《點(diǎn)到直線的距離公式》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式》教案

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)

課主要學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的距離公式。

在前面已經(jīng)研究了兩點(diǎn)間的距離公式、直線方程、兩直線的位置關(guān)系，同時(shí)也介紹了“以

數(shù)論形，以形輔數(shù)”的數(shù)學(xué)思想方法.“點(diǎn)到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，

過渡到了解析幾何的定量計(jì)算；《點(diǎn)到直線的距離》的研究，又為以后直線與圓的位置關(guān)系

和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用.

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.會(huì)用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.L數(shù)學(xué)抽象：點(diǎn)到直線的距離公式

B.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,能應(yīng)用點(diǎn)到直線2.邏輯推理：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)

距離公式解決有關(guān)距離問題.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用

C.通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過4.直觀想象：幾何中的距離問題

程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)

思想方法解決問題的能力

【教學(xué)重點(diǎn)】：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析；點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)不同方法的思路分析.

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長(zhǎng)度最短?線距離的問題情境,

二、探究新知引出在坐標(biāo)系下探

思考：最容易想到的方法是什么？究點(diǎn)到直線距離公

思路①.定義法，其步驟為：①求/的垂線/的方程；②解方式的問題，幫助學(xué)生

PQ

學(xué)會(huì)聯(lián)系舊知，制定

程組；③得交點(diǎn)Q的坐標(biāo)：④求IP的長(zhǎng)

解決問題的策略，最

V\1尸心，必)

終探索出點(diǎn)到直線

的距蜀公式，讓學(xué)生

hAx+By+C=C感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研

反思：這種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？

究幾何問題的方法。

我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具。能否用向量

方法求點(diǎn)到直線的距離？

如圖，點(diǎn)P到直線1的距離，就是向量麗的模，設(shè)M(x,y)是直線1

上的任意一點(diǎn)，n是與直線/的方向向量垂直的單位向量，則而是

所在上n的投影向量，\PQ\=\PM-n\.

思考：如何利用直線］的方程得到與的方向向量垂直的單位向量n?

y，

「如0y)J

n\~/不(xj)

圖2.3-6

設(shè)「式工1，%)，。2々2，丫2)直線4%+By+C=0上的任意兩點(diǎn)，則

P1P；=(%2一%1，丫2-％)是直線1的方向向量。把+Byi+C=

0,AX2+By2+6=0兩式相減，得4(%2—%i)+一丫1)=

0,由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可知，向量(A,B)與向量(&一與,：/2-

y,垂直，向量？==(4B)就是與直線的方向向量垂直的一個(gè)單位

通過不同方法推導(dǎo)

向量的單位向量，我們?nèi)　?4B),點(diǎn)到直線的距離公

式，體會(huì)算法的多樣

從而PM-n-(xx0,yy0)五耳(A,B)-(Ax+By

性，同時(shí)比較不同推

依一Byo)

導(dǎo)方法，比較算法的

因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在直線1上所以4%+By+C=0代入上式，

優(yōu)劣，優(yōu)化思維品

得麗-（一而。-By0-C）

質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)

因此國(guó)|=|兩湍。

算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

思考：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求

建模的核心素養(yǎng)。

兩點(diǎn)間的距離，通過代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用

向量投影，通過向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，除了上述兩種方法,

你還有其他推導(dǎo)方法嗎？

1.點(diǎn)到直線的距離

（1）定義:平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離,等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂

線段的長(zhǎng)度.

⑵圖示：

(3)公式:djAxo+Byo+￡

VA2+B2

點(diǎn)睛：（1）運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他在典例分析和練習(xí)

形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.中熟悉公式的基本

（2）當(dāng)點(diǎn)。在直線/上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.結(jié)構(gòu)，并體會(huì)點(diǎn)到直

0

線距離公式的初步

1.判斷對(duì)錯(cuò)：點(diǎn)尸（的外）到直線產(chǎn)改班的距離為增警.（）

vl+k2

應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯

答案：X

推理，直觀想象、數(shù)

2.點(diǎn)（1,-1）到直線x-y+lR的距離是（）

學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算

答案:c的核心素養(yǎng)。

解析：由點(diǎn)到直線的距離公式可得1?魯+1=平.

V22

3.你能說出代數(shù)式烏產(chǎn)義的幾何意義嗎？

提示:該代數(shù)式可表示平面內(nèi)點(diǎn)(a,。)到直線遮x+y+lR的距離.

