直觀理解歐拉公式

直觀理解歐拉公式歐拉的身份似乎莫名其妙：ei兀=—1它來自一個更通用的公式：ei兀=cos(x)+isin(x)Yowz——我們將一個虛指數(shù)與正弦和余弦聯(lián)系起來！并以某種方式插入pi給出-1?這可能是直觀的嗎？不是根據(jù)1800年代數(shù)學(xué)家BenjaminPeirce的說法：這絕對是自相矛盾的；我們無法理解它，我們不知道它的含義，但我們已經(jīng)證明了它，因此我們知道它一定是真理。啊啊啊，這態(tài)度讓我熱血沸騰！公式不是需要記住的魔法：我們必須，必須，必須找到洞察力。這是我的：歐拉公式描述了兩種等價的圓周運(yùn)動方式。就是這樣?這個驚人的方程式是關(guān)于旋轉(zhuǎn)的?是的——我們可以通過一些類比來理解它：從數(shù)字1開始，將乘法視為改變數(shù)字的變換：1?eiK規(guī)則指數(shù)增長在一段時間內(nèi)以某種速度持續(xù)增加1；虛指數(shù)增長在一段時間內(nèi)連續(xù)旋轉(zhuǎn)1為“pi”單位時間增長意味著圍繞圓圈旋轉(zhuǎn)pi弧度所以，1?鉀意味著從1開始并旋轉(zhuǎn)pi(繞一圈的一半)到-1這是高級視圖，讓我們深入了解細(xì)節(jié)。順便說一句，如果有人試圖給你留下深刻印象ei兀=—1，向他們詢問i的i次幕。如果他們想不通，歐拉公式對他們來說仍然是一個神奇的咒語。更新：在寫作時，我認(rèn)為可能有助于更清楚地解釋這些想法：理解cos(x)+i*sin(x)等號過載。有時我們的意思是“將一件事設(shè)置為另一件事”(例如x=3),而其他人的意思是“這兩件事描述相同的概念”(例如V-1=i)o歐拉公式是后者：它給出了兩個公式來解釋如何做圓周運(yùn)動。如果我們使用三角函數(shù)檢查圓周運(yùn)動，并以x弧度移動：?sin(x)是y坐標(biāo)(垂直距離)該聲明cos(x)+isin(x)是一種將x和y坐標(biāo)粉碎成單個數(shù)字的巧妙方法。類比“復(fù)數(shù)是二維的”幫助我們將單個復(fù)數(shù)解釋為圓上的位置。當(dāng)我們將x設(shè)置為n，我們在旅行n單位圓外的單位。因?yàn)榭傊荛L是2n,老樣子n已經(jīng)過了一半，讓我們處于-1。Neato：歐拉公式的右邊(cos(x)+isin(x))用虛數(shù)描述圓周運(yùn)動。現(xiàn)在讓我們弄清楚等式的e邊是如何完成它的。什么是想象增長？將x和y坐標(biāo)組合成一個復(fù)數(shù)很棘手，但很容易管理。但是虛指數(shù)是什么意思呢？讓我們退后一步。當(dāng)我看見，我是這樣想的：3是以In⑶的速率即時增長（使用e）的最終結(jié)果。換句話說3二e呻）：34與增長到3相同，但隨后增長了4倍。所以34=e噸）?4二81您可以將數(shù)字視為必須“成長”的東西，而不是單獨(dú)看到數(shù)字。實(shí)數(shù)，如3，給出的利率為In（3）=1.1，這就是e在它進(jìn)行時“收集”的，并且不斷增長。定期增長很簡單：它不斷“推動”一個數(shù)字朝著它原來的方向前進(jìn)。3X3向原始方向推動，使其大3倍（9）。想象的增長不一樣：我們賺的“利息”方向不同！它就像一個被綁在側(cè)面的噴氣發(fā)動機(jī)——我們不是向前推進(jìn)，而是開始以90度角推進(jìn)。恒定正交（垂直）推動的巧妙之處在于它不會使您加速或減慢您的速度——它會旋轉(zhuǎn)您！取任何數(shù)字并乘以i不會改變它的大小，只會改變它指向的方向。直覺上，我是這樣看待連續(xù)的假想增長率的：“當(dāng)我成長時，不要在我已經(jīng)前進(jìn)的方向上推動我前進(jìn)或后退。