地形Rossby波與定常波

大地形激發(fā)的準(zhǔn)靜止行星波（定常波）天氣學(xué)分析假定平直（均勻）西風(fēng)氣流爬越南北向山脈，如果氣流沒有水平切變（即初始時(shí)Z=0），大氣層結(jié)是穩(wěn)定的，且運(yùn)動近于干絕熱過程，則這種運(yùn)動可視為垂直位渦守恒（如圖1）即：(b)。前^前=°后(b)。前^前=°后f后=const”前"后圖1西風(fēng)氣流過山形成的背風(fēng)槽（a）緯向剖面（b）水平面氣流爬越山脈時(shí)，迎風(fēng)坡有地形強(qiáng)迫產(chǎn)生的上升運(yùn)動，氣柱厚度h減小，則相對渦度Z應(yīng)隨之減小。因?yàn)槌跏紩r(shí)相對渦度Z=0，這時(shí)應(yīng)有Z<0，因此氣流便產(chǎn)生反氣旋式曲率，則空氣將轉(zhuǎn)向南運(yùn)動；下山時(shí)，氣柱厚度h增大，相對渦度也增大，即上山時(shí)具有的反氣旋式曲率減小。若山脈是對稱的，則上山過程的作圖2西風(fēng)氣流過山形成的背風(fēng)槽示意圖用被下山的相反作用所抵消，則在背風(fēng)坡山腳，z恢復(fù)為零。但是因?yàn)闅饬鬟^山的全過程是反氣旋路徑，因此到達(dá)山腳時(shí)，氣流已位于初始緯度％之南（即位于中1維度），/比初始時(shí)小，所以z必須比原來大（即下山時(shí)z增加的幅度大于上山時(shí)z減小的幅度），則在山腳變?yōu)檎郎u度，氣流軌跡應(yīng)為氣旋式彎曲，即向北運(yùn)動。當(dāng)氣流返回到初始緯度％時(shí)，z應(yīng)該回復(fù)到初始狀態(tài)，即z=0.但是由于慣性作用（此時(shí)h=const.，則位渦守恒一絕對渦度守恒），氣流將繼續(xù)向北運(yùn)動一f增大-z減小-反氣旋式彎曲，到達(dá)一定緯度q時(shí)，氣流又轉(zhuǎn)向南運(yùn)動......（重復(fù)上述過程）。這樣，山脈背風(fēng)坡形成一系列的槽脊，但是由于摩擦作用，只有第一個(gè)槽在天氣圖上最清楚，稱為背風(fēng)槽或地形槽（見圖2）。由于是氣流爬越山脈時(shí)為保持位渦守恒而形成的槽，故又稱為地形Rossby（羅斯貝）波。動力學(xué)理論數(shù)學(xué)推導(dǎo)據(jù)圖3分析：假定平直西風(fēng)爬越南北向山脈，氣流無水平切變（即初始時(shí)z=0），大氣層結(jié)穩(wěn)定，運(yùn)動近似于無摩擦、干絕熱過程。過山前（x<0），有一均勻西風(fēng)U，氣層厚度為H，相對渦度孔=0；過迎風(fēng)坡山腳（x=0）后（X>0），由于存在山脈，設(shè)山脈高度為龍，則氣層厚度為H-h，相對渦度匚0豐0。 s

圖3地形對過山氣流的影響示意圖（圖3地形對過山氣流的影響示意圖（a）緯向剖面（b）水平面(a)(b)應(yīng)用正壓大氣的垂直位渦度守恒定律:（1）在定常條件下，（1）式表示位渦G+f）,..h沿流線W=常數(shù)（保持不變），即:（2）?前^前=。后'后（2）前引入流函數(shù)：u=-引入流函數(shù)：u=-義布v=——dx以方便求解過山前（x<0）：氣層厚度h=H.平直西風(fēng)無垂直速度，無徑向速度，無,f=f0+p0y=f-水平切變，故有w=0，v=0，f=f0+p0y=f-0u過山后（x>0）:氣層厚度h=H-、；f=f0+p0y；渦度不再等于零，可過山后dvdudvdu 合叩合叩—^―+f+Py=—+ +f+Py=V2W+f+pydxdy00dx2dy200h。。代入(2)式可得：1(表示為：匚+f+Py)H-hh0 0（3）在x=0處給定初始條件：x=0處，^^=-u,e^=0世 dx設(shè)在山腳（x，化簡（3）式：y)=(0,0)處有水平邊界條件：x=y=設(shè)在山腳（x，化簡（3）式：y)=(0,0)處有水平邊界條件：x=y=0處H一匕(泮v]k0uJV2V+f+py=H-hsf-H-h,此v

h0 0H0Huv2v+ 巳v=f-f-pyhHuH0 0 0V2V+^^s￡0v=-%f-py

hHuH0 0(4)(h]

