞0，∴要使g（x）在x≤時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使g（）＝﹣﹣a≤0，解得a≥∴a的取值范圍為[，+∞），故選：BCD．15．由題意可得，x1+x2＝2m，x1x2＝m﹣1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m）2﹣2（m﹣1）＝4，解可得，m＝1或m＝﹣．故答案為：﹣或1．16．解：由f（﹣1）＝＞0，f（0）＝1＞0，f（﹣2）＝＞0，f（﹣3）＝＜0，及零點(diǎn)存在定理知f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（﹣3，﹣2）上，∴零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（a，a+1）＝（﹣3，﹣2）∴a＝﹣3，故答案為：﹣3．17．解：令h（x）＝kx，則函數(shù)g（x）＝f（x）﹣kx有且只有四個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與h（x）有且只有四個(gè)交點(diǎn)；作出函數(shù)f（x）的圖象如下圖，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與h（x）有且只有四個(gè)交點(diǎn)，故g（3）且g（5），即3k＜且5k＞，∴＜k＜．故答案為：（，）．18．解：∵函數(shù)f（x）＝（1﹣e）（x﹣1）（x﹣3）﹣a有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1≠x2），∴x1+x2＝4，，△＝b2﹣2ac＝16（1﹣e）2﹣4（1﹣e）（3﹣3e﹣a）＞0，即a＜e﹣1，∵函數(shù)g（x）＝x﹣ln（a+1）﹣1有唯一零點(diǎn)x3，∴x3＝ln（a+1）+1，a＞﹣1，∵（x1﹣x3）（x2﹣x3）＜0，∴＜0，∴＜0，令ln（a+1）＝t，t＜1，則a＝et﹣1，∴＜0，即＜0，令h（t）＝，則h′（t）＝，h′（t）為增函數(shù)，且h′（0）＝﹣2+＜0，h′（1）＝＞0，故存在t0∈（0，1），使得h′（t0）＝0，∴在（﹣∞，t0）上，h′（t0）＜0，在（t0，1）上，h′（t0）＞0，∴h（t）在（﹣∞，t0）上單調(diào)遞減，在（t0，1）上單調(diào)遞增，又∵h(yuǎn)（0）＝0，h（1）＝0，∴h（t）＜0的解集為（0，1），即0＜ln（a+1）＜1，∴1＜a+1＜e，解得0＜a＜e﹣1．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，e﹣1）．故答案為：（0，e﹣1）．19．解：（1）f（x）＝x|x﹣4|＝，其圖象如圖：由圖可知，當(dāng)m∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）時(shí)，方程f（x）＝m有1個(gè)實(shí)根，當(dāng)m＝0或4時(shí)，方程f（x）＝m有2個(gè)實(shí)根，當(dāng)∈（0，4）時(shí)，方程f（x）＝m有3個(gè)實(shí)根；（2）函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|﹣a（a∈R），命題若存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立的否定為?x∈[3，5]，使f（x）≥0成立．下面求使命題?x∈[3，5]，使f（x）≥0成立的a的范圍．①若a＜3，則x＝3時(shí)，f（x）在[3，5]上取得最小值，f（3）＝3（3﹣a）﹣a＝9﹣4a，∴9﹣4a≥0，即a≤；②若3≤a≤5，則x＝a時(shí)，f（x）取得最小值為f（a）＝﹣a，﹣a＜0不滿足f（x）≥0恒成立；③若a＞5，f（x）min＝min{f（3），f（5）}＝min{3（a﹣3）﹣a，5（a﹣5）﹣a}≥0，解得a．綜上可得，?x∈[3，5]，使f（x）≥0成立的a的范圍是（﹣∞，]∪[），則存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立的a的取值范圍為（）．20．解：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝，x，∴f'（x）＝＝，令f'（x）＝0得，x＝1，∴當(dāng)x時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）極大值＝f（1）＝﹣1＜0，∴函數(shù)f（x）在上恒小于0，所以函數(shù)f（x）在（，e）上無零點(diǎn)．（2）令φ（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣，則φ′（x）＝，令φ′（x）＝0，得x＝1．當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，故φ（x）max＝φ（1）＝a﹣1，①當(dāng)a﹣1＝0，即a＝1時(shí)，因最大值點(diǎn)唯一，故符合題設(shè)；②當(dāng)a﹣1＜0，即a＜1時(shí)，φ（x）＜0恒成立，不符合題設(shè)；③當(dāng)a﹣1＞0，即a＞1