統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)分層特訓(xùn)卷一客觀題專練10立體幾何理

立體幾何(10)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直線m⊥平面β，還需要補(bǔ)充的條件是()A．m?αB．m∥αC．m⊥lD．m?α且m⊥l2．[2023·洛陽統(tǒng)考]設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若a平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，則a∥αB．若a∥α，a∥b，則b平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線C．若α⊥β，a?α，b?β，則a⊥bD．若a∥β，α⊥β，則α∥β3．[2023·全國乙卷(理)]如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為()A．24B．26C．28D．304．[2023·云南師大附中高三月考]已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3)，AC＝AD＝4，CD＝2eq\r(2)，則球O的表面積為()A．20πB．18πC．36πD．24π5．[2023·河南省名校聯(lián)考]已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A．α∥β，m∥α，則m∥βB．m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥βD．m⊥α，m∥n，α∥β，則n⊥β6．[2023·浙江省路橋中學(xué)高三模擬]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．2B．4C．6D．127．[2023·“超級(jí)全能生”高三聯(lián)考]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A．eq\f(2π,3)B．4πC．eq\f(8π,3)D．8π8．[2023·陜西省名校高三下學(xué)期檢測]如圖所示的是某多面體的三視圖，其中A和B分別對(duì)應(yīng)該多面體的兩個(gè)頂點(diǎn)，則這兩個(gè)頂點(diǎn)的距離為()A．eq\r(2)B．2C．eq\r(5)D．eq\r(6)9.[2023·全國高三月考]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，且AB＝AC＝eq\f(\r(3),3)BD，E為CD的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是()A．BD⊥平面PACB．平面PAB⊥平面PAEC．若F為PB的中點(diǎn)，則CF∥平面PAED．若PA＝AB＝2，則直線PB與平面PAC所成角為eq\f(π,3)10．[2023·全國高三月考]底面為正三角形的直棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線A1M與B1N所成的角的余弦值為()A．eq\f(11,13)B．eq\f(12,13)C．eq\f(7,13)D．eq\f(4,5)11.[2023·寧夏銀川二中高三二模]如圖，正四棱錐P-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球M的球面上，側(cè)面PAB是等邊三角形．若半球O的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個(gè)側(cè)面均相切，則半球O的體積與球M的體積的比值為()A．eq\f(\r(3),18)B．eq\f(\r(3),16)C．eq\f(\r(3),13)D．eq\f(\r(3),14)12．[2023·全國乙卷(理)]已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝eq\f(2π,3)，若△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為()A．πB．eq\r(6)πC．3πD．3eq\r(6)π[答題區(qū)]題號(hào)123456789101112答案二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．[2023·重慶市八中高三檢測]若圓錐軸截面面積為2eq\r(3)，母線與底面所成角為60°，則體積為________．14．[2023·安徽省名校大聯(lián)考]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M為CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在側(cè)面ADD1A1內(nèi)，若BM⊥A1N，則△ABN面積的最小值為________．15．[2023·湖北高三二模]在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，且AB⊥BC.若該三棱柱的外接球半徑是2，則三棱錐C1-ABC體積的最大值為________．16．[2023·遼寧高三一模]已知圓柱底面圓心分別為O1，O2，圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面、圓柱側(cè)面均相切，過直線O1O2的平面截圓柱得到四邊形ABCD，其面積為12，若P為圓柱底面圓弧CD的中點(diǎn)，則平面PAB與球O的交線長為________．立體幾何（10）1．D選項(xiàng)A，B，C的條件都不能得到直線m⊥平面β.而補(bǔ)充選項(xiàng)D后，可以得到直線m⊥平面β.理由如下：若兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面．故選D.2．B選項(xiàng)A，若a平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，則a?α或a∥α，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若a∥α，a∥b，則b?α或b∥α，兩種情況都能得到b平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，B正確；選項(xiàng)C，由α⊥β，a?α，b?β無法確定直線a，b的關(guān)系，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由a∥α，α⊥β無法確定直線a與平面β的關(guān)系，D錯(cuò)誤．3．D作出該零件的直觀圖如圖所示，該零件可看作是長、寬、高分別為2，2，3的長方體去掉一個(gè)長、寬、高分別為2，1，1的長方體所得，其表面積為2×（2×2＋2×3＋2×3）－2×1×1＝30，故選D.4．A因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，∴BC＝BD＝eq\r(42－（2\r(3)）2)＝2，在△BCD中，CD＝2eq\r(2)，∴CD2＝BC2＋BD2，∴BC⊥BD.如圖所示：三棱錐A-BCD的外接球即為長方體AGFH-BCED的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則2R＝eq\r(BA2＋BC2＋BD2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋22＋22)＝2eq\r(5)，解得R＝eq\r(5)，所以球O的表面積為20π，故選A.5．D對(duì)于A選項(xiàng)，α∥β，m∥α，則m∥β或m?β，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B選項(xiàng)，m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交，只有加上條件m與n相交時(shí)，才有結(jié)論α∥β，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于C選項(xiàng)，m⊥n，m⊥α，n∥β，則α∥β或α與β相交，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)，m⊥α，m∥n，則n⊥α，又α∥β，則n⊥β，所以D選項(xiàng)正確．故選D．6．A由三視圖可知該幾何體是底面為直角梯形，高為2的四棱錐，如圖所示，所以該幾何體的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)（1＋2）×2×2＝2，故選A.7．