1-HkHJks：靜止Rossby波的波長。(5)h?(4)式可化間為：V2V+k2V=-H^f-Py(6)觀察發(fā)現(xiàn)，（6）式為Helmholtz型方程,有一特解：根據(jù)數(shù)理方程知識可得（6）式H-hP0kH(7)根據(jù)微分方程求解知識，非齊次方程通解等于非齊次特解加齊次方程的通解，因此可（6）式具有如下形式的通解：v=vi+（D+y）X（x）將（8）式代入（6）式，然后求解：(8)第一項(xiàng)：V2v=包+地h dx2 By2孚=竺+(D+y)X'=(D+y)X'dx dx (x) (x)...性=(d+y)*"dx2 (x)同理可求出：°故：第一項(xiàng)V2W=巡+巡=(D+y)X"h dx2dy2 (x)第二項(xiàng):k第二項(xiàng):k2唯=k2「W+(D+y)XL1 (x)」=k2一二(Sf+&y)+(D+y)X=-=-(0丁)+k2(D+y)X(x)將兩項(xiàng)代回（6）式化簡得：hc h（D+y）X（HjfQ+。0y）+k2（D+y）X（）=一（萬匕+。0y）((9)觀察得知（9）式為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其通解為:(10)X(x)=Acoskx+Bsinkx(10)其中A，B為任意常數(shù)將（10）式代回（8）式中，得流函數(shù)的解:（11）W=W1+(D+y)(Acoskx+Bsinkx)（11）dW , =(D+y)(-kAsinkx+kBcoskx)dx8W W Pd=己1+Acoskx+Bsinkx=-_a+Acoskx+Bsinkx方程組中D，A，B均為待定的系數(shù)，再利用x=0處的初始條件:x=0處，x=0處，dw - =—u，dy色=0

dx求得：ddW石<竺、dy=(D+y)kB=0=-?！?A=-uk2故：若D+y豐0，B=°，A=—u+k°將A，B和（7）式的值代入（11）式，流函數(shù)的解進(jìn)一步為:、,，Hu爪 P、 7v=—H■—h們（節(jié)f0+P_y）—（D+y）（"—V°）COSkxs0k2(12)為了求出D,再利用水平邊界條件:uh P、」f—D(u——0)H—hP0H0 k2H—hP0HJ0J(-pu——0v k2故：D=匕P

0再將D值代入（12）式得:fH— [H-hsu頊|P0H)uhf]H-hP0H〕husu/h f_H—h時(shí)Wf0+旗y)—佃+服—s0P0kxh— (H—h)P九H—hs0 sH、 Hu、iy)— +y)(u—)coskxP H—h_,hf+HyP f+Pyhu. 1=—u(~~0 )+(―0 0—)(—s—)coskx(H—h)P0 &0H—h=—u/hf+(hPy-hPy)+HyP0、)J+Py、，hu、 7+(—0 i)(s)coskxP H-hf(hf+hPy)+(Hyp—hPy))

—^-0 ^-0 0 ^-0—\o"CurrentDocument"〔 (H-h)P Js0-h(f+Py)

+u—0 0—coskxP(H—h)0s■^-0(1■^-0(1—coskx)P0(H—h)_-(H—h)Py_h(f+Py)———u s 0——u(H—h)Ps0

