對應思想在解決問題中的應用

對應思想在解決問題中的應用郭寶珠對應思想是在兩個事物之間建立起來的一種關(guān)系〔或者說某種規(guī)律〕，即對應關(guān)系，從而揭示事物之間的聯(lián)系.許多具體的數(shù)學思想來源于對應思想，如：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、變換思想等.小學數(shù)學一般是一一對應的直觀圖表，并以此蘊含函數(shù)思想.對應思想是解決數(shù)學問題的一種根本思路，它通過兩種事物的合集最終建立起某種聯(lián)系的思維方法，通過這些思維方法搭建了解題的思維橋梁.所以人們經(jīng)常用對應思想來分析、解決一些實際問題.教學中不僅要求我們能通過思考與探索發(fā)現(xiàn)這些事物間的對應關(guān)系，并且能運用這些對應關(guān)系解決根本的數(shù)學問題.一、第一學段，感悟體會，做好預備與鋪墊小學數(shù)學教材中主要利用虛線、實線、箭頭、計數(shù)器等圖形將元素與元素、實物與實物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來，滲透對應思想.在第一學段，教師要正確理解蘊藏于教材中的“對應思想〞，為學生提供豐富的數(shù)學活動，從簡單的“一一對應〞關(guān)系開始，讓對應思想點點滴滴滲透到學生的學習中去，為逐步開展學生解決數(shù)學問題的能力做好預備與鋪墊.如：人教版一年級上冊關(guān)于“多〞“少〞的教學.先讓學生觀察6～7頁主題圖〔或多媒體課件〕，同桌互相說說圖意，然后教師問：“圖中有幾只小兔？〞“每只小兔搬幾塊磚？〞根據(jù)學生的答復，在主題圖下出示4只小兔.逐一將4塊磚與小兔一一對應，每對應一塊磚都用小圓點把小兔和磚連起來，表示一只兔子搬一塊磚.師：看，1只兔子搬1塊磚，正好都對上，沒有多余的，我們就說小兔的只數(shù)和磚的塊數(shù)同樣多〔板書：同樣多〕.教材中用虛線上下連接來強化“對應〞，這是教材對“一一對應〞思想的滲透.〔如圖〕又如：一年級上冊P89例1：9+4.如果僅僅只是為了計算，那么教學的設(shè)計是：引導學生先思考9湊成十還缺幾〔缺1〕，然后把4拆成1+3，最后得出13.從計算的角度看完成了本節(jié)課的教學目標，但進一步思考似乎還缺些什么，在這節(jié)課中，能否讓學生在積累數(shù)學活動經(jīng)驗的同時滲透對應思想呢？是的，可以通過數(shù)軸，建立數(shù)與點的一一對應關(guān)系，要求學生由點找數(shù)，由數(shù)找點，然后運算.如下列圖：引導學生觀察思考：得數(shù)是13，我們是怎樣得到它的？〔先在數(shù)軸上找到9，接著往后數(shù)4就得到了13〕13離數(shù)軸上“0〞點的距離有多遠？它與“10〞的關(guān)系是什么？從數(shù)軸上能十分清晰地看出.這一環(huán)節(jié)的教學，教師將加法運算直觀形象化，讓學生初步感知加法運算的意義.“加法〞就是在數(shù)軸上繼續(xù)向右“數(shù)〞，或者是向右平移假設(shè)干個單位.二、第二學段，自覺應用，解決問題在第二學段的教學中，教師在滲透對應思想的同時，還應逐步培養(yǎng)學生對應意識，使學生能用對應思想方法解決實際問題，逐步學會數(shù)學思維，提高解決問題的能力.1.在數(shù)與代數(shù)中，應用“對應思想〞發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題當遇到較為復雜的問題時，常常需要通過“對應〞的方法化繁為簡、化難為易；當遇到較為隱蔽的問題時常常需要找出對應關(guān)系，化隱蔽為明晰，變未知為，使問題得以解決.如：“買3個籃球和4個排球需要480元，買3個籃球和6個排球需要600元，買一個籃球和一個排球需要多少元？〞由于條件較多，學生解答往往會覺得較困難，如果學生學會把條件和問題對應摘錄在練習本上，或是把題目中的條件對應地列成表格，如下：學生對以上對應的數(shù)量進行分析，就會很快地看出2個排球是120元，這樣便輕而易舉地解決了問題.