第4章章末復(fù)習(xí)

章末復(fù)習(xí)1．圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圓心是C(a，b)，半徑長(zhǎng)是r.特別地，圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2.圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)(2)由于圓的方程均含有三個(gè)參變量(a，b，r或D，E，F(xiàn))，而確定這三個(gè)參數(shù)必須有三個(gè)獨(dú)立的條件，因此，三個(gè)獨(dú)立的條件可以確定一個(gè)圓．(3)求圓的方程常用待定系數(shù)法，此時(shí)要善于根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇圓的方程．如果已知圓心或半徑長(zhǎng)，或圓心到直線的距離，通?？捎脠A的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知圓經(jīng)過(guò)某些點(diǎn)，通?？捎脠A的一般方程．2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)點(diǎn)在圓上①如果一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓的方程，那么該點(diǎn)在圓上．②如果點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，那么點(diǎn)在圓上．(2)點(diǎn)不在圓上①若點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足F(x，y)>0，則該點(diǎn)在圓外；若滿(mǎn)足F(x，y)<0，則該點(diǎn)在圓內(nèi)．②點(diǎn)到圓心的距離大于半徑則點(diǎn)在圓外；點(diǎn)到圓心的距離小于半徑則點(diǎn)在圓內(nèi)．注意：若P點(diǎn)是圓C外一定點(diǎn)，則該點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最大距離：dmax＝|PC|＋r；最小距離：dmin＝|PC|－r.3．直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相離、相切，其判斷方法有兩種：代數(shù)法(通過(guò)解直線方程與圓的方程組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷)、幾何法(由圓心到直線的距離d與半徑長(zhǎng)r的大小關(guān)系來(lái)判斷)．(1)當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d＋r，最小距離為d－r，其中d為圓心到直線的距離．(2)當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓的半徑長(zhǎng)、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形．(3)當(dāng)直線與圓相切時(shí)，經(jīng)常涉及圓的切線．①若切線所過(guò)點(diǎn)(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則切線方程為x0x＋y0y＝r2；若點(diǎn)(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，則切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切線所過(guò)點(diǎn)(x0，y0)在圓外，則切線有兩條．此時(shí)解題時(shí)若用到直線的斜率，則要注意斜率不存在的情況也可能符合題意．(4)過(guò)直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)與圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交點(diǎn)的圓系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ4．圓與圓的位置關(guān)系兩個(gè)不相等的圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其判斷方法有兩種：代數(shù)法(通過(guò)解兩圓的方程組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷)、幾何法(由兩圓的圓心距d與半徑長(zhǎng)r，R的大小關(guān)系來(lái)判斷)．(1)求相交兩圓的弦長(zhǎng)時(shí)，可先求出兩圓公共弦所在直線的方程，再利用相交兩圓的幾何性質(zhì)和勾股定理來(lái)求弦長(zhǎng)．(2)過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點(diǎn)的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5．空間直角坐標(biāo)系(1)建立的空間直角坐標(biāo)系要遵循右手法則，空間上的任意一點(diǎn)都與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)一一對(duì)應(yīng)．(2)空間中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).(3)可利用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)，誰(shuí)保持不變，其余坐標(biāo)相反”的方法來(lái)求空間直角坐標(biāo)系下的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．題型一求圓的方程求圓的方程主要是聯(lián)想圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法解題．采用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟為：(1)選擇圓的方程的某一形式；(2)由題意得a，b，r(或D，E，F(xiàn))的方程(組)；(3)解出a，b，r(或D，E，F(xiàn))；(4)代入圓的方程．例1有一圓與直線l：4x－3y＋6＝0相切于點(diǎn)A(3,6)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,2)，求此圓的方程．解法一設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心為C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－32＋b－62＝a－52＋b－22＝r2，,\f(b－6,a－3)×\f(4,3)＝－1.))解得a＝5，b＝eq\f(9,2)，r2＝eq\f(25,4).∴圓的方程為(x－5)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))2＝eq\f(25,4).法二設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心為C，由CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圓上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32＋62＋3D＋6E＋F＝0，,52＋22＋5D＋2E＋F＝0，,\f(－\f(E,2)－6,－\f(D,2)－3)×\f(4,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－9，,F＝39.))∴所求圓的方程為：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法三設(shè)圓心為C，則CA⊥l，又設(shè)AC與圓的另一交點(diǎn)為P，則CA方程為y－6＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝eq\f(6－2,3－5)＝－2，∴kBP＝eq\f(1,2)，∴直線BP的方程為x－2y－1＝0.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－33＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3.))∴P(7,3)．∴圓心為AP中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,2)))，半徑為|AC|＝eq\f(5,2).∴所求圓的方程為(x－5)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))2＝eq\f(25,4).跟蹤演練1已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－1)，圓心在直線2x＋y＝0上且與直線x－y－1＝0相切，求圓的方程．解法一設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).∵圓過(guò)點(diǎn)A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0，①又圓心在直線2x＋y＝0上，∴2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＝0，即2D＋E＝0.②將y＝x－1代入圓方程得2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0.Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③將①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，即D2＋20D＋36＝0，∴D＝－2或D＝－18.