_-_h(f+Py),[心、=-uy—u —o o—(1-coskx)Pq(H—h)至此，求得流函數(shù)解的最終表達(dá)式:(13)h(f+Py)n心、(13)V=-uy-u_0 0—(1-coskx)(H-h)Ps0物理討論因?yàn)閃因?yàn)閃在X方向上是呈周期變化的止（定常）Rossby波動，其波長為：即地形激發(fā)出了與時(shí)間無關(guān)的準(zhǔn)靜kssH-hkssH-hP0（14）由（14）式可見波長與大地形的高度與氣層厚度、平均西風(fēng)風(fēng)速以及緯度相關(guān)。1）不同地形高度對波長的影響芝竺迎，地球自轉(zhuǎn)角速度在相同緯度與平均西風(fēng)風(fēng)速的條件下，改變地形高度，以討論地形高度變化對準(zhǔn)靜止行星波波長變化的影響。其中地形高度的變化通過其與氣層厚度（或稱大氣標(biāo)高，H約為8km）的比值變化來體現(xiàn)。芝竺迎，地球自轉(zhuǎn)角速度已知地球半徑a=6371km，Rossby參數(shù)P=0。=7.292X10-5s-1，若取9=30°N，u=10m?sT，代入(14)式:10aHU丁'HaU、10a(15)L=2兀， =2兀： =2丸(15)\H—hP \H—h2。cos甲 、:H—h2。cos30°再代入不同地形高度（即不同的hs與H的比值），即可計(jì)算出相應(yīng)的地形Rossby波波長（如表1所示）。由行星波的定義，其臨界波長值約為5000km，從表1中可看出，當(dāng)h=-Hs10時(shí)，所激發(fā)的地形Rossby波波長最接近行星波波長臨界值。取H為8km，計(jì)算得出，可激發(fā)出行星波的地形高度臨界值約為1.6km。類似于青藏高原這樣的大地形（H>2/10），其激發(fā)的地形Rossby波就屬于準(zhǔn)靜止行星波，其波長在5000?6000km左右。結(jié)合表1的計(jì)算結(jié)果，可作出地形Rossby波波形隨地形高度變化的示意圖（如圖4、圖5）。從圖中我們可以看出，地形高度的變化對地形Rossby波波長有顯著影響，且這種影響呈規(guī)律性變化。地形高度越高，所激發(fā)的地形Rossby波波長越長，也就是說，大地形比相對小的地形激發(fā)的地形Rossby波的波長更長，更易激發(fā)出準(zhǔn)靜止行星波。從高原地質(zhì)變化歷史的角度，也可以說，高原大地形在不同的隆升階段，地形對大氣行星波波長的影響不同的，隆升高度越高，高原大地形激發(fā)的行星波的波長就越長。在高原隆升前現(xiàn)代的行星尺度系統(tǒng)幾乎不存在，隆升后才形成了北半球冬季以東亞大槽，北美東部大槽和歐洲槽為顯著特征的“三波型”環(huán)流形勢。表1.不同地形高度對地形Rossby波的影響地形高度與氣層厚度之比 激發(fā)的地形Rossby波的波長（106m）TOC\o"1-5"\h\z1/10 4.702/10 4.993/10 5.334/10 5.765/10 6.31^111!!^111!!$高厚而--L.—一一，層II匡H的憂1地形數(shù)芨的Rci弟by波的—長L〈10sin-）圖4不同地形高度對地形Rossby波波長的影響