而是旋轉(zhuǎn)我?！钡俏覀儾粦?yīng)該越來越快地旋轉(zhuǎn)嗎？我也想知道。常規(guī)增長復(fù)合我們原來的方向，所以我們?nèi)?、2、4、8、16，每次乘以2倍并保持實(shí)數(shù)。我們可以考慮這個em(2)x，這意味著在“x”秒內(nèi)以ln(2)的速度立即增長。嘿——如果我們的增長率是兩倍快，2ln(2)vsln(2)，它看起來就像增長了兩倍(2xvsx)。e的魔力讓我們交換速率和時間；ln(2)處的2秒與2ln(2)處的1秒增長相同?，F(xiàn)在，假設(shè)我們有一些純虛構(gòu)的增長率(Ri)，它會旋轉(zhuǎn)我們直到達(dá)到i,或向上90度。如果我們將這個比率加倍到2Ri會發(fā)生什么，我們會脫離這個圓圈嗎？不！具有2Ri的速率意味著我們只是以兩倍的速度旋轉(zhuǎn)，或者以R的速率旋轉(zhuǎn)兩倍的時間但我們?nèi)酝Ａ粼趫A圈上。旋轉(zhuǎn)兩倍的時間意味著我們現(xiàn)在面對180度。一旦我們意識到某種指數(shù)增長率可以將我們從1帶到i,那么增加該增長率只會使我們旋轉(zhuǎn)得更多。我們永遠(yuǎn)也逃不出這個圈子。然而，如果我們的增長率是復(fù)數(shù)(a+bivsRi)，那么實(shí)部⑻會像往常一樣增長，而虛部(bi)會旋轉(zhuǎn)我們。但我們不要幻想：歐拉公式，eix,是關(guān)于讓我們留在圈子里的純粹想象的增長(稍后會詳細(xì)介紹)。快速健全性檢查在寫作的過程中，我不得不為自己澄清幾個問題：為什么使用ex，我們不是在旋轉(zhuǎn)數(shù)字1嗎？e表示從1開始并在1個單位時間內(nèi)以100%的利率持續(xù)增長的過程。當(dāng)我們寫e時，我們用一個數(shù)字來捕捉整個過程一一e代表了持續(xù)增長的所有完整細(xì)節(jié)。所以真的，ex是說“從1開始，并在x秒內(nèi)以100%的速度持續(xù)增長”，然后像我們想要的那樣從1開始。但是作為指數(shù)的i是做什么的？對于像這樣的常規(guī)指數(shù)34我們問：什么是隱含增長率？我們從1增長到3(指數(shù)的底數(shù))。我們?nèi)绾胃淖冞@種增長率？我們將其縮放4倍(指數(shù)的幕)。我們可以將我們的增長轉(zhuǎn)換為“e”格式：我們的瞬時增長率是ln(3)，我們將其增加到ln(3)4。同樣，指數(shù)(4)的幕只是縮放了我們的增長率。

34=eln(3)?4=(eln(3))4當(dāng)最高指數(shù)為i時(如3i),我們只需將隱含增長率乘以io因此，我們不是以普通的In⑶增長，而是以ln(3)*i增長。3i=eln(3)?i=(eln(3))i指數(shù)的頂部修改了底部的隱含增長率。詳細(xì)信息讓我們仔細(xì)看看。記住e的這個定義:e=ee=eioo%=lim(1+ns1oo%那代表我們在每個微觀時期賺取的部分利息。我們假設(shè)實(shí)際維度上的利率是100%――但是如果它在虛方向上是100%呢？eioo%?ieioo%?i=lim(1+ns1oo%?i現(xiàn)在，我們新形成的興趣增加了我們在90度方向上的興趣。令人驚訝的是，這并沒有改變我們的長度一一這是一個棘手的概念，因?yàn)樗坪鯓?gòu)成了一個斜邊必須更大的三角形。我們正在處理一個限制，額外的距離在我們指定的誤差范圍內(nèi)。這是我想改天解決的問題，但請相信我的話：持續(xù)的垂直增長會讓你旋轉(zhuǎn)。這是正弦和余弦的核心，你的變化垂直于你當(dāng)前的位置，你在一個圓圈中移動。我們以無限小的增量應(yīng)用i個增長單位，每個單位都以90度角推動我們。沒有“越來越快”的旋轉(zhuǎn)——相反，我們沿著圓周爬行了|i|的距離。