2021北京房初三（上）期末數(shù)學（教師版）

2021北京房初三（上）期末

數(shù)學

一、選擇題（本題共24分，第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）

1.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）

A.C.

2.拋物線丁=2。-1）2+5的頂點坐標是（)

A.(l,5)B.(2,1)C.(2,5)D.(0,5)

3.如圖，以點。為圓心作圓，所得圓與直線。相切的是（）

A.以。4為半徑的圓B.以OB為半徑的圓

C.以OC為半徑的圓D.以0￡>為半徑的圓

4.下列關于二次函數(shù)y=2x2說法正確的是()

A.它的圖象經(jīng)過點（0,2）B.它的圖象的對稱軸是直線x=2

C.當x<0時，y隨x的增大而減小D.當40時，y有最大值為0

5.點P（2,-1）關于原點對稱的點P'的坐標是（)

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(1,-2)

6.00的半徑為5,點P到圓心。的距離為4,點尸與0。的位置關系是（)

A.無法確定B.點P在。。外C.點P在。。上D.點P在。。內(nèi)

7.已知二次函數(shù)y=ax2+Zzx+c的圖象如圖所示,則下列選項中不正確的是（）

b

A.a<0B.4a+2b+c>QC.c>0D.-3<------<0

2a

8.如圖，A(0,1),B(l,5),曲線BC是雙曲線y=《(左。0)的一部分.曲線AB與BC組成圖形G.由點C開始

X

不斷重復圖形G形成一線“波浪線”.若點P(2020,m),Q(x,n)在該“波浪線”上，則m的值為n的最大值為

()

O5X

A.m=1,n=1B.m=5,n=1C.m=1,n=5D.m=1,n=4

二、填空題

9.二次函數(shù)y=-3d+2x-3圖象的開口方向是

12

10.已知點A(l,a)與點B(3,b)都在反比例函數(shù)-=-一的圖象上，則a—b(填或“廿或.

x

11.草坪上自動噴水裝置的旋轉(zhuǎn)角為200。，且它的噴灌區(qū)域是一個扇形.若它能噴灌的扇形草坪面積為5萬平方

米，則這個扇形的半徑是一米.

12.請你寫出一個開口向下，且與y軸的交點坐標為(0,3)的二次函數(shù)的解析式：.

13.如圖，Q4，是。0的切線，A,B為切點,AC是。。的直徑，ZBAC=15°,則NP的度數(shù)為

14.“閱讀讓自己內(nèi)心強大，勇敢面對抉擇與挑戰(zhàn)某校倡導學生讀書，下面的表格是該校九年級學生本學期內(nèi)閱

讀課外書籍情況統(tǒng)計表.請你根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息，求出表中〃、方的值：,b=

圖書種類頻數(shù)頻率

科普常識210b

名人傳記2040.34

中外名著a0.25

其他360.06

15.《九章算術》是中國古代數(shù)學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有句五步，股十二步.問句中容方幾

何.”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長分別為5和12,則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為一.

A

16.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“*”，其運算法則為一帥.根據(jù)這個法則，下列結論中錯誤是

.(把所有錯誤結論的序號都填在橫線上)

①收"6=2一瓜;②若〃+b=0,則〃③(x+2)*(x+1)=0是一元二次方程；④方程(x+2)*1=3

的根是為=今走,4二二11好.

三、解答題(解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程)

17.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)X2=3X-2

(2)(m-1)2=l—m

18.如圖，舞臺地面上有一段以點。為圓心的弧AB,某同學要站在弧AB的中點C的位置上.于是他想：只要從

點。出發(fā)，沿著與弦垂直的方向走到弧上，就能找到弧的中點C.老師肯定了他的想法.

(1)請按照這位同學的想法，在圖中畫出點C；

(2)這位同學確定點C所用方法的依據(jù)是.

O

19.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB,垂足為P,若8=8,AP=2,求。。的半徑.

20.已知關于x的方程加f+nx-2=0(m^0).

(1)求證：當〃=怯2時，方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程兩個相等的實數(shù)根都是整數(shù)，寫出一組滿足條件的〃?，"的值，并求此時方程的根.

21.己知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表所示:

X..........-3-2-101..........

y..........0-3-4-30..........

