圓錐曲線中的小技巧講義（1）-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

圓錐曲線中的小技巧（1）TOC\o"13"\h\u非對稱韋達(dá)： 1軌跡為圓的 8參數(shù)方程與普通方程的互化 10中點(diǎn)弦問題： 13隱性中點(diǎn)： 13定比點(diǎn)差： 14第三定義： 15齊次化： 16非對稱韋達(dá)：此外，在一些定點(diǎn)、定值、定線問題中，還常出現(xiàn)需要證明類似為定值的情形，通過直線代換可得：但此時(shí)式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達(dá)定理”．我們明明求了韋達(dá)定理卻無法代入，這時(shí)我們就需要通過所求得的韋達(dá)定理找到和之間的關(guān)系，將其中一個(gè)替換，常用手段是把乘法的替換成加法，非對稱韋達(dá)的處理，技巧性稍強(qiáng)一些，具體處理方法技巧．【例題1】已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，A，B分別為其左、右頂點(diǎn)，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(不與A，B重合)，記直線AM與BN的斜率分別為證明為定值．解析反設(shè)直線：由題，A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)，則，，聯(lián)立，消x得，且△>0，則策略一：和積轉(zhuǎn)換(一般是積轉(zhuǎn)和)所以，代入得，，為定值，得證.策略二：配湊半代換因此，得證正設(shè)直線：情形一當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，或， 因此或，，此時(shí)均有，為定值；情形二當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，不妨就正設(shè)直線，，， 因此，，聯(lián)立，消得，易知△＞0，則策略一：和積轉(zhuǎn)換（一般是積轉(zhuǎn)和）即，因此，所以，為定值，得證.策略二：配湊半代換所以，即，為定值，得證.策略三：先猜后證要證，即證，也即，即，即，也即，也即，顯然成立，也即恒有，為定值，得證.策略四：曲線替換（一般先要平方）習(xí)題鞏固：1．（2021·遼寧大連·一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的左右頂點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)垂直，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在定直線2．（2021·福建高三其他模擬）橢圓的離心率，在上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為短軸端點(diǎn)，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)(異于)，直線交于點(diǎn).求證：點(diǎn)恒在一定直線上.3.（2023遼寧高考21）21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【小問1詳解】設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程.【小問2詳解】由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.軌跡為圓的：1.命題學(xué)校：華中師大一附中命題人：田甜審題人：王雪冰吳巨龍考試時(shí)間：2020年12月30日上午8:00—10:00（21）已知橢圓與拋物線有公共的焦點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為3．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)作一條斜率為k(k≠0)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，P為弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線OP的垂線交OP于點(diǎn)Q，問是否存在一定點(diǎn)H，使得QH的長度為定值？若存在，則求出點(diǎn)H，若不存在，請說明理由．2.（2020山東高考22）22．已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．3.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)（異于橢圓的左、右端點(diǎn)）.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作橢圓的切線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，求面積的最大值.參數(shù)方程與普通方程的互化eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3k,1＋k2),y＝\f(6k2,1＋k2)))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－sin2θ,y＝sinθ＋cosθ))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2),y＝\f(t,1＋t2))).1．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），2．（2015?湖南）已知直線l：（t為參數(shù)）3.（2019?新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．習(xí)題鞏固：1．（2021·遼寧高三二模）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說明是什么曲線；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，求的最大值．2.中點(diǎn)弦問題：1．（2022·遼寧16）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．隱性中點(diǎn)：1．已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍．定比點(diǎn)差：1．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，且．（1）求橢圓的方程；（2）已知，，點(diǎn)在橢圓上，直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)，，若，，求證：為定值．【解答】解：（1）設(shè)，由題意可得，，所以，，又，聯(lián)立解得，，所以橢圓的方程為；（2）證明：設(shè)，，，，，，由，，得，，，，，，所以，，所以①又點(diǎn)，，均在橢圓上，由，得，所以，由，得聯(lián)立②③得④聯(lián)立①④得，所以為定值．第三定義：1．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，，那么直線斜率的取值范圍是A． B． C． D．經(jīng)典變形：2．（2022·全國甲卷10（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2.設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若的三個(gè)內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．（2022·遼寧·育明高中一模）國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．齊次化：1.已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．【解析】直線由，得則由，得：，整理得：，即：．所以，則，即：．2．如圖，橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)，證明:直線