三、典例解析

例1、求點(diǎn)尸(3,-2)到下列直線的距離：

31

(l)y=]x+w：(2)y=6；(3)x—4.

31

[解]⑴直線尸產(chǎn)+；化為一般式為3x—4y+l=0,由點(diǎn)到直線的

距離公式可得

,,,|3義3—4><(-2)+1|18

卷+(-45-

(2)因?yàn)橹本€尸6與y軸垂直，所以點(diǎn)。到它的距離d=|-2—61=

8.

(3)因?yàn)橹本€x=4與x軸垂直，所以點(diǎn)。到它的距離d=|3—4]=1.

應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題

(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式.

(2)點(diǎn)一在直線/上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0,公式仍然適用.

(3)直線方程力x+國(guó)r+C=0中，4=0或6=0公式也成立，但由于直

線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解.

跟蹤訓(xùn)練1已知直線/經(jīng)過點(diǎn)-1,2),且力(2,3),6(F,5)兩點(diǎn)到直

線1的距離相等，

求直線/的方程.

解：(方法一)當(dāng)過點(diǎn)M-1,2)的直線1的斜率不存在時(shí),直線1的方程

為x=T,

恰好4(2,3),6(/,5)兩點(diǎn)到直線1的距離相等，

故x=T滿足題意；

當(dāng)過點(diǎn)M-1,2)的直線1的斜率存在時(shí)，

設(shè)1的方程為y-2=4(/1),即kx-y+k理由,

由A(2,3)與6(%5)兩點(diǎn)到直線1的距離相等,得

即x+3y節(jié)R.

綜上所述,直線1的方程為x=T或"3廣5=0.

|2k-3+k+2I-4/C5+/C+2Agz,_1

VF萬(wàn)一后五'廨得a"3'

此時(shí)/的方程為y-2=f(x+l),

(方法二)由題意得/〃4?或1過力8的中點(diǎn).

當(dāng)/〃49時(shí),設(shè)直線48的斜率為4,

AB

即X+37-54).

當(dāng)/過4?的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),直線1的方程為x=-l.

綜上所述,直線1的方程為x=T或x+3y七a

直線1的斜率為k,,則k后k*=3,

此時(shí)直線1的方程為y-2=f(x+l),

點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求直線方程時(shí),首先考慮斜率不存在是否滿足題

延伸探究若將本題改為“已知直線J經(jīng)過點(diǎn)”(T,2),點(diǎn)

4(2,3),6(/,5)在1的同側(cè)且到該直線1的距離相等”，則所求1的

方程為__________.

解析:將本例(2)中的x=-\這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點(diǎn)在

直線/異側(cè)的情況.

答案節(jié)力

易錯(cuò)點(diǎn)一一因?qū)π甭实那闆r考慮不全面而致錯(cuò)

案例求經(jīng)過點(diǎn)P(-3,5),且與原點(diǎn)距離等于3的直線1的方程.

所以原點(diǎn)到該直線的距離介督4.

7kz+1

所以15A用力.所以k嘖

故直線1的方程為*"+3X(-自巧4),

錯(cuò)解:設(shè)所求直線方程為y巧45+3),

整理，得kx-y^k^>=Q.

錯(cuò)因分析本題出錯(cuò)的根本原因在于思維不嚴(yán)密,求直線的方程時(shí)直接

設(shè)為點(diǎn)斜式,沒有考慮斜率不存在的情況.

正解:當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線方程為y七〃（x，3）,整理,得

kx-y-t^>k-^=Q.

即8x+15yriR.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=-3也滿足題

意.故滿足題意的直線1的方程為8x+15y節(jié)1R或%-3.

所以原點(diǎn)到該直線的距離d喏等4.

Vkz+1

所以15人8=0.所以4噌

故所求直線方程為yT=*（x+3）,

點(diǎn)睛:在根據(jù)距離確定直線方程時(shí)，易忽略直線斜率不存在的情況,避

免這種錯(cuò)誤的方法是當(dāng)用點(diǎn)斜式或斜截式表示直線方程時(shí)，應(yīng)首先考

慮斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件,然后再求解.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.點(diǎn)（1,T）到直線y=l的距離是（）通過練習(xí)鞏固本節(jié)

A.V2B.—C.3D.2所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生

2

解決問題，發(fā)展學(xué)生

解析：的摟之,故選D.