(1)求這個二次函數(shù)的表達式;

（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象;

111?1?kllll1

1____1___1_____1____1_____1_________1___1___±____1___J

11111111111

11111111111

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1____1___1_____1___1_____L_________1___1___±____1___J

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11111111111

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1--------1-----1----------1-----1------4---------------1——|——4.——1——4

???iiii11111

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1------1--------1------4--------1-----4---------------1-----1------4--------1-------1

11111111111

11111111111

111111

11111111111

1-------1--------1--------1-------1-----4---------------i-----14-------1------W

1111111-1--------1-------1--------1

11111111111

11111111111

11111111111

（3）當-3<x<l時，直接寫出y的取值范圍.

22.學完《概率初步》的知識，小聰設計了一個問題：經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右

轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同，求三輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，下列事件的概率

（1）三輛車全部繼續(xù)直行；

（2）兩輛車向左轉(zhuǎn)，一輛車向右轉(zhuǎn)；

（3）至少有兩輛車向右轉(zhuǎn).

請你選擇列表法或者樹狀圖解決小聰?shù)膯栴}.

23.為了預防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y

（毫克）與時間x（分鐘）成為正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)

空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：

（1）藥物燃燒時，y關于x的函數(shù)關系式為，自變量x的取值范圍為；藥物燃燒后，y關于x的函數(shù)

關系式為.

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過

分鐘后，員工才能回到辦公室；

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病

菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

25.如圖，以四邊形A8C。的對角線6。為直徑作圓，圓心為。，點A、C在上，過點A作AEJ.C。的延

長線于點E，已知D4平分NBDE.

B

A

（1）求證：AE是OO切線；

（2）若AE=4，CD=6,求。。的半徑和A￡）的長.

27.在平面直角坐標系中，拋物線丁=2/+/胡+〃經(jīng)過點A（0,—2）,8（3,4）.

（1）求拋物線的表達式及頂點M的坐標；

（2）線段OB繞點。旋轉(zhuǎn)180。得到線段OC,點。是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A,3之間的部分為圖

象W（包含A,8兩點）.結合函數(shù)圖像：

①若直線CO與圖象W有公共點，求的最大值；

②若直線8與圖象W沒有公共點，直接寫出點D縱坐標t的取值范圍.

VA

5-

4-

3

2

1

-5-4-3-2-1012345%

-1

-2

-3

-4

參考答案

一、選擇題(本題共24分，第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個)

1.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形是()

【1題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

8、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

。、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：B

【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折

疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

2.拋物線y=2。-1)2+5的頂點坐標是()

A.(1,5)B.(2,1)C.(2,5)D.(0,5)

【2題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可求解.

【詳解】解：拋物線丁=2(%—1丫+5的頂點坐標是：(1,5),

故選：A.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的頂點式，掌握y=a(x—/?『+左的頂點坐標為(h,k)是解題的關鍵.

3.如圖，以點O為圓心作圓，所得的圓與直線“相切的是()

A.以為半徑的圓B.以OB為半徑的圓

C.以。C為半徑的圓D.以。。為半徑的圓

【3題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系進行判斷.

【詳解】解：于。，

.■.以。為圓心，0。為半徑的圓與直線。相切，

故選：D.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關系一相切，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

4.下列關于二次函數(shù)y=2x2的說法正確的是（）

A.它的圖象經(jīng)過點（0,2）B.它的圖象的對稱軸是直線x=2

C.當x<0時，y隨x的增大而減小D.當A=0時，y有最大值為0

【4題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：A、當40時，尸（￥2,故此選項錯誤;

B、它的圖象的對稱軸是直線40,故此選項錯誤；

C、當x<0時，隨x的增大而減小，當x>0時，>隨x的增大而增大，故此選項正確;

D、當戶。時，y有最小值是0,故此選項錯誤；

故選：C.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵.

5?點P（2,-1）關于原點對稱的點尸的坐標是（）

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(1,-2)

【5題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反可直接寫出答案.

【詳解】解：點P（2,-1）關于原點對稱的點尸的坐標是（-2,1）

故選：A.

【點睛】本題考查關于原點對稱的點的特征，是基礎考點，難度較易,掌握相關知識是解題關鍵.

6.0。的半徑為5,點P到圓心。的距離為4,點P與。。的位置關系是（）

A.無法確定B.點P在。。外C.點P在。。上D.點P在。。內(nèi)

【6題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法進行判斷.

【詳解】的半徑為5,點P到圓心。的距離為4,

.1?點P到圓心。的距離小于圓的半徑，

..?點。在內(nèi).

