專題2.6等腰三角形大題培優(yōu)專練（壓軸篇）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（原卷版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.6等腰三角形大題培優(yōu)專練（壓軸篇）班級(jí)：_____________姓名：_____________得分：_____________解答題1．（2021秋·黑龍江佳木斯·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)P在直線BC上，PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．

(1)如圖①，當(dāng)P是BC中點(diǎn)時(shí)，易證：PE+PF=CD（不需證明）；(2)當(dāng)P為線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②，（1）中結(jié)論是否還成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出新的結(jié)論并證明；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，直接寫(xiě)出PE,PF,CD之間的數(shù)量關(guān)系．2．（2023秋·云南昆明·八年級(jí)昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DH⊥BC于H，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，且BH=CH，BF=CE．

(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC=80°，求∠DCB的度數(shù)．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DF⊥BC于點(diǎn)F，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，(1)試判斷AD、(2)當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)阜陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知四邊形ABCD中，BC=CD，連接BD．過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．

(1)如圖1，若DE∥BC，求證：BD與CE互相垂直平分．(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．①求∠CED的大?。虎谌鬉F=AE，求證：BE=CF．5．（2022秋·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是點(diǎn)A0,a，點(diǎn)Bb,0，且a，b滿足：

(1)求∠ABO的度數(shù)；(2)若點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，等腰直角△ODC的腰CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，∠OCD=90°，連接AD．求證：AD⊥OD．6．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥

(1)若∠B=∠C，求證AB=DC；(2)若E是CD的中點(diǎn)，AB⊥AE，且AB=4，AE=5，求四邊形ABCD的面積．7．（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）由角平分線不僅可以得到角相等，也可以用來(lái)構(gòu)造全等三角形，其構(gòu)造思路如下：

在圖1中，點(diǎn)P是∠ABC的平分線OC上一點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，我們可以在OB上截取ON=______；連接PN，根據(jù)三角形全等判定方法______；構(gòu)造出全等三角形△OMP≌(1)請(qǐng)補(bǔ)全上面的構(gòu)造思路；(2)參考上面的思路，解答問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，AC>BC，直線MN垂直平分BC，與∠BAC的平分線AE交于D點(diǎn)，連接CD、BD，則∠ABD與∠ACD有何數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由．8．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織同學(xué)們展開(kāi)了如下探究：如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊作△ADE，其中∠DAE=90°，

知識(shí)初探興趣小組提出的問(wèn)題是：“線段BE和CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系”，請(qǐng)你直接寫(xiě)出答案________．類比再探睿智小組在興趣小組的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究：如圖2，若點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，其它條件不變，線段BE和CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．

特例探究啟航小組根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，“當(dāng)圖形的位置特殊時(shí)會(huì)產(chǎn)生特殊的數(shù)量關(guān)系”，在圖2的基礎(chǔ)上讓圖形特殊化，如圖3，若DB平分∠ADE，其它條件不變，他們發(fā)現(xiàn)BE=CF．請(qǐng)你寫(xiě)出證明過(guò)程．

歸納總結(jié)此綜合與實(shí)踐從“知識(shí)初探”“類比再探”到“特例探究”的過(guò)程中，主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是________（填正確選項(xiàng)代碼）A．?dāng)?shù)形結(jié)合

B．從一般到特殊

C．歸納9．（2023秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DH⊥AC于點(diǎn)H，DM=DN．

(1)在線段AB上找一點(diǎn)P，使AP=AN，連接DP．求證：DP=DM；(2)若△AMD的面積等于100，△AND的面積等于80，求△DHN的面積．10．（2021秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，∠DAE=90°，AD=AE，DC⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為C，F(xiàn)，若DC=3，CF=1，則EF的長(zhǎng)為（2）如圖2，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D為BC上一點(diǎn)，連接AD，AE=AD，且AE⊥AD，連接BE交AC于P．①求證：BP=PE；②若BDDC=2

11．（2020秋·福建廈門·八年級(jí)校考期中）概念學(xué)習(xí)：若經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形，那么我們稱這個(gè)三角形為過(guò)該頂點(diǎn)的生成三角形．

(1)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=67.5°，點(diǎn)D在線段(2)若△ABC是過(guò)頂點(diǎn)B的生成三角形，∠C是其最小的內(nèi)角，且BC是其中一個(gè)小等腰三角形的底邊，∠A是另一個(gè)小等腰三角形的底角，請(qǐng)?zhí)角蟆螧AC12．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）在四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接AC，CE，且∠B=∠AEC.