V1+O的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推

答案:D

理、直觀想象、數(shù)學(xué)

2.己知點(diǎn)4（-3,⑷，夙6,3）到直線l:ax+y+l巾的距離相等,則實(shí)數(shù)a

建模的核心素養(yǎng)。

的值等于（）

A.-B.--

93

C.《或3D.q或9

9393

解析：由點(diǎn)到直線的距離公式可得「胃甘=等萼,化簡(jiǎn)得

vaz+lvaz+l

/3a+3/=/6a掰/,解得實(shí)數(shù)a==或=故選C.

93

答案:C

3.直線3Wy-27=0上到點(diǎn)P（2,1）距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)

是__________.

解析：由題意知過點(diǎn)—作直線3xMy-274的垂線，

設(shè)垂足為也則例/最小，

直線妙的方程為廣1=9(x-2),

解方程組］(廠3x1-4=y-W27「=02,),得｛(；x=53,

.?.所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,-3).

答案：(5,-3)

4.已知AABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(-l,3),B(-3,0),C(l,2),求AABC

的面積s.

【解析】由直線方程的兩點(diǎn)式得直線%的方程為上=h2,

2-01+3

即x—2y+3=0,由兩點(diǎn)間距離公式得

閡=，(-3-1)2+(0-2)2=275，

點(diǎn)A到比'的距離為d,即為應(yīng)'邊上的高，

J1—233|李,

所以?(/=-X2J5X-^=4,

225

即△力比'的面積為4.

5.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)P(0,2),且4(1,1),5(-3,1)兩點(diǎn)到直線1的距離

相等,求直線1的方程.

解：(方法一)：點(diǎn)4(1,1)與8(T,1)到y(tǒng)軸的距離不相等，.?.直線1

的斜率存在,設(shè)為k.

又直線1在y軸上的截距為2,則直線1的方程為y=kx翅,即

kx-y->2=Q.

由點(diǎn)4(1,1)與夙-3,1)到直線1的距離相等，

直線1的方程是片2或%-尸24).

得?瑞」抵卜解得行或公L

(方法二)當(dāng)直線，過線段48的中點(diǎn)時(shí),A,8兩點(diǎn)到直線/的距離相等.

?.18的中點(diǎn)是(T,1),又直線/過點(diǎn)尸(0,2),

???直線1的方程是X-戶20.

當(dāng)直線6兩點(diǎn)到直線1的距離相等.

?.?直線4?的斜率為0,...直線1的斜率為0,

???直線/的方程為

綜上所述,滿足條件的直線1的方程是x-y^或yt.

四、小結(jié)

1.點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值，利用點(diǎn)到通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)

直線的距離公式，解題時(shí)要注意把直線方程化為一般式.一步鞏固本節(jié)所學(xué)

2.利用點(diǎn)到直線的距離公式可求直線的方程，有時(shí)需結(jié)合圖形，數(shù)形內(nèi)容，提高概括能

結(jié)合，使問題更清晰.力。

【教學(xué)反思】

點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，注意利用解析法推導(dǎo)公式時(shí)，由于字母較多，用運(yùn)算量大，在具

體的運(yùn)算過程中學(xué)生容易產(chǎn)生畏難情緒，半途而廢；采取課前預(yù)習(xí)，小組討論，學(xué)生展示等

手段加以突破.對(duì)于幾何法中的構(gòu)造直角三角形學(xué)生感到比較困難；采取利用復(fù)習(xí)兩點(diǎn)間距

離公式的推導(dǎo)復(fù)習(xí)，利用類比教學(xué)法加以突破;對(duì)于幾向量法學(xué)生不容易想到,采取啟導(dǎo)法，

小組討論法，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“設(shè)點(diǎn)不求點(diǎn)”的解題思路.

《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問題.

3.通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思

想方法解決問題的能力

【重點(diǎn)和難點(diǎn)】

重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析；點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用.

難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)不同方法的思路分析.

【知識(shí)梳理】

一、自主導(dǎo)學(xué)

1.點(diǎn)到直線的距離

（1）定義:平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離，等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂線段的長(zhǎng)度.

⑵圖示：

⑶公式:H湍誓

點(diǎn)睛：（1）運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再

用公式.

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在直線，上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.