圖5地形激發(fā)的圖5地形激發(fā)的Rossby波波長隨地形高度變化的關(guān)系均形高度&與氣層怛度H的比值除此之外，我們還可以從圖4中發(fā)現(xiàn)，地形高度越高，所激發(fā)的地形Rossby波波長越長，地形槽落區(qū)越偏東。根據(jù)天氣學(xué)原理的知識可知，高空槽脊的位置對地面降水起著重要作用，因此，研究地形Rossby波波長，對預(yù)報(bào)高原大地形以東地區(qū)的降水有重要意義。在劉式適對青藏高原大地形作用下的地形Rossby波研究中［21］，由于基本西風(fēng)和大地形的東西坡度，在大地形西側(cè)地面有上升運(yùn)動，東側(cè)有下沉運(yùn)動。西側(cè)地面形成水平輻散，大地形的東側(cè)形成水平輻合，也與陳秋士用。坐標(biāo)系的分析是一致的［22］。因此，在地形西側(cè)，高空對應(yīng)地形Rossby波的脊區(qū)，環(huán)流形勢受脊控制，地面由于地形坡度伴有氣流的強(qiáng)迫抬升運(yùn)動，氣流水平輻散，在此天氣系統(tǒng)配置下，不易產(chǎn)生降水等天氣過程。而在地形以東，高空對應(yīng)地形Rossby波的槽區(qū)，地形下行伴隨氣流顯著下沉，單位體積里的空氣驟減，因此形成氣流水平輻合，這樣的天氣系統(tǒng)配置，極易形成強(qiáng)烈的對流天氣?？梢哉f對青藏高原以東地區(qū)的降水起著重要作用，也與我國持續(xù)性重大天氣異常有著密切的聯(lián)系。2）不同平均西風(fēng)風(fēng)速對波長的影響取中=30°N，hs=土H，代入（14）式:H布"HauL=2兀' =2兀H布"HauL=2兀' =2兀\H-hp=2丸 錯(cuò)誤!未指定書簽。H-h20cos甲 \920cos30°(16)由（16）式可以看出，大地形激發(fā)的地形Rossby波波長不僅與地形高度相關(guān)，也與過山西風(fēng)氣流的平均風(fēng)速相關(guān)。取不同平均西風(fēng)風(fēng)速U的值代入上式，可求出對應(yīng)準(zhǔn)靜止Rossby波的波長(如表2所示)。在不同平均風(fēng)速條件下，地形激發(fā)的定常Rossby波的波長不同。風(fēng)速越大，則波長越長，即波長與風(fēng)速的平方根的大小呈正比，如表2和圖6所示。取H=8000km,準(zhǔn)靜止行星波臨界波長Lc=5000km，計(jì)算可得，能激發(fā)出準(zhǔn)靜止行星波的臨界風(fēng)速為uc=11.3m?s-1。由此可見，即使在地形高度h—H的條件下，當(dāng)平均風(fēng)速超過11m?s-1S10時(shí)，也可以激發(fā)出準(zhǔn)靜止行星波。表2.不同平均西風(fēng)風(fēng)速對地形Rossby波波長的影響風(fēng)速u(m?s-1)波長L(106m)風(fēng)速u(m?s-1)波長L(106m)21.67155.7642.97186.3163.64206.6584.21257.43104.70308.14125.15大地形澈發(fā)的地形Ro曙by波波長￡(xlO:m)圖6西風(fēng)風(fēng)速與地形Rossby波波長的關(guān)系土始?村專的卅中小”防舄舄丑工（：Q6m.）圖7不同緯度的地形Rossby波通常情況下，高空風(fēng)速遠(yuǎn)大于近地面風(fēng)速，綜合高原大地形的地形因素，則地形高度越高，高空風(fēng)速也越大，兩種條件均有利于激發(fā)出更長波長的地形Rossby波，即有利于產(chǎn)生準(zhǔn)靜止行星波。從而也印證了，青藏高原大地形對東亞大槽，北美東部大槽和歐洲槽構(gòu)成的波動環(huán)流形勢的形成起到了重要作用。3）地形所處地理緯度對地形波動的影響（高原南部、北部的不同影響）取u=10m?s-1，hs=￡H，代入（14）式：,2?！銅~ °''10~10?L=—=2丸I =2丸， （17）k\H-hP0 V920cos甲由（17）式可以看出，當(dāng)西風(fēng)基流風(fēng)速與地形高度一定時(shí)，大地形激發(fā)的地形Rossby波波長與地形所處地理緯度相關(guān)。取不同緯度位置中代入上式，可求出對應(yīng)準(zhǔn)靜止Rossby波的波長（如表3所示）。表3.不同地理緯度對地形Rossby波波長的影響地形所處緯度位置中（°N）地形激發(fā)的定常Rossby波的波長（106m）TOC\o"1-5"\h\z30 4.7035 4.8340 5.0045 5.20根據(jù)表3與圖7可以看出，相同高度的地形，處在不同的地理緯度位置，其激發(fā)的地形Rossby波波長也不同。在北半球，地形越偏北，激發(fā)出的波長越長;反之，越偏南，激發(fā)的波長越短。波長隨緯度變化同樣呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如圖8所示。青藏高原大地形位于北緯25°N?40°N之間，緯度位置偏北。所以，有利的緯度位置，也是青藏高原能激發(fā)出波動型環(huán)流的又一重要因素。+比壽女J+比壽女J很K:：RjurL/:F?工壬￡(IOtt；.■■■.代忌而許既底0古尹圖8緯度位置與地形Rossby波波長的關(guān)系 簡化的求解過程 7.3.1地形Rossby波我們也稱背風(fēng)槽為地形Rossby波，應(yīng)用正壓大氣的垂直位渦度守恒定律（7.6）來分析地形Rossby波。圖7.2地形Rossby波如圖7.2，在迎風(fēng)面（X<0），有一均勻西風(fēng)U，氣層厚度為H，相對渦度C0=0；過X=0后（X>0），由于存在山脈，設(shè)山脈高度為七，則氣層厚度為H-h、相對渦度匚0。0。在定常條件下（7.6）式表示位渦G+f>'h沿流線w=常數(shù)保持不變。V為流函數(shù)，它滿足TOC\o"1-5"\h\zdw 伽u=-—-，v= （7.7）dy ex由圖7.2可知

x<0:h=H，斗=-uy,v=0,匚=0,f=f+P0y=f-乙(7.8)(7.9)因此，（7?6）式可以寫為*(V2y+f圮ys00)=1(7.10)而在x=0處存在連接條件dy - =—u，8y色=0

d(7.8)(7.9)因此，（7?6）式可以寫為*(V2y+f圮ys00)=1(7.10)而在x=0處存在連接條件dy - =—u，8y色=0

dx(7.11)另外，設(shè)在（x,y）=（0,0）處，V=0，即式中（7.1