故選：D.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有3種.設。。的半徑為/?，點P到圓心的距離。尸=乩

則有：點P在圓外點尸在圓上c/=r；點P在圓內(nèi)T<r.

7.已知二次函數(shù)丁=0?+&+。的圖象如圖所示，則下列選項中不正確的是()

A.a<0B.4a+2b+c>0C.c>0D.-3<--<0

2a

【7題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象的開口方向可判斷A選項；根據(jù)拋物線與y軸的交點可判斷C選項；根據(jù)對稱軸的位置可判斷D

選項；根據(jù)自變量x=2時，函數(shù)的值可判斷B選項.

【詳解】解：A、圖象開口向下，得a<0,故A選項不合題意；

B、由圖象可得，當x=2時，y=4a+2b+c不確定是否大于0,故B選項符合題意；

C、二次函數(shù)圖象與y軸交于x軸上方，得c>0,故C選項不合題意；

D、由圖象可得，-3<—2<0,故D選項不合題意.

2。

故選B.

【點睛】本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系.二次函數(shù)丁=如2+法+。系數(shù)符號由拋物線開口方向、對

稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.

8.如圖，A(0,1),B(l,5),曲線BC是雙曲線)，=人(左。0)的一部分.曲線AB與BC組成圖形G.由點C開始

X

不斷重復圖形G形成一線“波浪線力若點P(2020,m),Q(x,n)在該“波浪線”上，則m的值為n的最大值為

()

【8題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意利用點B的坐標可以求k的值，然后根據(jù)圖象可知每5個單位長度為一個循環(huán)，從而可以求得m

的值和n的最大值.

【詳解】解：???點B(1,5)在雙曲線丁=4//0)的圖象上，

X

，k=5,

VA(O,1),曲線AB與BC組成圖形G.由點C開始不斷重復圖形G形成一線“波浪線”.

AC的縱坐標為1

；點C在y伏。0)的圖象上，點C的縱坐標為1,

x

...點C的橫坐標是5,

二點C的坐標為(5,1),

；2020+5=404,

P(2020,m)中m=l

?.?點Q(x,n)在該“波浪線”上,

；.n的最大值是5.

綜上所述，m=1,n=5.

故選C.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

二、填空題

9.二次函數(shù)｝；=一3/+2%一3圖象的開口方向是

【9題答案】

【答案】向下

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)即可判斷拋物線的開口方向

【詳解】解：???'=—3/+2x—3的二次項系數(shù)-3,

拋物線開口向下，

故答案為：向下

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).對于二次函數(shù)），=加+/加+。（@0）,當。>0時，拋物線開口向上，當aVO

時，拋物線開口向下.

12

10.已知點A（l,a）與點B（3,b）都在反比例函數(shù)>=一一的圖象上，則a―b（填“〈”或“=”或“>"）.

x

【10題答案】

【答案】<

【解析】

【分析】將點A和點B都代入反比例函數(shù)解析式可求出“和b的值，比較a、b大小可得結論

12

【詳解】解：..?點A（l,a）與點B（3,b）都在反比例函數(shù)）；=一一的圖象上

x

當x=l時,a=-12

當x=3時,b=-4

?1--12<-4

a<b

故答案為：<

【點睛】本題考查反比例函數(shù)，解題的關鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì).

11.草坪上的自動噴水裝置的旋轉(zhuǎn)角為200。，且它的噴灌區(qū)域是一個扇形.若它能噴灌的扇形草坪面積為5萬平方

米，則這個扇形的半徑是一米.

【11題答案】

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)已知得出自動噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形，面積為5兀平方米，圓心角為200。，利用扇形面積公

式S時評篆，求出即可.

【詳解】解：???草坪上的自動噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形，面積為5冗平方米，圓心角為200。，

它能噴灌的草坪的面積為：200"?=5兀m?.

360

解得：R=3,

故答案為3.

【點睛】此題主要考查了扇形面積求法.

12.請你寫出一個開口向下，且與〉軸的交點坐標為（0,3）的二次函數(shù)的解析式：.

【12題答案】

【答案】y=-x?+3

【解析】

【分析】開口向下得到aVO,與y軸的交點為（0,3）得到c=3,然后根據(jù)a、c可寫出解析式，答案不唯一.