0

二、小試牛刀

1.判斷對(duì)錯(cuò)：點(diǎn)尸（劉，㈤到直線產(chǎn)"X場(chǎng)的距離為增善.（）

Vl+kz

2.點(diǎn)（1,-1）到直線x-y+\力的距離是（）

A.iBYC.越D.W

2222

3.你能說出代數(shù)式烏手工的兒何意義嗎？

【學(xué)習(xí)過程】

一、情境導(dǎo)學(xué)

在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)

一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長(zhǎng)度最短？

思考1:最容易想到的方法是什么？

反思：這種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？

我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具。能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？

如圖，點(diǎn)P到直線1的距離，就是向量麗的模，設(shè)M(x,y)是直線/上的任意一點(diǎn)，n是與

直線I的方向向量垂直的單位向量，則而是所在上n的投影向量，|所用兩?n|。

思考2：如何利用直線1的方程得到與的方向向量垂直的單位向量"？

圖2.3-6

思考3：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，通過

代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡(jiǎn)化了

運(yùn)算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？

二、典例解析

例1、求點(diǎn)。(3,—2)到下列直線的距離:

31

(1)尸(2)y=6；(3)x=4.

應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題

(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式.

(2)點(diǎn)尸在直線,上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0,公式仍然適用.

(3)直線方程4x+取+。=0中，4=0或B=Q公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)

軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解.

跟蹤訓(xùn)練1己知直線/經(jīng)過點(diǎn)M-1,2),且4(2,3),8(，5)兩點(diǎn)到直線1的距離相等，

求直線1的方程.

點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求直線方程時(shí),首先考慮斜率不存在是否滿足題意.

延伸探究若將本題改為“已知直線，經(jīng)過點(diǎn)材(T,2),點(diǎn)4(2,3),次/,5)在/的同側(cè)且到該

直線1的距離相等”，則所求1的方程為.

易錯(cuò)點(diǎn)一一因?qū)π甭实那闆r考慮不全面而致錯(cuò)

案例求經(jīng)過點(diǎn)尸(-3,5),且與原點(diǎn)距離等于3的直線1的方程.

點(diǎn)睛:在根據(jù)距離確定直線方程時(shí).，易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯(cuò)誤的方法是當(dāng)

用點(diǎn)斜式或斜截式表示直線方程時(shí),應(yīng)首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件，然后

再求解.

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.點(diǎn)(1,-1)到直線片1的距離是()

A"C,3D.2

2.已知點(diǎn)火(-3,-4),夙6,3)到直線4的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于()

A.-B.--

93

C.J或-;D.3或:

9393

3.直線3Wy-27=0上到點(diǎn)2(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是

4.己知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(—1,3),B(-3,0),C(l,2),求△ABC的面積S.

5.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)戶(0,2),且力(1,1),6(-3,1)兩點(diǎn)到直線1的距離相等,求直線1的方程.

【課堂小結(jié)】

1.點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，解題

時(shí)要注意把直線方程化為一般式.

2.利用點(diǎn)到直線的距離公式可求直線的方程，有時(shí)需結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合，使問題更清晰.

【參考答案】

知識(shí)梳理

二、小試牛刀

1.答案：X

2.答案:C

解析：由點(diǎn)到直線的距離公式可得滬=平.

V22

3.提示:該代數(shù)式可表示平面內(nèi)點(diǎn)(a,6)到直線百x號(hào)a=0的距離.

學(xué)習(xí)過程

思考1：思路①.定義法，其步驟為：①求/的垂線/的方程②解方程組，③得交點(diǎn)

Q的坐標(biāo)④求IPQl的長(zhǎng)

思考2：設(shè)Pi(Xi，%),P2々2，及)直線］；4%+By+C=0上的任意兩點(diǎn)，則初=(右一

X1，、2-%)是直線］的方向向量。把Ax1+By1+C=0,AX2+By2+C=0兩式相減，

得力(%2—Xi)+B(、2—乃)=0，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可知，向量(4B)與向量-

Xi/2-y1)垂直，向量7=^=5(4B)就是與直線的方向向量垂直的一個(gè)單位向量的單位向

量，我們?nèi)?1=7號(hào)(AB),

從而麗?n=(x-x0,y-y0)(A,By^=(Ax+By-A&-By。)

因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在直線1上所以Ax+By+C=0代入上式,

得麗-n=^=(-Ax0-By0-C)

因此國(guó)|=|兩喘誓。

二、典例解析

31

例1、［解］(D直線尸］x+w化為一般式為3x—4y+l=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得

|3義3—4><(-2)+1|18

7―釬—二奇

(2因?yàn)橹本€y=6與y軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d=|-2—6|=8.

