2023-2024學年甘肅省武威市涼州區(qū)高三上學期第三次診斷考試數(shù)學試題及答案

2023-2024學年度第一學期高三第三次模擬考試數(shù)學試卷第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.UxZ|x2x120,A1,3,B4(e)B1.已知集合，則U（）0,2,440,41,3A.B.C.D.2.復數(shù)z滿足1zizi2|1|，則z（）12111iC.11iiA.1iB.D.22222內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若cbcosA，則3.A.等腰三角形C.直角三角形一定是（）B.等邊三角形D.等腰直角三角形4.函數(shù)fxx2x[,]在區(qū)間內(nèi)的圖象大致為（）22A.B.C.D.xy1，則xy）5.已知A.1B.10C.210D.10616.若sin，則）.等于（337171A.B.C.D.93393yx2xy2x1的最小距離為（7.點A是曲線上任意一點，則點A到直線）25525AB.C.D.51055f(x)f(x)8.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的x，x[0,)，都有120，則滿足fx121-2的的取值范圍是（）f2x1f1x)(,0)(-0)A.B.D.(,0)(0,1)C.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）1x2x0，xxAxR，B.xC.xR，x2x1D.方程x22x的實根有三個10.下列等式中正確的是（）12sin15cos151A.B.D.2242tan71tan261tan71tan26121sin263426sin34C.11.若函數(shù)fxxxax1恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值可能是（）A.1B.2C.3D.42fxAsin2xA0,012.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（）12,0fxA.是函數(shù)圖象的一個對稱中心B.函數(shù)對稱fxx3,C.函數(shù)在區(qū)間fx上單調(diào)遞增33D.函數(shù)的圖像可由yAsin2x的圖象向左平移個單位得到fx12第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.23133y2xyxaxa_________．13.若直線與曲線相切，則sin14.若tan，則2______．2sin23a2b2c215.△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為，則C______．43fx16.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，fx，若xfxf10，則不等式0x的解集為________.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)fxx23sinxxsinx．2（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；fx2xfxmm______，求實數(shù)的取值范圍．時，關(guān)于x的不等式（Ⅱ）若當請選擇①和②中的一個條件，補全問題（Ⅱ①有解；②恒成立．18.如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面積；（2）求邊AC的長.19.已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若S110,且成等比數(shù)列anSa,a,an124（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；an112（Ⅱ）設數(shù)列滿足bn，若數(shù)列b前n項和，證明nbTTn.1an1annna}2aaaa,a,a1，且成等差數(shù)列．12320.已知等比數(shù)列中，n123a}a；n（1）求數(shù)列（2）當數(shù)列的通項公式n，記數(shù)列b}n的前項和為na}n}滿足b2n1anN*為正項數(shù)列時，若數(shù)列nnnS，試比較與n22n的大小．Snn43f(x)ax3bx4，當x2時，函數(shù)f(x)有極值．21.若函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的極值點并求出函數(shù)的極值.f(x)xmR．22.已知函數(shù)（1）討論f(x)（2）若x)，其中，f(x)x22x，求m的最大值．2023-2024學年度第一學期高三第三次模擬考試數(shù)學試卷第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.x120,A1,3,B4UxZ|x2(e)B1.已知集合，則U（）0,2,440,4D.1,3A.B.C.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的運算求解即可.2,3,4，x120解得：3x4，得集合U【詳解】由x2A3,B4，又e4，AUB4.eAU從而故選:B．2.復數(shù)z滿足1zizi2|1|，則z（）12111i11iiD.A.1iB.C.22222【答案】C【解析】【分析】先求出等式右側(cè)復數(shù)的模，然后表示出復數(shù)z，再化簡變形求得結(jié)果.1i111i.