C由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體是半徑為2的半球內(nèi)部挖去一個(gè)圓錐，圓錐的底面與半球的大圓面重合，圓錐的高為半球的半徑．則該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×23－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8π,3).故選C.8．D根據(jù)題意可得如圖所示直觀圖，為一組合體，底面為直角梯形，側(cè)棱垂直底面，所以BE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，由高AE＝1，所以兩個(gè)頂點(diǎn)的距離為eq\r(BE2＋AE2)＝eq\r(5＋1)＝eq\r(6)，故選D.9．D設(shè)底面平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O.則O為BD，AC的中點(diǎn)，由AB＝AC＝eq\f(\r(3),3)BD，在△BCO中，OB2＋OA2＝eq\f(1,4)BD2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)BD))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,3)BD2，AB2＝eq\f(1,3)BD2，所以O(shè)B2＋OA2＝AB2，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AP，又AP∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故選項(xiàng)A正確．由上有BD⊥AC，可知底面平行四邊形ABCD為菱形．由AB＝AC，則AD＝AC，又E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD，即AE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以AE⊥AP，又AP∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB，又AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE，故選項(xiàng)B正確．如圖取AP的中點(diǎn)H，連結(jié)FH，EH,由H為AP的中點(diǎn)，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)，則HF∥AB且HF＝eq\f(1,2)AB，又AB∥CD，且AB＝CD，E為CD的中點(diǎn)，所以HF∥CE且HF＝CE，所以四邊形CFHE為平行四邊形，則FC∥EH,又EH?平面PAE，CF?平面PAE，所以CF∥平面PAE，故選項(xiàng)C正確．連結(jié)PO，由選項(xiàng)A的證明過程可知BD⊥平面PAC，所以直線PB在平面PAC上的射影為PO,所以∠BPO為直線PB與平面PAC所成的角．由PA＝AB＝2，則PB＝2eq\r(2)，由AB＝AC，則AO＝1，所以O(shè)B＝eq\r(3).在直角△BPO中，sin∠BPO＝eq\f(BO,BP)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，所以∠BPO≠eq\f(π,3)，故選項(xiàng)D不正確．故選D.10．C如圖，|eq\o(A1M,\s\up6(→))|＝|eq\o(B1N,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)，eq\o(A1M,\s\up6(→))·eq\o(B1N,\s\up6(→))＝（eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))）·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(B1B,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36＋eq\f(1,4)×8×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝28，∴cos〈eq\o(A1M,\s\up6(→))，eq\o(B1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(28,52)＝eq\f(7,13)，故選C.11．A設(shè)球M、球O的半徑分別為R，r，AB＝a，連接PO，BO，如圖，因?yàn)檎睦忮FP-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球M的球面上，側(cè)面PAB是等邊三角形，在Rt△POB中，OB＝eq\f(\r(2)a,2)，PB＝a，所以PO＝eq\f(\r(2)a,2)，所以O(shè)B＝OA＝OC＝OD＝OP＝R＝eq\f(\r(2)a,2)，因?yàn)榘肭騉的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個(gè)側(cè)面均相切，所以4×eq\f(1,3)S△PAB·r＝eq\f(4,3)×eq\f(\r(3),4)a2·r＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a，解得r＝eq\f(\r(6),6)a，則半球O的體積與球M的體積的比為eq\f(\f(1,2)×\f(4,3)πr3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2)×eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)a))\s\up12(3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(3))＝eq\f(\r(3),18)，故選A.12．B在△AOB中，AO＝BO＝eq\r(3)，∠AOB＝eq\f(2π,3)，由余弦定理得AB＝eq\r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×（－\f(1,2)）)＝3，設(shè)等腰三角形PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝eq\f(1,2)×3h＝eq\f(9\r(3),4)，解得h＝eq\f(3\r(3),2)，由勾股定理得母線PA＝eq\r(（\f(3,2)）2＋（\f(3\r(3),2)）2)＝3，則該圓錐的高PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(6)，所以該圓錐的體積為eq\f(1,3)×3π×eq\r(6)＝eq\r(6)π，故選B.13．答案：eq\f(2\r(6),3)π解析：如圖△ABP的面積為2eq\r(3)，∠PAO＝60°，所以PO＝eq\r(3)AO，S△ABP＝eq\f(1,2)×2AO×PO＝eq\r(3)AO×AO＝2eq\r(3)，所以AO＝eq\r(2)，PO＝eq\r(6)，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×AO2×PO＝eq\f(π,3)×2×eq\r(6)＝eq\f(2\r(6)π,3).14.答案：eq\f(2\r(5),5)解析：如圖，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接A1E，EF，B1F，因?yàn)镸為CC1的中點(diǎn)，所以BM⊥B1F，且A1E∥B1F，所以BM⊥A1E，所以點(diǎn)N在線段A1E上，因?yàn)锳A1＝2，AE＝1，所以A1E＝eq\r(5)，點(diǎn)A到直線A1E的距離d＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以△ABN的面積的最小值為eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),5).15．答案：eq\f(32\r(3),27)解析：如圖，由題意可知三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的直徑為AC1，則AC1＝4，即AB2＋BC2＋C1C2＝ACeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝16，從而2AB2＋C1C2＝16.三棱錐C1-ABC的體