(3)因?yàn)橹本€x=4與x軸垂直，所以點(diǎn)尸到它的距離d=|3—4|=1.

跟蹤訓(xùn)練1解：(方法一)當(dāng)過點(diǎn)M-1,2)的直線1的斜率不存在時(shí),直線1的方程為“=-1,

恰好4(2,3),5)兩點(diǎn)到直線1的距離相等，

故x--l滿足題意；

當(dāng)過點(diǎn)M-1,2)的直線1的斜率存在時(shí)，

設(shè)1的方程為廣2=4(戶1),即kx-y+k-tQ,^),

由2(2,3)與庾5)兩點(diǎn)到直線1的距離相等,得

即X+3/-5-O.

綜上所述，直線1的方程為x=T或x+3y節(jié)R.

|2k3+/C+2_|4k5+/C+2々"夕旦/_1

，用牛伶3f

此時(shí)1的方程為y-2=f(x+l),

(方法二)由題意得1/1AB或1過45的中點(diǎn).

當(dāng)/〃4?時(shí),設(shè)直線4?的斜率為“，

AB

即x+3y-54).

當(dāng)/過4?的中點(diǎn)(T,4)時(shí),直線1的方程為x=T.

綜上所述,直線1的方程為x=T或x+3y節(jié)R.

直線1的斜率為k,,貝lj底吊等吟

此時(shí)直線1的方程為y-2=—(x+l),

延伸探究解析:將本例(2)中的x=T這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點(diǎn)在直線1異側(cè)的

情況.

答案:x+3yT=0

案例所以原點(diǎn)到該直線的距離d喏a=3.

所以15A用=0.所以k魄.

故直線/的方程為*公k3X(*)百老

錯(cuò)解:設(shè)所求直線方程為y節(jié)斗?(x+3),

整理，得kx-y+3k^=G.

錯(cuò)因分析本題出錯(cuò)的根本原因在于思維不嚴(yán)密,求直線的方程時(shí)直接設(shè)為點(diǎn)斜式,沒有考慮

斜率不存在的情況.

正解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí).，設(shè)所求直線方程為yf=k(x玲,整理,得kx-y+^k^.

即8x+15yTlK.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為也滿足題意.故滿足題意的直線1

的方程為8x+15y七1=0或x=-3.

所以原點(diǎn)到該直線的距離

所以15在用O.所以代暇

故所求直線方程為yT=*(x+3),

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

L解析：W言之，故選D.答案:D

2.解析：由點(diǎn)到直線的距離公式可得學(xué)丹=嚕歲,化簡(jiǎn)得/3a+3/=/6a掰/,

va2+lva2+l

解得實(shí)數(shù)a=3或§故選C.

答案:C

3.解析：由題意知過點(diǎn)P作直線3x"y-27R的垂線，

設(shè)垂足為現(xiàn)則/秘7最小，

直線MP的方程為廣1=E(X-2),

解方程組］(廠3x1-4=y心-27(獷=02,),得t(x=?53,

二所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,-3).

答案：⑸-3)

4.【解析】由直線方程的兩點(diǎn)式得直線比的方程為3；=：2,

2-01+3

即x—2y+3=0,由兩點(diǎn)間距離公式得

IBC\=7(-3-l)2+(0-2)2=275，

點(diǎn)A到比的距離為d,即為a'邊上的高,

1-1-2x3+314r

〃=1樂廠2

所以S=1\BC\?d=lX2有X-V5=4

225

即△?1%的面積為4.

5.解：(方法一)二?點(diǎn)4(1,1)與8(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等，.?.直線/的斜率存在,設(shè)為無

又直線,在y軸上的截距為2,則直線1的方程為尸履,2,即kx-y-.

由點(diǎn)4(1,1)與8(-3,1)到直線/的距離相等,

直線1的方程是/之或『戶2=0.

得與箸=上整包,解得k$或k=l.

Vk2+1V/cz+l

(方法二)當(dāng)直線/過線段4?的中點(diǎn)時(shí),46兩點(diǎn)到直線/的距離相等.

的中點(diǎn)是(-1,1),又直線/過點(diǎn)尸(0,2),

；?直線/的方程是“-戶24.

