立體幾何經(jīng)典難題匯編

立體幾何難題匯編11.在正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)于由這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的各種幾何形體的以下判斷中，所有正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

①能構(gòu)成矩形；

②能構(gòu)成不是矩形的平行四邊形；

③能構(gòu)成每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；

④能構(gòu)成每個(gè)面都是直角三角形的四面體；

⑤能構(gòu)成三個(gè)面為全等的等腰直角三角形，一個(gè)面為等邊三角形的四面體．A．2B．3C．4D．5【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】證明題．【分析】畫出圖形，分類找出所有情況即可．【解答】解：作出正方體：在正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)于由這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的各種幾何形體z只能有以下四種情況：

①任意一個(gè)側(cè)面和對(duì)角面皆為矩形，所以正確；

③四面體A1-BC1D是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，所以正確；

④四面體B1-ABD的每個(gè)面都是直角三角形，所以正確；

⑤四面體A1-ABD的三個(gè)面都是等腰直角三角形，第四個(gè)面A1BD是等邊三角形．

由以上可知：不能構(gòu)成不是矩形的平行四邊形，故②不正確．

綜上可知：正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是4．

故選C．【點(diǎn)評(píng)】全面了解正方體中的任意四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體和平面四邊形是解題的關(guān)鍵．2.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是____________．【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為，故小三角形的邊長(zhǎng)為，做出面積相減，得到結(jié)果．【解答】解：考慮小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，

易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，

正四面體的棱長(zhǎng)為故小三角形的邊長(zhǎng)為小球與一個(gè)面不能接觸到的部分的面積為

，

∴幾何體中的四個(gè)面小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是4×18=72故答案為：72【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，本題解題的關(guān)鍵是看出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么，看出是一個(gè)正三角形，這樣題目做起來(lái)就方向明確．3.（2012?上海）如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是______________.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】作BE⊥AD于E，連接CE，說(shuō)明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．

取BC中點(diǎn)F，推出四面體ABCD的體積的最大值，當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)幾何體的體積最大，求解即可．5.如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，C在平面α內(nèi)，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)O到AD的距離為最大時(shí)，正四面體在平面α上的射影面積為（）A．4+2B．2+2C．4D．4【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【專題】計(jì)算題；壓軸題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】確定直線BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系，得到最大距離為AD到球心的距離+半徑，再考慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，直線BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系：點(diǎn)O是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，所以O(shè)到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離，最大距離為AD到球心的距離（即BC與AD的公垂線）+半徑=2+2.慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，此時(shí)我們注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD為底，O到AD的距離投影，即（2+2）cos45°=2+為高的等腰三角形，其面積=

故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.6.設(shè)l1，l2，l3為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線．給出下列三個(gè)結(jié)論：①?Ai∈li（i=1，2，3），使得△A1A2A3是直角三角形；

②?Ai∈li（i=1，2，3），使得△A1A2A3是等邊三角形；

③三條直線上存在四點(diǎn)Ai（i=1，2，3，4），使得四面體A1A2A3A4為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①B．①②C．①③D．②③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】本題利用畫圖結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化的思想進(jìn)行分析．我們不妨先將

A、B、C

按如圖所示放置，容易看出此時(shí)

BC＜AB=AC．

現(xiàn)在，我們將

A

和

B

往上移，并且總保持

AB=AC（這是可以做到的，只要

A、B

的速度滿足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B

移得很高很高時(shí)，就得到①和②都是正確的．至于③，結(jié)合條件利用反證法的思想方法進(jìn)行說(shuō)明即可．【解答】解：我們不妨先將

A、B、C

按如圖所示放置．

容易看出此時(shí)

BC＜AB=AC．

現(xiàn)在，我們將

A

和

B

往上移，并且總保持

AB=AC（這是可以做到的，只要

A、B

的速度滿足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B

移得很高很高時(shí)，不難想象△ABC

將會(huì)變得很扁，也就是會(huì)變成頂角

A“非常鈍”的一個(gè)等腰鈍角三角形．于是，在移動(dòng)過(guò)程中，總有一刻，使△ABC

成為等邊三角形，亦總有另一刻，使△ABC

成為直角三角形（而且還是等腰的）．

這樣，就得到①和②都是正確的．

至于③，如圖所示．

為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所共的頂點(diǎn)為?．

假設(shè)

A

是?，那么由

AD⊥AB，AD⊥AC

知

L3⊥△ABC，從而△ABC

三邊的長(zhǎng)就是三條直線的距離4、5、6，這就與

AB⊥AC

矛盾．同理可知

D

是?時(shí)也矛盾；

假設(shè)

C

是?，那么由

BC⊥CA，BC⊥CD

知

BC⊥△CAD，而

l1∥△CAD，故

BC⊥l1，從而

BC

為

l1與

l2

的距離，于是

EF∥BC，EF=BC，這樣就得