=1(i的大小)。嘿-繞圓爬行的距離是以弧度為單位的角度！我們找到了另一種描述圓周運(yùn)動的方法！獲得圓周運(yùn)動：通過以90度角(又名假想增長率)旋轉(zhuǎn)來不斷變化。所以，歐拉的公式是說“指數(shù)的，想象的增長描繪出一個圓圈”。這條路徑與在虛平面中使用正弦和余弦在圓中移動是一樣的。在這種情況下，“指數(shù)”這個詞令人困惑，因?yàn)槲覀円院愣ǖ乃俣壤@圓運(yùn)動。在大多數(shù)討論中，假設(shè)指數(shù)增長具有累積的復(fù)合效應(yīng)。一些例子你不會真的相信我吧？這里有幾個例子，以及如何直觀地思考它們。例子：eix在哪里？啊，它只是1。直觀地，不用計算器，我們知道這意味著“沿單位圓走1弧度”。在我的腦海中，我看到“e”試圖在同一個方向上以100%的速度增長1,但我一直在移動球并迫使“1”沿著圓的邊緣增長：ei=cos(1)+isin(1)=.5403+.8415i不是最漂亮的數(shù)字，但確實(shí)如此。請記住在輸入時將計算器置于弧度模式。例子：3i這很棘手——它不是我們的標(biāo)準(zhǔn)格式。但要記住，3i=1?3i我們希望在周期結(jié)束時初始增長3倍，或ln(3)的瞬時速率。但是，i出現(xiàn)并將ln(3)的比率更改為"i*ln(3)"：3i=(eln(3))i=eln(3)?i我們認(rèn)為我們將以ln(3)的常規(guī)速率進(jìn)行轉(zhuǎn)換，比100%連續(xù)增長快一點(diǎn)，因?yàn)閑約為2.718。但是哦，不，我讓我們轉(zhuǎn)了一圈：現(xiàn)在我們正在以想象的速度轉(zhuǎn)變，這意味著我們只是在旋轉(zhuǎn)。如果我是一個像4這樣的普通數(shù)字，它會讓我們的增長速度提高4倍?，F(xiàn)在我們以ln(3)的速度增長，但橫向增長。我們應(yīng)該期待單位圓上的復(fù)數(shù)——增長率不會增加我們的規(guī)模。求解方程：3i=eln(3)?i=cos(ln(3))+isin(ln(3))=.4548+.8906i所以，而不是在圓圈周圍結(jié)束“1”個單位(比如)我們最終得到ln(3)個單位。例子：ii幾個月前，這會讓我淚流滿面。今天不行！讓我們分解一下轉(zhuǎn)換：ii=1ii我們從1開始，想改變它。喜歡解決3i，以i為基數(shù)表示的瞬時增長率是多少？嗯。通常我們會做ln(x)來獲得在1個單位時間結(jié)束時達(dá)到x所需的增長率。但是對于虛率？我們需要解決這個問題。為了從1開始并增長到i,我們需要從一開始就開始旋轉(zhuǎn)。多快？好吧，我們需要在1個單位時間內(nèi)獲得90度(pi/2弧度)。所以我們的匯率是.請記住，我們的速率必須是虛構(gòu)的，因?yàn)槲覀兪窃谛D(zhuǎn)，而不是在增長！樸素的老pi/2約為1.57并導(dǎo)致正常增長。這應(yīng)該是有道理的：要在1個單位結(jié)束時將1.0變?yōu)閕,我們應(yīng)該旋轉(zhuǎn)pi/2在那段時間內(nèi)?兀的弧度(90度)。所以，為了得到“i”，我們可以使用e2.?注i=e2呼。這將i描述為基礎(chǔ)。指數(shù)呢？好吧，另一個我告訴我們改變我們的費(fèi)率——是的，我們花了很長時間才弄清楚這個費(fèi)率！所以，而不是以速度旋轉(zhuǎn)，這就是i的基數(shù)的意思，我們將比率轉(zhuǎn)換為：兀 兀 兀i?i= ?—i=——2 2 2i取消并再次使增長率變?yōu)檎鎸?shí)！我們輪換了利率并將自己推向負(fù)數(shù)。負(fù)增長率意味著我們正在萎縮——我們應(yīng)該期待使事情變小。它確實(shí)：ii=e~2?.2多田！