(1)如圖1，求證：∠CED=∠CDE；(2)如圖2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求(3)如圖3，在（2）的條件下，作直線CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作射線AB交CE于點(diǎn)G，且∠G=∠D，若CG=5，AG=7，求AF:CF的值．13．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知以△ABC的邊AB、AC分別向外作等腰Rt△ABD與等腰Rt△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，連接BE、CD，BE和CD相交于點(diǎn)

(1)求證：BE=DC；(2)求∠BOC的大?。?3)連接DE，取DE的中點(diǎn)F，再連接AF，猜想AF與BC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明．14．（2022秋·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，∠ACB=2∠B．

(1)如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠BAC的平分線時(shí)，在AB上截取AE=AC，連接DE，猜想線段AB，AC，CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明．(2)如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為△ABC的角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要說(shuō)明理由，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．(3)如圖③，當(dāng)∠ACB≠90°，AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想進(jìn)行說(shuō)明．15．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，∠BCD=∠A．(1)如圖1，試說(shuō)明CD=CB的理由；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)F．①試說(shuō)明∠BCD=2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．16．（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，且滿足AD=BD=BC．點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，連接FD并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E，連接AF．

(1)求∠BAC和∠ACB的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：△ABF是等腰三角形．17．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)E．

(1)圖1過(guò)點(diǎn)E作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，求證：(2)圖2，若AB=AC，AF⊥BD，∠ACD=12∠ABC，判斷BF、CD18．（2023秋·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AB翻折得到△ABE，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為F，延長(zhǎng)EF交AC于G

(1)求證：①∠GEC=∠EAB；②EA=EG；(2)連接DG．①如圖2，當(dāng)DG⊥AC時(shí)，試判斷BD與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若AB=5，△EDG的面積為4，請(qǐng)直接寫(xiě)出△CDG的面積．19．（2023秋·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，

（1）模型的發(fā)現(xiàn)：如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且B，C兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．請(qǐng)直接寫(xiě)出（2）模型的遷移1：位置的改變?nèi)鐖D②，在（1）的條件下，若B，C兩點(diǎn)在直線l的異側(cè)，請(qǐng)說(shuō)明DE，（3）模型的遷移2：角度的改變?nèi)鐖D③，在（1）的條件下，若三個(gè)直角都變?yōu)榱讼嗟鹊拟g角，即∠BAC=∠1=∠2=α，其中90°<α<180°，（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明DE，BD和CE的關(guān)系，并證明．20．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BP平分∠ABC，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，線段AM，BP交于點(diǎn)E．(1)如圖1，若AM⊥BC，求證：AE=AP；(2)如圖2，若AM⊥BP，連接PM，求證：AP=PM．21．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知在正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、P都在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度直尺完成下列作圖．

(1)作圖：畫(huà)出△ABC關(guān)于直線AP成軸對(duì)稱的△ADC；(2)作圖：在AD上找一點(diǎn)E，使得PE⊥AD，則PE的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(3)作圖：若PE交CD于點(diǎn)F，在線段BC上找一點(diǎn)G使得∠GAF=∠BAC．22．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°<∠ACB≤90°．點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上（點(diǎn)M、點(diǎn)N不與所在線段端點(diǎn)重合），BN=AM，連接AN，BM，射線AG∥BC，延長(zhǎng)BM交射線AG于點(diǎn)D，點(diǎn)E在直線AN上，且

(1)如圖，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)；①求證：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度數(shù)；(2)當(dāng)∠ACB=α，其它條件不變時(shí)，∠BDE的度數(shù)是．（用含α的代數(shù)式表示）23．（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）[探究型問(wèn)題]（1）如圖①，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∠A=40°，求∠NMB的度數(shù)；（2）如圖②，如果將（1）中的∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的度數(shù)；（3）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？試證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（4）如圖③，如果將（1）中的∠A改為鈍角，其余條件不變，那么對(duì)這個(gè)問(wèn)題的規(guī)律性認(rèn)識(shí)是否需要修改？請(qǐng)你完整地?cái)⑹錾鲜鲆?guī)律．

24．（2023秋·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°．

(1)如圖1，P為△ABC外一點(diǎn)，AQ⊥AP交PC延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，且AQ=AP，求證：∠APB=45°；(2)如圖2，∠BPC=90°，求∠APB的度數(shù)．25．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC=90°時(shí)，那么∠DCE=______度；(2)設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時(shí)，請(qǐng)你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，∠BAC≠90°時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出此時(shí)α與β之間的數(shù)量關(guān)系．26．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在射線BA上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE．連接DE，DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上時(shí)，如圖所示，求證：DF=EF．(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交直線BC于點(diǎn)H．若BC=4,CF=1，求BH的長(zhǎng)是多少？27．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，已知在△ABC中，∠A=120°,∠B<∠C．過(guò)三角形頂點(diǎn)的一條直線將△ABC分割為兩個(gè)等腰三角形．求∠B的度數(shù)．

28．（2023秋·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖：△ABC中，BD=DC=AC，AE是△ADC的中線：求證：AB=2AE．

29．（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°

(1)如圖1，點(diǎn)D是AC上的一點(diǎn)（