四川省涼山州安寧河聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含解析

安寧河聯(lián)盟2023～2024學(xué)年度上期高中2022級(jí)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)考試時(shí)間共120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.2.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)為1，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.1 B.3 C.4 D.93.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.4.一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張?zhí)柡?，從中隨機(jī)地選取兩張?zhí)柡?，事件“取到?biāo)號(hào)為1和3的號(hào)簽”，事件“兩張?zhí)柡灅?biāo)號(hào)之和為5”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與互斥 B.與獨(dú)立 C.與對(duì)立 D.5.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.6 B.8 C.10 D.166.某學(xué)校高一高二年級(jí)共1000人，其中高一年級(jí)400人，現(xiàn)按照年級(jí)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣調(diào)查學(xué)生身高，得到高一、高二兩個(gè)年級(jí)的樣本平均數(shù)分別為，和樣本方差分別為3，4，則總體方差（）A.18.5 B.19.2 C.19.4 D.207.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，，，則橢圓的離心率為（）A B. C. D.8.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為4，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B.這10年糧食年產(chǎn)量第65百分位數(shù)為33C.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差10.以下四個(gè)命題正確的是（）A.雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)不同B.，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓上存在點(diǎn)滿足C.曲線漸近線方程為D.曲線，“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的充要條件11.已知直線和圓相交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.的最小值為C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則12.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點(diǎn)滿足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為B.當(dāng)時(shí)，三棱雉的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線，，當(dāng)直線與垂直時(shí)，________.14.甲乙兩人參加一場(chǎng)比賽，假設(shè)甲乙獲勝的概率分別為，，則兩人中至少有一人獲勝的概率為_(kāi)_______.15.點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．16.已知是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，垂足為，點(diǎn)滿足.若點(diǎn)，，則的取值范圍是________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求直線的方程.（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.18.2023年中國(guó)田協(xié)召開(kāi)了2023路跑工作會(huì)議，會(huì)議對(duì)《2022年中國(guó)田徑協(xié)會(huì)路跑管理文件匯編》進(jìn)行了修訂.新版在年齡組別上調(diào)整為8個(gè)：34歲以下組、35-39歲組、40-44歲組、45-49歲組、50-54歲組、55-59歲組、60-64歲組、65歲以上組.現(xiàn)抽取了1000名年齡在35-64歲的參賽人員，得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如下：（1）求圖中的值，并估計(jì)這1000人年齡的中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從年齡在內(nèi)的人數(shù)中抽取一個(gè)容量為5的樣本，再?gòu)臉颖局腥我獬槿?人，求這兩人中至少一人的年齡在中的概率.19.將長(zhǎng)方體沿截面截去一個(gè)三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.如圖，已知圓，點(diǎn).（1）求圓心在直線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相外切的圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且圓弧恰為圓周長(zhǎng)的，求直線的方程.21.過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使該弦被點(diǎn)平分.（1）求該弦所在的直線方程；（2）求該弦的弦長(zhǎng).22.已知橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，異于點(diǎn)），當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，.（1）求橢圓C的方程；（2）求面積的取值范圍.安寧河聯(lián)盟2023～2024學(xué)年度上期高中2022級(jí)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)考試時(shí)間共120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)在坐標(biāo)平面的投影確定點(diǎn)坐標(biāo)再表示向量即可.【詳解】根據(jù)題意點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，所以.故選：C.2.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.1 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)得到平均數(shù)為.【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，記數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，故數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選：C.3.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀，利用待定系數(shù)法即可求得軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dòng)點(diǎn)滿足，由雙曲線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.4.一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張?zhí)柡灒瑥闹须S機(jī)地選取兩張?zhí)柡?，事件“取到?biāo)號(hào)為1和3的號(hào)簽”，事件“兩張?zhí)柡灅?biāo)號(hào)之和為5”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與互斥 B.與獨(dú)立 C.與對(duì)立 D.【答案】A【解析】【分析】由互斥事件，對(duì)立事件，獨(dú)立事件的定義判斷ABC選項(xiàng)，古典概型計(jì)算概率判斷選項(xiàng)D.【詳解】根據(jù)題意，選取兩張?zhí)柡炗帽硎疽淮螌?shí)驗(yàn)結(jié)果，則隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的樣本空間，，.對(duì)A，，所以與互斥，故A選項(xiàng)正確；對(duì)B，，，，所以，與不獨(dú)立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C，，，所以與不對(duì)立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.5.