當(dāng)直線/〃A?時(shí),A,8兩點(diǎn)到直線1的距離相等.

,/直線46的斜率為0,??.直線1的斜率為0,

二直線/的方程為

綜上所述,滿足條件的直線1的方程是X-7+2O或y2

《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)

一、選擇題

1.原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離為()

A.1B.73C.2D.75

2.已知△胸的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(2,6)、8(—4,3)、＜7(2,一3),則點(diǎn)力到比邊的距

離為()

A.-B.C.—D.473

225

3.動(dòng)點(diǎn)P在直線x+y-4=0上，。為原點(diǎn)，則IOP|的最小值為（）

A.MB.2A/2C.V6D.2

4.過點(diǎn)（1,3）且與原點(diǎn)相距為1的直線共有（）.

A.0條B.1條C.2條D.3條

5.（多選題）已知直線/:氐―y+l=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A,直線/的傾斜角是?

6

B.若直線m:x-+1=0,則/_L根

C.點(diǎn)（百,0）到直線/的距離是2

D.過（2月,2）與直線/平行的直線方程是JIx-y-4=0

6.（多選題）已知直線/過點(diǎn)P（3,4）且與點(diǎn)A（—2,2）,3（4,-2）等距離，則直線/的方程可

以是（）

A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0

C.3x—2y+18—0D.2x—y+2=0

二、填空題

7.直線/:x=l的傾斜角為；點(diǎn)尸（2,5）到直線/的距離為.

8.若點(diǎn)（2,k）到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值為.

9.已知5c中，點(diǎn)8（4,2）,C（-4,6）.則A/WC的面積為

10.過點(diǎn)A（-1,5）且與點(diǎn)M（2,6）、N（y—2）距離相等的直線方程是

三、解答題

11.已知點(diǎn)3（1,4）、C（6,2）,點(diǎn)A在直線x-3y+3=0上，并且使A4BC的面積等于

21,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

12.己知直線1經(jīng)過直線2x+y—5=0與x—2y=0的交點(diǎn).

⑴點(diǎn)A⑸0）到1的距離為3,求1的方程;

（2）求點(diǎn)A（5,0）到1的距離的最大值.

《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析

一、選擇題

1.原點(diǎn)到直線x+2y—5=0的距離為（）

A.1B.GC.2D.

【答案】D

【解析】由點(diǎn)到直線距離可知所求距離心言匕3=6.故選:

D.

4+22

2.已知△腦的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為加2,6）、6（—4,3）、＜7（2,—3),則點(diǎn)A到6c邊的距

離為（）

9B.竽26

A.-Lr-.---D.473

25

【答案】B

y-3x+4

【解析】比邊所在直線的方程為，即x+y+l=0；則d=

-3-32+4

|2xl+6xl+l|9A/2

V22

3.動(dòng)點(diǎn)P在直線x+y-4=0上,0為原點(diǎn),則1OP的最小值為（）

A.而B.2夜C.V6D.2

【答案】B

由題|0P|的最小值即為，0點(diǎn)到直線的距離.〃=邑垠久士^=牛=2夜.

【解析】

VA2+B2V2

4.過點(diǎn)（1,3）且與原點(diǎn)相距為1的直線共有（）.

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)（1,3）的直線為x=l,原點(diǎn)到直線的距離為1,滿足題

意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為七,則直線方程為y-3=z(x-i),

|0-0+3-用4

即正—y+3—々=0,則原點(diǎn)到直線的距離d=jh+([J=1，解得攵=：，

即直線方程為4x—3y+5=O,即滿足題意的直線有2條.故選：C

5.(多選題)已知直線/:6—y+l=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線/的傾斜角是

6

B.若直線m:+1=0,則/_L

C.點(diǎn)(6,0)到直線/的距離是2

D.過(26,2)與直線/平行的直線方程是-丁-4=0

【答案】CD

【解析】對(duì)于4直線/：Gx-y+l=0的斜率4=tan9=6，故直線)的傾斜角是?，

故4錯(cuò)誤；

對(duì)于反因?yàn)橹本€加：x—Gy+l=0的斜率=@,kk'=1W-1,故直線/與直線加

|V3-V3-0+l

不垂直，故8錯(cuò)誤；對(duì)于C點(diǎn)(6,0)到直線1的距離d=2,故C正確;

對(duì)于〃過b6,2)與直線/平行的直線方程是廣2=石(了-26)，整理得:

、&-y-4=0,故。正確.綜上所述，正確的選項(xiàng)為⑦故選：CD.