【詳解】由已知1zizi2|1|，可得(iz1，∴z22故選：C．內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若cbcosA，則3.一定是（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形【答案】C【解析】D.等腰直角三角形【分析】利用余弦定理角化邊整理可得.b2c2a2【詳解】由余弦定理有cb，整理得b2a2c2，故一定是直角三角形.bc故選：C[,]224.函數(shù)fxx2x在區(qū)間內(nèi)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值的求解進行判斷即可.f(x)xx，，則f(x)(x)cos(x)xxf(x)2x[,]22222212故f(x)x2x為偶函數(shù)，排除C、D；又x時，f330，排除A339故選：Bxy1，則xy的最小值是（）5.已知A.1B.10C.210D.10【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．xy11，即10y0且x0，xy2210y10時取等號，，當且僅當x故選：C【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎題．6136.若sin，則）.等于（37171A.B.C.D.9339【答案】A【解析】【分析】61333根據(jù)sin，利用誘導公式得到2，再由，利用3二倍角公式求解.6231【詳解】因為sinsin，331，cos所以所以32372213，39故選：A3yx2xy2x1的最小距離為（7.點A是曲線上任意一點，則點A到直線）25525A.B.C.D.51055【答案】A【解析】3yx2xy2x1的斜率相等的點為距【分析】動點A在曲線，則找出曲線上某點的斜率與直線2離最小的點，利用導數(shù)的幾何意義即可3fxx2x，定義域為：【詳解】不妨設21對求導可得：fx3xfxx令fx21解得：x1（其中x=-舍去）3323x1時，，則此時該點2y2x1的距離為最小到直線y當321根據(jù)點到直線的距離公式可得：2d55解得：d故選：A10f(x)f(x)8.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的x，x[0,)，都有120，則滿足fx121-2的的取值范圍是（）f2x1f1x)(,0)(-0)A.B.D.(,0)(0,1)C.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可得原不等式等價于f|2x1|f，再根據(jù)單調(diào)性解不等式.【詳解】因為是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，fxfxx)f2x1f1所以不等式f|2x1|等價于，f1即2x11，解得x0或x1，所以滿足f2xf的x的取值范圍是)(,0)．故選：B．二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）1x2x0，xxA.xR，B.xC.xR，x2x1D.方程x22x的實根有三個【答案】CD【解析】【分析】利用命題的定義，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)求解即可.11x【詳解】對于A，當x0時，x(x)，x1x1xx2x2因為x0，所以，11xx(x)2所以，故A錯誤；x對于B，由反函數(shù)的性質(zhì)可知，yx的圖象關(guān)于yx對稱，由于yex與yxyxxx恒成立，且的圖象恒在圖象的下方，所以故B錯誤；2123對于C，xR，x2x1x0，即x2x1恒成立，4故C正確；對于D，故選:CD.y=x2與y2x有且僅有三個交點，故D正確.10.下列等式中正確的是（）12sin15cos1521A.C.B.D.242tan71tan261tan71tan26121sin263426sin34【答案】ABC【解析】【分析】ABC選項，逆用正切差角公式進行求解；D選項，逆用正弦和角公式計算.114sin15cos15sin30【詳解】A選項，，A正確；22B選項，2sin222.5145，B正確；2tan71tan261tan71tan2626tan71tan451，C正確；C選項，334sin60D選項，sin263426sin34sin26，D錯誤.2故選：ABC11.若函數(shù)fxxxax1恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值可能是（）A.1B.2C.3D.4【答案】BCD【解析】【分析】分離參數(shù)，函數(shù)fxxxax1有2個零點等價于在x0時，11axgxx有兩個解，判斷函數(shù)的圖像即可.xxfxxxax1【詳解】函數(shù)有2個零點等價于在x0時，有2個交點，1yagxx與直線xx1'xx1，顯然當時，g'x0，當時，0x1'x0g，gx2即在x=1處，取得最小值=1，gx圖像如下：yagxa1；若與有2個交點，則故選：BCD.2fxAsin2xA0,012.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（）12,0fx是函數(shù)圖象的一個對稱中心A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱fxx3,C.函數(shù)在區(qū)間fx上單調(diào)遞增33D.函數(shù)的圖像可由yAsin2x的圖象向左平移個單位得到fx12【答案】AD【解析】yAx)【分析】由題意利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．f(x)Asin(2xA00)的部分圖像，【詳解】解：根據(jù)函數(shù)，2可得A2，結(jié)合五點法作圖可得2，126f(x)2sin(2x)故函數(shù)．6xf(x)0(0)，是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心，故A正確；令令，求得，可得12xf(x)1，不是最值，可得x，求得不是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，故B錯誤；33在區(qū)間[，上，2x[，，函數(shù)沒有單調(diào)性，故C錯誤；]]f(x)33666y2sin2xy2sin(2x)f(x)由的圖象向左平移個單位，可得12的圖象，故D正確，6故選：AD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.23133y2xyxax相切，則a_________．13.若直線與曲線【答案】3【解析】1x,x30axa022【分析】設切點為0，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可推導得到，根據(jù)切點坐標同時滿足03直線與曲線方程可構(gòu)造方程求得0，代入可得結(jié)果.23113y2xyx3axx,x30ax0【詳解】設直線與曲線相切于點，031yx3ax2x20a2ax202，由又得：yxa，，3132123x1，0x30ax2xx30xx222x，，解得：0000033a123.故答案為：3.sin14.若tan，則2______．2sin243【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正余弦公式展開后，根據(jù)弦化切的思想求解.【詳解】因為tan2，sin2sincos2tan43所以．2sin22sin21tan24故答案為：33a2b2c215.△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為，則C______．43【答案】##3【解析】12a2b2c2【分析】因本題求角C，則△ABC的面積SabsinC，整理cosC得2aba2b2c2abcosC，代入計算．232abC3a2b2c21tanC，則可得，3C【詳解】由題意可得absinC24343∴C3故答案為：．3fx16.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，fx，若xfxf10，則不等式0x的解集為________.【答案】0U【解析】【分析】fxgx上單調(diào)令gxxfx0gx，對其求導，由x0時，，可知，從而在x遞減，由是定義域上的偶函數(shù)，從而可得出在,0上的單調(diào)性，再結(jié)gxgxfxg1g10合的解集gx.0，可求出xfxfx，則gx【詳解】由題意，令gx，xx2xfxfxxfx，則gx因為x0時，0，x2故在上單調(diào)遞減，gx又是定義在R上的奇函數(shù)，所以fx，fxfxfxfxfxgx上的偶函數(shù)，是,0xgx，即所以gxxxf1根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，可知在0.,0上單調(diào)遞增，且gggx0，1x1,0U0,1時，gx所以故答案為：1,0U0,1.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式的解集，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)的單調(diào)性.本題通過構(gòu)造函數(shù)fx上的單調(diào)性，再結(jié)gxxfxgx，求導并結(jié)合當x0時，，可求出函數(shù)在x合函數(shù)的奇偶性，可求出在定義域上的單調(diào)性.考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力，屬于中g(shù)x檔題．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)fxx23sinxxsinx．2（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；fx2xfxmm______，求實數(shù)的取值范圍．時，關(guān)于x的不等式（Ⅱ）若當請選擇①和②中的一個條件，補全問題（Ⅱ①有解；②恒成立．3【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為：k,k；T）答案見解析Ⅱ.kZ，6【解析】【分析】6fx2sin2x（Ⅰ）先將函數(shù)整理，得到，利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，即可求出其單調(diào)遞增區(qū)間與最小正周期；mfx，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，即可得出結(jié)（Ⅱ）若選①，可得mfx，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在給定區(qū)間的最小值，即可得出結(jié)果.