【詳解】二次函數(shù)圖像開口向下得到a<0,與y軸的交點為（0,3）得到c=3,故二次函數(shù)可以為y=-x?+3

【點睛】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，根據(jù)開口方向與y軸的交點可得到解析式.

13.如圖，PA，/歸是的切線，A,B為切點,AC是的直徑，ZB4c=15。，則ZP的度數(shù)為

【13題答案】

【答案】300

【解析】

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/QR4的度數(shù)，從而可得NAOB的度數(shù)，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得

ZOAP=ZOBP=90°,最后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得.

【詳解】如圖，連接OB

-.OA=OB

ZOBA=ZBAO=ABAC=15°

ZAOB=180°-ZOBA-/BAO=150°

???PAP8是0。的切線，A,6為切點

：.OA±PA,OB.LPB,即NOAP=NOBP=90°

在四邊形OAPB中，/P=360°-ZAOB-ZOAP-Z.OBP=30°

故答案為：30°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和公式等知識點，通過作輔助線，構造一

個四邊形，并聯(lián)系到圓的切線的性質(zhì)是解題關鍵.

14.“閱讀讓自己內(nèi)心強大，勇敢面對抉擇與挑戰(zhàn)某校倡導學生讀書，下面的表格是該校九年級學生本學期內(nèi)閱

讀課外書籍情況統(tǒng)計表.請你根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息，求出表中“、6的值：a=,b=.

圖書種類頻數(shù)頻率

科普常識210b

名人傳記2040.34

中外名著a0.25

其他360.06

【14題答案】

【答案】①.150②.0.35

【解析】

【分析】首先計算出總數(shù)，然后利用總數(shù)減去各組的頻數(shù)可得a的值，然后再利用1減去各組的頻率可得b的值.

【詳解】解：36+0.06=600,

a=600-210-204-36=150,

b=1-0.34-0.25-0.06=0.35.

故答案為150,0.35.

【點睛】此題主要考查了頻數(shù)分布表，關鍵是掌握頻率=頻數(shù)+總數(shù)，各組頻率之和為1.

15.《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，書中記載了這樣一個問題：”今有句五步，股十二步.問句中容方幾

何.”其大意是：如圖，RtAABC的兩條直角邊的長分別為5和12,則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為一.

【15題答案】

?小田、60

【答案】—

【解析】

EFBF

【分析】由題意可判斷AEAFsAABC,利用三角形相似的性質(zhì)可得一=——，又BC=12,AC=5,BF=BC-

ACBC

CF=12-EF,代入可求EF,即得正方形CDEF的邊長

【詳解】解：：四邊形CDEF為正方形，

???NEFB=ZACB=90。

又NEBF=ZABC

：.^EBF^WBC

,EFBF

又BC=12,AC=5,BF=BC-CF=12-EF

*-E-F-=--\-2---E-F-

■15-12

解得：EF=—

17

,,,.>.60

故答案為：—

17

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記三角形相似的判定定理及性質(zhì)是解本題的關鍵

16.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“*”，其運算法則為。*。=序-根據(jù)這個法則，下列結論中錯誤的是

.(把所有錯誤結論的序號都填在橫線上)

①6*6=2-水;②若a+b=O,則a*b=6*a；(3)(x+2)*(x+1)=0是一元二次方程；④方程(x+2)*1=3

-3+y[s

的根是％=-

2

【16題答案】

【答案】③④

【解析】

【分析】根據(jù)新定義的運算逐項判斷即可.

【詳解】根據(jù)新定義的運算可知&*聲=(行/-后x百=2-指，故①正確但不符合題意;

根據(jù)新定義運算可知—axh=“2-a/?,b*a—b2-bxa-b2-ab'根據(jù)a+〃=0可知a=—Z?,所

以a*b=a?-ab=(-b)2-ab=b2-ab-h*a,故②正確但不符合題意；

(x+2)*(x+l)=(x+2)2一(x+2)(x+l)-x2+4x+4-X2-3X-2=X+2,所以原等式為x+2=0是一元一次方

程，故③錯誤符合題意；

(x+2)*l=(x+2)2-(x+2)xl=》2+4x+4-x-2=x?+3x+2,所以原等式為Y+3^+2=3，即

d+3x-l=0,解得<=:3］內(nèi),斗=土聲.故④錯誤符合題意.

故答案為：③④.

【點睛】本題考查解一元二次方程，一元一次方程的判定，新定義下的實數(shù)運算.理解題意，利用新定義下的運算

解決問題是解答本題的關鍵.