又如：“植樹問題〞〔人教版小學數(shù)學四年級下冊〕這節(jié)課的教學，許多教師都遇到這樣的困惑：總結(jié)出三種不同情況的規(guī)律后，在進行綜合練習時，學生卻常常分不清是用“棵數(shù)加1〞、還是“棵數(shù)減1〞或者“不加不減〞.究其原因，主要是教師在教學過程中只注重引導學生通過操作探究得出結(jié)論，而沒有挖掘知識之間內(nèi)在的聯(lián)系，導致學生只是機械地記住結(jié)論，因此在進行綜合練習時產(chǎn)生了困惑，造成了混淆.如果能引導學生找到規(guī)律背后隱藏的數(shù)學思想——對應思想，并用這種思想指導教學，會收到事半功倍的效果.片段教學如下：師：同樣求棵數(shù)，為什么有時要加1，有時要減1，有時卻不加不減？你們能結(jié)合圖說說看法嗎？〔根據(jù)學生的答復，教師用箭號把一棵樹與一個間隔數(shù)一一對應〕師：現(xiàn)在我們借助電腦來看一遍，在一條路上植樹，如果兩端都種，我們可以這么看，也就是一棵樹對應一個間隔，到最后一棵樹的時候，會怎么樣？〔少了個間隔和它對應了〕可見樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1.師：我們反過來再看看，也是一棵樹對應一個間隔，到〔最后一棵樹的時候怎么樣？〕生：也少了個間隔和它對應了.師：所以在兩端都栽的情況下，棵樹比間隔數(shù)多1.也就是，間隔數(shù)+1=棵數(shù).這一教學過程讓學生利用直觀畫解釋“棵數(shù)〞與“間隔數(shù)〞之間的關(guān)系，巧妙地滲透“一一對應〞的數(shù)學思想，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生能夠理解知識之間內(nèi)在的聯(lián)系，并靈活地運用植樹問題的數(shù)學模型解決生活中的植樹問題.分數(shù)應用問題的教學，是小學階段解決問題中較為抽象的內(nèi)容，也是教學的難點.教學中假設(shè)能把“數(shù)形結(jié)合〞與“對應思想〞相結(jié)合，這一問題便迎刃而解.讓學生通過線段圖，發(fā)現(xiàn)具體量與分率之間的一一對應關(guān)系，并利用量與率的對應關(guān)系來確定解題策略，尋找解題方法.2.在圖形與幾何中，利用對應思想推導公式、建立數(shù)學模型、開展數(shù)學思考在第二學段研究的平行四邊形、三角形、梯形、圓，這些平面圖形面積公式的推導均采用讓學生動手實驗，先將圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的圖形，然后探索轉(zhuǎn)化后的圖形與原來圖形的聯(lián)系〔即轉(zhuǎn)化后的圖形與原來圖形的對應關(guān)系〕，發(fā)現(xiàn)新圖形的面積計算公式這樣一個過程.如平行四邊形面積公式的推導過程：當學生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，教師引導學生觀察轉(zhuǎn)化前后的兩種圖形，發(fā)現(xiàn)其中多處表達了對應關(guān)系，“長方形面積〞與“平行四邊形面積〞相對應，“長方形的長〞與“平行四邊形的底〞相對應，“長方形的寬〞與“平行四邊形的高〞相對應.在這些對應關(guān)系的根底上，平行四邊形的面積公式才順利推導而出.其次，在利用公式計算面積或體積時也要強調(diào)對應.如在“三角形的面積計算〞教學中，先要求學生能熟練地尋找每條底邊，以及與這條底邊對應的高.當學生學會三角形面積計算時，教師可以利用圖形的動態(tài)變換，如三角形的面積中，同底等高的三角形有無數(shù)多個.這就使學生理解一個面積的數(shù)量，對應了無數(shù)多個圖形.又如〔六年級上〕學習用“數(shù)對〞表示“位置〞時，教師將座位平面圖抽象為比擬形象的直角坐標系，建立“數(shù)對〞與平面上“點〞之間的一一對應關(guān)系.在這一過程中讓學生初步體驗到，有