果；若選②，可得fxx23sinxxsinⅠ）解：因為2x23sinxx2xsinx263sin2x2x2sin2x．所以函數(shù)的最小正周期T；fx2ysinx的單調(diào)增區(qū)間為2k,2kkZ，因為函數(shù)，22k2x2kkZ，所以解得，，262kxkZk，363所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為k,kfxkZ；，6（Ⅱ）解：若選擇①fxmfxm有解，即由題意可知，不等式；2x2x因為，所以，6662xx取得最大值，且最大值為fx時，f26，故當所以，即626m2；若選擇②mfxfxm2x由題意可知，不等式恒成立，即．2x因為故當，所以．6662xx取得最小值，且最小值為fx時，f21．，即662所以m1．【點睛】思路點睛：求解三角函數(shù)最值問題時，一般需要根據(jù)三角恒等變換將函數(shù)化簡整理，化為正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.18.如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面積；（2）求邊AC的長.3【答案】（1）2）534【解析】1）由余弦定理求得（2）由正弦定理即可求解.cosB，即可得出sinB，再由面積公式即可求解；32725211141）在△CBD中，由余弦定理可得B，2375314則sinB12B，153153S37；2144（2）在中，由正弦定理得，sinAsinB712AC即53，解得AC53.1419.已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若S110,且成等比數(shù)列anSa,a,an124（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；an112（Ⅱ）設數(shù)列滿足bn，若數(shù)列b前n項和，證明nbTTn.1an1annna2nn【答案】（Ⅰ）【解析】.n【詳解】試題分析：(1)利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)及等差數(shù)列的前項和求出首項和公差,進而求出數(shù)列的通項公式;an1T1112(2)利用裂項相消法求和,求得n22n123aad11a221a41d（Ⅰ）由題意知：{10110a2n；10145d110ad2解，故數(shù)列1n1111bn，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2n12n122n12n1111112133511Tn...則2n12n11112122n1點睛：本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和方法（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列加等比數(shù)列，ccn（2）裂項相消法求和，一般如3）錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列乘以等anan14）倒序相加法求和，一般距首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和和倒著寫和，兩式相加除以2得到數(shù)列求和,(5)或是具有某些規(guī)律求和.a}2aaaa,a,a1，且成等差數(shù)列．12320.已知等比數(shù)列中，n123a}a；n（1）求數(shù)列（2）當數(shù)列的通項公式n，記數(shù)列b}n的前項和為a}n}滿足b2n1anN*為正項數(shù)列時，若數(shù)列nnnnS，試比較與n22n的大?。甋nn1(n1a2n1或；nan【答案】（1）4Snn22n（2）.【解析】1）根據(jù)等比數(shù)列a}2aaaa,a,a1a,q，，且成等差數(shù)列，利用“1”求解；n123123an2n1b2n12n1nS=nn22n1，再利用作差法比（2）由（1）題得，則，利用分組求和得到S與n22n的大?。^n【小問1詳解】解：記的公比為，qan2aaa可得32qqq1，解得或2，2由121a1aa12aaaq212aq又由，可得，即1，q21321111n1q1aa1n當當時，可解得，此時有144q=2a1a2n1，此時有n時，可解得11綜上，數(shù)列的通項公式為n1a2n1.或aan1nn4【小問2詳解】2n1b2n12n1，則，nan由（1）知：從而2n12n1，Sb12n131222nn12n112nn221，n212Sn222n10，由故nSnn2n．43f(x)ax3bx4，當x2時，函數(shù)f(x)有極值（1）求函數(shù)的解析式；．21.若函數(shù)（2）判斷函數(shù)的極值點并求出函數(shù)的極值.1f(x)x34x4【答案】（1）334（2）當x2時，f(x)有極大值，當x2f(x)時，有極小值3【解析】【分析】4,f(2)0,可求出a,b的值,進而確定函數(shù)的解析式.f(2)(1)先對函數(shù)進行求導,然后根據(jù)3x(2)根據(jù)(1)中解析式然后求導,然后令導函數(shù)等于0，求出的值,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系,確定出函數(shù)的單調(diào)性,進而得到函數(shù)的極值;f(2)12ab013af(x)b2