6.(多選題)已知直線/過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(—2,2),8(4,-2)等距離，則直線/的方程可

以是()

A.2x+3y—18=0B.2%—y—2=()

C.3x-2y+18=0D.2x—y+2=0

【答案】AB

【解析】設(shè)所求直線的方程為＞—4=Z(x—3),即質(zhì)—y—34+4=。，由己知及點(diǎn)到直線

|一2女一2+4—3%||4攵+2+4—3女|2

的距離公式可得,解得％=2或左=——,即所求直

J1+/2\l\+k23

線方程為2x+3y-18=0或2x—y-2=（）.故選:AB.

二、填空題

7.直線/:x=l的傾斜角為；點(diǎn)尸（2,5）到直線/的距離為.

【答案】1

2

【解析】???直線軸，二直線/傾斜角為1點(diǎn)P（2,5）到直線/的距離d=2-1=1,故為:

71

7;1

8.若點(diǎn)（2,k）到直線5xT2y+6=0的距離是4,則k的值為____.

17

【答案】k=-3或一

3

12x5-12^+6117

【解析】由題得心2+（設(shè)產(chǎn)=4，解方程即得k=3或彳.

9.已知AA6c中，點(diǎn)A（l/），8（4,2）,C（T,6）.則AABC的面積為.

【答案】10

v—2x—4

【解析】由兩點(diǎn)式的直線6c的方程為金一=------,即為廣2y-8=0,由點(diǎn)力到直線的

6-2-4-4

|1+2-8|「I------------------

距離公式得比1邊上的高d=亞=75，兩點(diǎn)之間的距離為J（6—2）2+（+4）2

=4冊(cè)，

△46。的面積為gX4石X6=10.

10.過點(diǎn)A（-1,5）且與點(diǎn)M（2,6）、N（T,-2）距離相等的直線方程是.

【答案】4x—3y+19=O或X=-1

【解析】分以下兩種情況討論：①所求直線與直線MN平行，由于直線MN的斜率為

&2=富=3，目.所求直線過點(diǎn)A（T,5）,此時(shí)，所求直線的方程為y—5=±（x+l）,

即4x—3y+19=0；②所求直線過線段MN的中點(diǎn)B（-l,2）,由于所求直線過點(diǎn)A（-1,5）,

此時(shí)，所求直線的方程為x=—l.綜上所述，所求直線方程為4x—3y+19=o或x=-L

故答案為：4龍一3y+19=0或彳=一1.

三、解答題

11.已知點(diǎn)3(1,4)、C(6,2),點(diǎn)A在直線x-3y+3=0上，并且使A4BC的面積等于

21,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

【解析】點(diǎn)A在直線x—3y+3=O上，則可設(shè)點(diǎn)A(3y-3,y).

直線由兩點(diǎn)式可得又■==,得2x+5y-22=0,線段

6—12—4

\BC\=J(6-1)2+(2-4)2=曬,則點(diǎn)a到BC的距離為

”|2x(3y[3)+竺―22|」228|

—6+52V29

三角形面積

2112V29

.7014

..y=——或----

1111

,,心，…“J7770、，、/7514、

..點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一五,石)或(一丁丁一百)

12.已知直線1經(jīng)過直線2x+y—5=0與x—2y=0的交點(diǎn).

(1)點(diǎn)A(5,0)到1的距離為3,求1的方程；

⑵求點(diǎn)A(5,0)到1的距離的最大值.

【解析】解：(1)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x+y—5)+入(x-2y)=0,

即(2+、)x+(l—2X)y—5—0.

|10+5A-5|

,■j(2+1y+(i-24一工

即2A2—5入+2=0,.?.入=2或

2

1的方程為x=2或4x—3y—5=0.