三、解答題(解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程)

17.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)X2^3X-2

(2)(m-1)2=l-m

【17題答案】

【答案】(1)玉=1，/=2；(2)/ZZ|=0,ITI-,—1

【解析】

【分析】(1)化為一般式后，用因式分解法解方程即可；

(2)移項后，提取公因式，利用因式分解法解方程即可.

【詳解】解：(1)%2—3X+2=0，

(x—l)(x—2)=0,

x-l=0,x-2-0

%=1,%2=2,

(2)(加―1)2—(1一m)=0,

(m-l)[(/?2-l)4-l]=0,

w(/n-1)=0,

772=0,777-1=0,

m}=0,叫=1

【點睛】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，解題關鍵是把方程右邊化成0,左邊進行因式分解，達到降次

的目的.

18.如圖，舞臺地面上有一段以點。為圓心的弧AB,某同學要站在弧的中點。的位置上.于是他想：只要從

點。出發(fā)，沿著與弦A3垂直的方向走到弧AB上，就能找到弧A8的中點C.老師肯定了他的想法.

(1)請按照這位同學的想法，在圖中畫出點C；

(2)這位同學確定點C所用方法的依據(jù)是.

O

【18題答案】

【答案】(1)見解析；(2)垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧

【解析】

【分析】(1)連接AB,作弦AB垂直平分線即可得；

(2)根據(jù)垂徑定理可得.

【詳解】(1)如圖所示，點。即為所求.

(2)這位同學確定點C所用方法的依據(jù)是：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧，

故答案為垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.

【點睛】本題主要考查作圖-應用與設計作圖，解題的關鍵是熟練掌握垂徑定理及線段中垂線的尺規(guī)作圖.

19.如圖，48是。。的直徑，弦COL4B,垂足為P,若CD=8,AP=2,求。。的半徑.

【19題答案】

【答案】5.

【解析】

【分析】連接0C，先由垂徑定理求得CP=4,然后再在RtAOCP中，利用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】如圖，連接0C.設。。的半徑為九

是。。的直徑，弦CCAB,

：.CP=PD=4.

"：OC=OB=r.AP=2,

：.OP=r-2.

在RtAOPC中，由勾股定理得：OEPC+OP。,即r=42+(”2)2.

解得：r=5.

所以圓的半徑為5.

【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理.解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進行計算.

20.已知關于x的方程如？+；1r-2=0(根N0).

(1)求證：當〃=〃?-2時，方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程兩個相等實數(shù)根都是整數(shù)，寫出一組滿足條件的〃?，〃的值，并求此時方程的根.

【20題答案】

【答案】(1)見解析；(2)〃=4,加=一2,方程的根為乃=及=1

【解析】

【分析】(1)先計算判別式得到4=(根+2>,根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△>0,然后根據(jù)判別式的意義得到結論;

(2)取，w=-2,〃=4,則方程化為爐-2》+1=0,然后利用完全平方公式解方程.

【詳解】(1)證明：zl=(m-2)'—4mx(—2)=+4m+4=(m+2)'>0,

方程總有兩個實數(shù)根；

(2)由題意可知，”印0,

△=-4//1X(-2)=n2+8根=0；

即n2--8m;

以下答案不唯一，如：當"=4,%=-2時，方程為P2x+l=0,

解得X|=X2=1.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程這2+〃x+c=0(WO)的根與/=62-4ac有如下關系：當』>0時,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當/<0時，方程無實數(shù)根.

21.已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表所示：

X..........-3-2-101..........

y..........0-3-4-30..........

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象;

rr-「_rT

III_II

」

LL」±

一

(3)當-3<x<l時，直接寫出y的取值范圍.

【21題答案】

【答案】(1)y=/+2x-3；(2)見解析；(3)-4Wy<0

【解析】

【分析】(1)由表格可設二次函數(shù)的解析式為y=a(x+3)(x-l),然后再選擇一個合適的值代入求解即可;

(2)根據(jù)表格在網(wǎng)格中描出點的坐標，然后用圓滑的曲線連接即可；

(3)由(2)中的圖像可直接進行求解.

【詳解】解：⑴由表格可設y=a(x+3)(x-l),

將(0,-3)代入得—3=—3a,解得：。=1,

二二次函數(shù)的表達式是)，=/+2x—3；

(2)由表格可描出與x,y的交點，頂點，對稱軸，如圖所示：

6

（3）由（2）中圖像可得：

當-3<x<l時，y的取值范圍是-4Wy<0.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關鍵.