代入①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－18，,E＝36，,F＝67.))故所求圓的方程為x2＋y2－2x＋4y＋3＝0或x2＋y2－18x＋36y＋67＝0.法二設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．∵圓心在直線y＝－2x上，∴b＝－2a即圓心為(a，－2a)又圓與直線x－y－1＝0相切，且過(guò)點(diǎn)(2，－1)，∴eq\f(|a＋2a－1|,\r(2))＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)解得a＝1或a＝9.∴a＝1，b＝－2，r＝eq\r(2)或a＝9，b＝－18，r＝eq\r(338)，故所求圓的方程為：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.題型二直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，切線問(wèn)題更是重中之重，判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主，解題時(shí)應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡(jiǎn)化解題過(guò)程．(2)解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對(duì)值的大小來(lái)確定兩圓的位置關(guān)系，以及充分利用它的幾何圖形的形象直觀性來(lái)分析問(wèn)題．例2如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．解(1)由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，所以d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1.由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|1－k－3－4|,\r(1＋k2))，從而k(24k＋7)＝0.即k＝0或k＝－eq\f(7,24)，所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)設(shè)點(diǎn)P(a，b)滿(mǎn)足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l2的方程為y－b＝－eq\f(1,k)(x－a)．因?yàn)閳AC1和圓C2的半徑相等，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即eq\f(|1－k－3－a－b|,\r(1＋k2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,k)4－a－b)),\r(1＋\f(1,k2)))，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，從而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因?yàn)閗的取值范圍有無(wú)窮多個(gè)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－2＝0，,b－a＋3＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋8＝0，,a＋b－5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,2)，,b＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝\f(13,2).))這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(1,2)))或點(diǎn)P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(13,2))).經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1和P2滿(mǎn)足題目條件．跟蹤演練2已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(3)，求直線l的方程．解(1)當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.作示意圖如圖，作MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，|BC|＝eq\r(3)，|MB|＝2，故|MC|＝eq\r(|MB|2－|BC|2)＝1，由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|k－1＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).所以直線l的方程為3x－4y＋6＝0.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝2，且|AB|＝2eq\r(3)，所以適合題意．綜上所述，直線l的方程為3x－4y＋6＝0或x＝2.題型三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題在解決有關(guān)直線與圓的最值和范圍問(wèn)題時(shí)，最常用的方法是函數(shù)法，把要求的最值或范圍表示為某個(gè)變量的關(guān)系式，用函數(shù)或方程的知識(shí)，尤其是配方的方法求出最值或范圍；除此之外，數(shù)形結(jié)合的思想方法也是一種重要方法，直接根據(jù)圖形和題設(shè)條件，應(yīng)用圖形的直觀位置關(guān)系得出要求的范圍．例3已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任一點(diǎn)．(1)求eq\f(y－2,x－1)的最大值與最小值；(2)求x－2y的最大值與最小值．解(1)顯然eq\f(y－2,x－1)可以看作是點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率．令eq\f(y－2,x－1)＝k，如圖所示，則其最大、最小值分別是過(guò)點(diǎn)Q(1,2)的圓C的兩條切線的斜率．對(duì)上式整理得kx－y－k＋2＝0，∴eq\f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝1，∴k＝eq\f(3±\r(3),4).故eq\f(y－2,x－1)的最大值是eq\f(3＋\r(3),4)，最小值是eq\f(3－\r(3),4).(2)令u＝x－2y，則u可視為一組平行線，當(dāng)直線和圓C有公共點(diǎn)時(shí)，u的范圍即可確定，且最值在直線與圓相切時(shí)取得．依題意，得eq\f(|－2－u|,\r(5))＝1，解得u＝－2±eq\r(5)，故x－2y的最大值是－2＋eq\r(5)，最小值是－2－eq\r(5).跟蹤演練3當(dāng)曲線y＝1＋eq\r(4－x2)與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞))答案C解析曲線y＝1＋eq\r(4－x2)是以(0,1)為圓心，2為半徑的半圓(如圖)，直線y＝k(x－2)＋4是過(guò)定點(diǎn)(2,4)的直線．設(shè)切線PC的斜率為k0，則切線PC的方程為y＝k0(x－2)＋4，圓心(0,1)到直線PC的距離等于半徑2，即eq\f(|1＋2k0－4|,\r(1＋k\o\al(2,0)))＝2，k0＝eq\f(5,12).直線PA的斜率為k1＝eq\f(3,4).所以，實(shí)數(shù)k的范圍是eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4).題型四分類(lèi)討論思想分類(lèi)討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想之一，是歷年高考的重點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)就是整體問(wèn)題化為部分問(wèn)題來(lái)解決，化成部分問(wèn)題后，從而增加了題設(shè)的條件．在用二元二次方程表示圓時(shí)要分類(lèi)討論，在求直線的斜率問(wèn)題時(shí)，用斜率表示直線方程時(shí)都要分類(lèi)討論．例4已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4，－3)，且被圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程．解圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圓心為(－1，－2)，半徑r＝5.①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則l的方程為x＝－4，由題意可知直線x＝－4符合題意．②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.由題意可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－k＋2＋4k－3|,\r(1＋k2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝52，解得k＝－eq\f(4,3)，即所求直線方程為4x＋3y＋25＝0.綜上所述，滿(mǎn)足題設(shè)的l方程為x＝－4或4x＋3y＋25＝0.跟蹤演練4如圖，已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過(guò)點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|＝2eq\r(19)