2x+y-5=0

⑵由｛

x-2y=0

解得交點(diǎn)P（2,1）,如圖，過P作任一直線1,設(shè)d為點(diǎn)A至U1的距離,

則dWPA（當(dāng)1±PA時(shí)等號(hào)成立）.

|PAI=yJ10-

《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-提高練》同步練習(xí)

一、選擇題

1.點(diǎn)P（a,0）到直線3x+4y-6=0的距離大于3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.a>7B.a<-3

C.a>7或a〈-3D.a>7或-3<a<7

2.“C=5”是“點(diǎn)（2,1）到直線3x+4y+C=0的距離為3”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.點(diǎn)P（2,3）到直線：ox+（a-l）y+3=0的距離d最大時(shí)，d與。的值依次為（）

A.3,-3B.5,2

C.5,1D.7,1

4.在平面內(nèi)，與8軸、丁軸和直線x+y=2的距離都相等的點(diǎn)共有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.（多選題）下列說法中，正確的有（）

A.直線尸ax-3a+2（aS/?）必過定點(diǎn)（3,2）

B.直線尸3x-2在y軸上的截距為2

C.直線x-石尸1=0的傾斜角為30°

D.點(diǎn)（5,-3）到直線戶2=0的距離為7

6.（多選題）已知點(diǎn)A（—3,-4）,B（6,3）到直線1：ax+y+l=0的距離相等，則實(shí)數(shù)a

的值等于（）

7171

A.一B.一一C.一一D.-

9393

二、填空題

7.己知直線/：y=2x+3,則點(diǎn)M（1,O）到直線/的距離等于—；直線/關(guān)于點(diǎn)M

對(duì)稱的直線方程為.

8.點(diǎn)P（加一〃，―⑼到直線上+2=1的距離等于.

mn

9.若點(diǎn)P在直線3x+y-5=O上，且P到直線x-y-l=O的距離為0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)

為_________

10.若動(dòng)點(diǎn)A（玉,y）,3（W,左）分別在直線4：2x+y—7=o和4：2x+y-5=0上移動(dòng)，

則AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為.

三、解答題

11.已知點(diǎn)尸（2,—1）,求：

（1）過點(diǎn)P與原點(diǎn)距離為2的直線/的方程；

（2）過點(diǎn)P與原點(diǎn)距離最大的直線/的方程，最大距離是多少？

（3）是否存在過點(diǎn)P與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12.直線/|：y=，nr+l,4：%=一切+1相交于點(diǎn)尸，其中同

（1）求證：4、4分別過定點(diǎn)A、B,并求點(diǎn)A、8的坐標(biāo);

（2）求△ABP的面積S；

（3）問加為何值時(shí)，S最大？

《2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-提高練》同步練習(xí)答案解析

一、選擇題

1.點(diǎn)P（a,0）到直線3x+4y-6=0的距離大于3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.a>7B.a<-3

C.a>7或a<-3D.a〉7或-3<a<7

【答案】C

|3a-6

【解析】根據(jù)題意,>3,解得a>7或a<_3.

2.“C=5”是“點(diǎn)（2,1）到直線3x+4y+＜7=0的距離為3”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件I）.既不充分也不必要條件

【答案】B

|3x2+4xl+C|

【解析】由題意知點(diǎn)（2,1）到直線3x+4y+C=0的距離為3等價(jià)于=3,

62+4?

解得C=5或C=—25,所以“C=5”是“點(diǎn)（2,1）到直線3x+4y+C=0的距離為3”

的充分不必要條件，故選B.

3.點(diǎn)P（2,3）到直線：公+（a—l）y+3=（）的距離。最大時(shí)，d與〃的值依次為（）

A.3,13B.5,2

C.5,1D.7,1

【答案】c

【解析】?.,直線or+（a-l）y+3=0,即a（x+y）+（3-y）=0,

直線以+（。一l）y+3=0是過直線x+y=O和3-y=0交點(diǎn)的直線系方程，

x+y=0x——3

由r3—=0,得彳=3，可得直線以+（。_1））+3=0經(jīng)過定點(diǎn)Q（—3,3）,

當(dāng)直線儂+（。-1）＞+3=0與PQ垂直時(shí)，

點(diǎn)P（2,3）到直線辦+（。-1）＞+3=0的距離最大，

:.d的最大值為|P0=J（2+3）2+（3-3『=5,

此時(shí)P0//x軸，可得直線辦+（。-1）〉+3=0斜率不存在，即。=1.故選：C.

4.在平面內(nèi)，與X軸、y軸和直線x+y=2的距離都相等的點(diǎn)共有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】設(shè)滿足題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,6）,?.?點(diǎn)到x軸、y軸的距離相等，二才二兄

；.a=6或者a=-b；由點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)到直線產(chǎn)廠2=0的距離的平方d

=（a+1-2）2由題可得且2=62=（4+匕2）當(dāng)時(shí)，可解得a=6=2土血；