22.學完《概率初步》的知識，小聰設計了一個問題：經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右

轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同，求三輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，下列事件的概率

（1）三輛車全部繼續(xù)直行；

（2）兩輛車向左轉(zhuǎn)，一輛車向右轉(zhuǎn)；

（3）至少有兩輛車向右轉(zhuǎn).

請你選擇列表法或者樹狀圖解決小聰?shù)膯栴}.

【22題答案】

【解析】

【分析】畫出樹狀圖寫出所有可能出現(xiàn)的結果，共有27種.

（1）根據(jù)樹狀圖可知，三輛車全部繼續(xù)直行結果有1種，即可求出其概率.

（2）根據(jù)樹狀圖可知，兩輛車向左轉(zhuǎn)，一輛車向右的結果有3種，即可求出其概率.

（3）根據(jù)樹狀圖可知，至少有兩輛車向右轉(zhuǎn)的結果有7利即可求出其概率.

【詳解】根據(jù)題意，可以畫出如下的樹狀圖：

所有可能出現(xiàn)的結果是27種，三輛車全部繼續(xù)直行的結果有1種，兩輛車向左轉(zhuǎn)，一輛車向右轉(zhuǎn)結果有3種，至

少有兩輛車向右轉(zhuǎn)結果有7種.

（1）三輛車全部繼續(xù)直行的概率是—;

27

31

（2）兩輛車向左轉(zhuǎn)，一輛車向右轉(zhuǎn)概率是一=一；

279

7

（3）至少有兩輛車向右轉(zhuǎn)概率是一.

27

【點睛】本題考查用樹狀圖法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖來表示所有可能出現(xiàn)的結果是解答本題的關鍵.

23.為了預防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y

（毫克）與時間x（分鐘）成為正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)

空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：

（1）藥物燃燒時，y關于x的函數(shù)關系式為，自變量x的取值范圍為；藥物燃燒后，y關于x的函數(shù)

關系式為.

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過

分鐘后，員工才能回到辦公室；

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病

菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

【23題答案】

【答案】（1）y—~~x,0<r<8；y=—（x>8）

4x

（2）30（3）有效，理由見解析

【解析】

【分析】（1）藥物燃燒時，設出y與X之間的解析式丫=4出把點（8,6）代入即可，從圖上讀出X的取值范圍；

藥物燃燒后，設出y與X之間的解析式y(tǒng)=4,把點（8,6）代入即可；

x

（2）把y=1.6代入反比例函數(shù)解析式，求出相應的x；

（3）把y=3代入正比例函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，求出相應的x,兩數(shù)之差與10進行比較，大于等于10

就有效.

【小問1詳解】

解：（1）設藥物燃燒時y關于x的函數(shù)關系式為（左>0）代入（8,6）為6=8h

???心=上設藥物燃燒后y關于x的函數(shù)關系式為y=4（心>0）代入（8,6）為6=幺，

4x8

.?.々2=48,

348

???藥物燃燒時y關于x的函數(shù)關系式為(0<r<8)藥物燃燒后y關于x的函數(shù)關系式為y=—(x>8)；

4x

【小問2詳解】

一48

(2)結合實際，令>=一中三1.6得於30,

即從消毒開始，至少需要30分鐘后學生才能進入教室.

【小問3詳解】

3

(3)把y=3代入y=-x,得：x—4,

把y=3代入y=一，得：x—\6,

V16-4=12,

所以這次消毒是有效的.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類

問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式.

25.如圖，以四邊形A3CD的對角線8。為直徑作圓，圓心為。，點A、C在上，過點A作A￡_LC￡>的延

長線于點E，已知ZM平分

(1)求證：AE是。。切線;

(2)若A￡=4，8=6,求。。的半徑和AD的長.

【25題答案】

【答案】(1)證明見解析

⑵2#)

【解析】

【分析】(1)連接0A,根據(jù)己知條件證明O4LAE即可解決問題；

(2)取CQ中點F,連接OF,根據(jù)垂徑定理可得。FLCD,所以四邊形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出結

果.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OA,

".'AELCD,

：.ADAE+ZADE=90°.

平分/BOE,

NADE=NADO,

又；OA=O。，

：.ZOAD=ZADO,

：.ZDAE+ZOA