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.6 B.8 C.10 D.16【答案】D【解析】【分析】利用橢圓定義直接求出的周長(zhǎng).【詳解】橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以的周長(zhǎng)為.故選：D6.某學(xué)校高一高二年級(jí)共1000人，其中高一年級(jí)400人，現(xiàn)按照年級(jí)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣調(diào)查學(xué)生身高，得到高一、高二兩個(gè)年級(jí)的樣本平均數(shù)分別為，和樣本方差分別為3，4，則總體方差（）A.18.5 B.19.2 C.19.4 D.20【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的方差公式計(jì)算即可得.【詳解】總體樣本平均數(shù)，.故選：B.7.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求出c值，利用勾股定理即可求得的值，結(jié)合橢圓定義求出a，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓的幾何性質(zhì)，可知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，所以：，即得，而，解得：，所以：，故，所以：，故選：A.8.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為4，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由面面平行的性質(zhì)得到，又，故，分別為，的中點(diǎn)，有等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)槠矫媾c平面平行，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，由面面平行的性質(zhì)可得，又，故此時(shí)，分別為，的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，，即.其中，，，，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，，故，，所以.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B.這10年糧食年產(chǎn)量的第65百分位數(shù)為33C.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差【答案】ABC【解析】【分析】ABC選項(xiàng)，由極差，百分位數(shù)和中位數(shù)的定義求出答案；D選項(xiàng)，根據(jù)圖形及方差的意義得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10年的糧食年產(chǎn)量極差為，故A正確；B選項(xiàng)，，結(jié)合A選項(xiàng)可知第65百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)33，故B正確；C選項(xiàng)，從小到大，選取第5個(gè)和第6個(gè)的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，這10年的糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為，故C正確；D選項(xiàng)，結(jié)合圖形可知，前5年的糧食年產(chǎn)量的波動(dòng)小于后5年的糧食產(chǎn)量波動(dòng)，所以前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年的糧食年產(chǎn)量的方差，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.以下四個(gè)命題正確的是（）A.雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)不同B.，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓上存在點(diǎn)滿足C.曲線的漸近線方程為D.曲線，“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的充要條件【答案】CD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出雙曲線和橢圓方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或即可，根據(jù)橢圓上點(diǎn)的有界性判斷B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線漸近線方程公式求出答案；D選項(xiàng)，根據(jù)焦點(diǎn)所在位置得到不等式，求出，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，雙曲線，即，焦點(diǎn)在軸上，由于，故其焦點(diǎn)為，，而橢圓，焦點(diǎn)在軸上，且，故焦點(diǎn)為，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，橢圓，則，，即，所以，，則，要使，則，即，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或即可，而橢圓上的點(diǎn)縱坐標(biāo)取值范圍為，則不存在點(diǎn)滿足，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，故C正確；D選項(xiàng)，曲線，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故D正確.故選：CD.11.已知直線和圓相交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.的最小值為C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，直線變形后求出定點(diǎn)坐標(biāo)；B選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，最小，由垂徑定理求出的最小值；C選項(xiàng)，表達(dá)出，求出最小值；D選項(xiàng)，由題可得圓心到直線的距離，從而求出.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)題意變形為，故直線過(guò)定點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，由題意可知，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)最小，其中，此時(shí)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的圓心為，半徑，，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最小值為，C正確；D選項(xiàng)，，因?yàn)閳A上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，所以圓心到直線的距離，即，解得，D錯(cuò)誤；故選：AC.12.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點(diǎn)滿足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為B.當(dāng)時(shí)，三棱雉的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得【答案】ABC【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，證得，結(jié)合，可判定A正確；當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)，可判定B正確；設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，，求得，可判定C正確；當(dāng)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，得到點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，證得；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，可判定D錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則此時(shí)面積取得最大值，，由于直三棱柱，則，為等腰直角三角形，則，又由，面，則面，因?yàn)槊?