(在百度上搜索“Si”以使用其計算器)喘口氣：您可以直觀地弄清楚虛底和虛指數(shù)應(yīng)該如何表現(xiàn)。哇。兀作為獎勵，你想出了ln(i)--使ex變成i,讓e旋轉(zhuǎn)弧度。2例子：(Si)"雙虛指數(shù)？如果你堅持。首先，我們知道括號內(nèi)的增長率是多少：兀. 兀ii=(e2)i=e~i我們得到-pi/2的負(fù)(收縮)增長率。現(xiàn)在我們再次通過i修改該速率：兀. 兀.(ii)i=(e2)i=e2l?，F(xiàn)在我們有了一個負(fù)輪換！我們以1倍的速度繞圈~2每單位時間。我們?nèi)ザ嗑?？嗯，在這個指數(shù)鏈的最頂端有一個隱含的“1”時間單位；隱含的默認(rèn)值是使用1個時間單位(就e=ei像 )。1個時間單位給我們一個旋轉(zhuǎn)-n/2弧度(-90度)或-i!(ii)i=—i而且，只是為了踢球，如果我們把這個瘋狂的結(jié)果平方：((ii)i)2=—1它“只是”旋轉(zhuǎn)了兩倍：2是一個常規(guī)數(shù)字，因此在單位時間內(nèi)將我們的旋轉(zhuǎn)速率翻倍至-180度?；蛘?，您可以將其視為連續(xù)兩次應(yīng)用-90度旋轉(zhuǎn)。乍一看，這些是非常奇怪的指數(shù)。但是通過我們的類比，我們可以從容應(yīng)對。復(fù)雜的增長我們可以同時擁有實(shí)數(shù)和虛數(shù)的增長：實(shí)數(shù)部分讓我們放大，而虛數(shù)部分讓我們旋轉(zhuǎn)biImReal&ImaginaryGrowth1,0(initidlvalue)RealGrowth(Scaling}ImaigrnaryGrowth(RoUtion)k biImReal&ImaginaryGrowth1,0(initidlvalue)RealGrowth(Scaling}ImaigrnaryGrowth(RoUtion)k 已ia+biJScahng&RotationCombined像(a+bi)這樣的復(fù)雜增長率是真實(shí)增長率和虛構(gòu)增長率的混合。實(shí)部a表示“以100%的速度增長a秒”，虛部b表示“旋轉(zhuǎn)b秒”請記住，旋轉(zhuǎn)不會獲得復(fù)合的好處，因?yàn)槟恢痹诓煌姆较颉巴苿印薄D(zhuǎn)會線性增加。ebi考慮到這一點(diǎn)，我們可以使用(a+bi)表示任何大小圓上的任何點(diǎn)！半徑為角度由下式確定ebi.這就像將數(shù)字放入expand-o-tron兩個循環(huán)：一次將其增長到正確的大小(a秒)，另一次將其旋轉(zhuǎn)到正確的角度(b秒)?；蛘撸梢韵刃D(zhuǎn)它，然后再成長!假設(shè)我們想知道達(dá)到6+8i的增長量。這實(shí)際上是在求一個虛數(shù)的自然對數(shù)：我們?nèi)绾卧黾觘以獲得(6+8i)？半徑：我們需要多大的圓？嗯，幅度是W十82=”100=10.這意味著我們需要增長ln(10)=2.3秒才能達(dá)到這個數(shù)量。旋轉(zhuǎn)量：那個點(diǎn)的角度是多少？我們可以使用arctan來計算：atan(8/6)=53度=.93弧度。合并結(jié)果：ln(6+8i)=2.3+.93i也就是說，如果我們使用，我們可以到達(dá)隨機(jī)點(diǎn)(6+8i)e2'3+'93i為什么這很有用？歐拉公式為我們提供了另一種描述圓周運(yùn)動的方法。但是我們已經(jīng)可以用正弦和余弦來做到這一點(diǎn)——有什么特別的？這都是關(guān)于視角的。正弦和余弦根據(jù)網(wǎng)格描述運(yùn)動，繪制出水平和垂直坐標(biāo)。TwoPaths,SameResult+isin(KTwoPaths,SameResult+isin(K)i