，所以，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，則，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則，由于點(diǎn)到平面的距離為定值，點(diǎn)到線段的距離恒為，則，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?，，所以?dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，因?yàn)?，平面，則面，又因?yàn)槊?，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，面，即面，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等問(wèn)題；2、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；3、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線，，當(dāng)直線與垂直時(shí)，________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由兩條直線的位置關(guān)系，列出方程，即可求解；【詳解】由直線，，因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得.故答案為：.14.甲乙兩人參加一場(chǎng)比賽，假設(shè)甲乙獲勝的概率分別為，，則兩人中至少有一人獲勝的概率為_(kāi)_______.【答案】##0.625【解析】【分析】先求出兩人均沒(méi)有獲勝的概率，再利用對(duì)立事件求概率公式求出答案.【詳解】?jī)扇司鶝](méi)有獲勝的概率為故兩人中至少有一人獲勝的概率為.故答案為：.15.點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)(3,4)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)垂直和中點(diǎn)列方程組可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)（3，4）關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：16.已知是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，垂足為，點(diǎn)滿足.若點(diǎn)，，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意先求出點(diǎn)的軌跡方程，得知它的軌跡為以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的橢圓，由橢圓的定義可將化簡(jiǎn)為，結(jié)合焦半徑的范圍即可得解.【詳解】由題意設(shè)，所以，因?yàn)?，所?將點(diǎn)帶入圓，則點(diǎn)滿足橢圓的方程.所以，又，即，當(dāng)時(shí)，最大，最小且為；當(dāng)或時(shí)，最小，最大且為，即，即，所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合橢圓定義化簡(jiǎn)表達(dá)式即可進(jìn)一步得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求直線的方程.（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線斜率，由點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）直線變形后求出定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而由點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】由題可得，，則，，∴直線的斜率，且直線過(guò)點(diǎn)，∴由直線的點(diǎn)斜式方程得，即，∴所求直線的方程為；【小問(wèn)2詳解】∵直線化簡(jiǎn)得：，∴定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，∴到直線的距離為.18.2023年中國(guó)田協(xié)召開(kāi)了2023路跑工作會(huì)議，會(huì)議對(duì)《2022年中國(guó)田徑協(xié)會(huì)路跑管理文件匯編》進(jìn)行了修訂.新版在年齡組別上調(diào)整為8個(gè)：34歲以下組、35-39歲組、40-44歲組、45-49歲組、50-54歲組、55-59歲組、60-64歲組、65歲以上組.現(xiàn)抽取了1000名年齡在35-64歲的參賽人員，得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如下：（1）求圖中的值，并估計(jì)這1000人年齡的中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從年齡在內(nèi)的人數(shù)中抽取一個(gè)容量為5的樣本，再?gòu)臉颖局腥我獬槿?人，求這兩人中至少一人的年齡在中的概率.【答案】（1），中位數(shù)為46.5（2）【解析】【分析】（1）由概率之和為1計(jì)算即可得，借助中位數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得中位數(shù)；（2）由分層抽樣可確定兩組的具體人數(shù)，再計(jì)算概率即可得.【小問(wèn)1詳解】由題可得，∴，∵的頻率為，的頻率為，∴中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則，∴，即中位數(shù)為46.5.【小問(wèn)2詳解】∵的頻率為，的頻率為，∴這兩組的頻率之比為，∴抽取的人數(shù)為：（人），記為，，，抽取的人數(shù)為：（人），記為，，則5人中抽取2人的基本事件包含：、，共10種，其中至少1人在的基本事件包含：，共有7種.∴這兩人中至少1人的年齡在中的概率為.19.將長(zhǎng)方體沿截面截去一個(gè)三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】(1)作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到線線平行，得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，從而得到線面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】連接，如圖所示，∵長(zhǎng)方形中，，分別是，的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，又∵長(zhǎng)方體中且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.又∵平面，平面，∴平面【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，以點(diǎn)為垂足，垂直于平面直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，，即，設(shè)為直線與平面所成角，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.如圖，已知圓，點(diǎn).（1）求圓心在直線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相外切的圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且圓弧恰為圓周長(zhǎng)的，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到圓的圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，結(jié)合,列出方程，求得解得，進(jìn)而得到圓的方程；（2）根據(jù)題意，得到點(diǎn)到直線的距離為，分直線的斜率不存在和直線的斜率存在，兩種情況，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，求得的值，進(jìn)而求得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：由，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得所以圓的圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A的圓心在直線上，所以當(dāng)兩圓外切時(shí)，切點(diǎn)為，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)樵趫A上，可得，則有解得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)閳A弧恰為圓周長(zhǎng)的，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到軸的距離為，直線即為軸，此時(shí)直線的方程為.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方