《數(shù)學(xué)悖論及其意義》

第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義整理課件悖論的起源已久，至今是一個(gè)涉及自然與社會(huì)科學(xué)中許多學(xué)科的論題．由于數(shù)學(xué)的開展是充滿著矛盾的歷史，因此，數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論是不可防止的，甚至還可以這樣說，數(shù)學(xué)也正是在不斷消除悖論，解決矛盾中向前開展的，這表達(dá)了矛盾是事物開展的根本動(dòng)力這一原理．這里，首先給出悖論的定義并列舉歷史上重要的悖論，然后對數(shù)學(xué)史上所謂三次危機(jī)作一個(gè)簡要介紹。整理課件§1悖論的定義和常見的悖論值得注意的是，我們所說的悖論與通常的狡辯或謬論的含義是不同的，狡辯或謬論不僅從公認(rèn)的理論明顯看出它的錯(cuò)誤，而且一般地還可以運(yùn)用已有的理論、邏輯論述其錯(cuò)誤的原因；而悖論就與此不同了，悖論雖然感到它是不妥的，但是從它所在的理論體系中，卻不能自圓其說。整理課件一、悖論的定義我們采用徐利治教授主張的弗蘭克爾和巴-希勒爾的說法“如果某一理論的公理和推理原那么看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相礦矛盾的命題，或是證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式，那么，我們就說，這個(gè)理論包含了一個(gè)悖論。〞整理課件簡言之，

整理課件在這個(gè)定義中，首先指明了任何一個(gè)悖論總是相對于某一理論系統(tǒng)而言的。

比方，著名的羅素悖論是一個(gè)被包含在古典集合論系統(tǒng)中的悖論。其次又指出一個(gè)悖論可以表現(xiàn)為某一理論系統(tǒng)中兩個(gè)互相矛盾的命題的形式。不過從悖論的起源以及歷史上一些著名的悖論來說，不一定都符合我們這個(gè)定義，它們有的是由于新概念的引入而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念，例如希帕索斯無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。有的是在推理過程看上去是合理的，但推理的結(jié)果卻又違背客觀實(shí)際。例如芝諾悖論。整理課件二、常見的悖論整理課件1、理發(fā)師悖論

李家村上所有有理發(fā)習(xí)慣的人分為兩類，一類是自己給自己理發(fā)的，另一類是由別人給他理發(fā)的。這個(gè)村上有一位有理發(fā)習(xí)慣的理發(fā)師自己約定：“給且只給村里自己不給自己理發(fā)的人理發(fā)。〞現(xiàn)在問：這位理發(fā)師屬于哪一類的人？整理課件整理課件2、羅素悖論〔集合論悖論〕這是羅素在1903年提出的悖論。表達(dá)如下：整理課件整理課件整理課件3、康托悖論這個(gè)悖論是康托1899年發(fā)現(xiàn)的?，F(xiàn)表達(dá)如下：整理課件整理課件整理課件4、說謊者悖論“我在說這句話時(shí)正在說謊〞，試問這句話是真話還是假話？整理課件分析如下：假設(shè)設(shè)它是真話，那么因這句話〔它是真話〕也是出自我之口，故按此話〔我在說這句話時(shí)正在說謊〕的論斷，可知這句話〔它是真話〕也是說謊，即這句話是假話；假設(shè)設(shè)它是假話，那么因這句話〔它是假話〕也是出自我之口，故按此話的論斷，可知這句話〔它是假話〕也是說謊，即這句話是真話。故由它的真〔假〕導(dǎo)致它的假〔真〕，總是矛盾的，這就是悖論。整理課件1947年設(shè)計(jì)出了世界上第一臺(tái)用于解決邏輯問題的計(jì)算機(jī)，當(dāng)用它來判斷這個(gè)“說謊者悖論〞，即判斷：語句：“我在說這句話時(shí)正在說謊〞是真，是假時(shí)，這時(shí)只見“計(jì)算機(jī)發(fā)狂〞了似的反復(fù)不斷地打出：對、錯(cuò)、對、錯(cuò)……。整理課件關(guān)于這個(gè)悖論的由來是這樣的：

公元前6世紀(jì)，希臘的克里特人發(fā)現(xiàn)一個(gè)實(shí)際上沒有構(gòu)成現(xiàn)代意義下的悖論的悖論。其原始命題是：一個(gè)克里特人說：“所有的克里特人所說的每一句話都是謊話。〞由于從假設(shè)這句話為真會(huì)導(dǎo)出它的假，而由它的假并導(dǎo)不出矛盾來。這樣構(gòu)不成現(xiàn)代意義下的悖論，不過它確實(shí)是古代著名的悖論，連西方的圣經(jīng)?新約?中也用這個(gè)悖論。它是悖論的歷史起源的典型例子。整理課件以上所舉是邏輯〔集合論〕悖論和語義學(xué)悖論的典型例子。由于科學(xué)的開展，各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)許多思維的、推理不清的問題，過去人們都稱之為悖論，現(xiàn)在看來可能不一定是悖論。整理課件5、梵學(xué)者的預(yù)言印度預(yù)言家的女兒要想捉弄父親，一天在紙上寫下一句話〔一件事〕，讓她的父親預(yù)言這件事在下午3時(shí)以前是否發(fā)生，并在一個(gè)卡片上寫“是〞或“不〞。這位預(yù)言家果然在卡片上寫了一個(gè)“是〞字。他女兒在紙上寫的一句話是：“在下午3點(diǎn)鐘之前，你將寫一個(gè)‘不’字在卡片上〞。整理課件事實(shí)上：

他在卡片上寫“是〞或“不〞都是錯(cuò)誤的，他根本不可能預(yù)言對。因?yàn)槿绻麑憘€(gè)“是〞字，這就與他的女兒在紙上說她的父親將寫一個(gè)“不〞字不相符合，也就是說他預(yù)言不對；如果他寫個(gè)“不〞字，也就是說，在下午3點(diǎn)鐘以前，你確實(shí)寫了一個(gè)“不〞字在卡片上，那怎么能說“不〞呢？而應(yīng)該說“是〞才對??！整理課件6、蠕蟲爬橡皮繩一條蠕蟲在一km長的橡皮繩一端以1cm/s的勻速向另一端爬行，而橡皮繩卻以每秒〔均勻〕伸長1km,如此下去，試問蠕蟲會(huì)不會(huì)看到橡皮繩的另一端點(diǎn)？整理課件7、上帝全能悖論整理課件8、芝諾悖論公元前496—430年間埃利亞〔意大利南部一個(gè)城市〕學(xué)派中心人物芝諾，他反對畢氏學(xué)派企圖用“單子說〞來解決“線段不可通約〞的問題?！伯吺蠈Σ豢赏s的線段用一種如此之小的度量單位，以致本身是不可度量的〔即長度為0〕卻又要保持為一種單位，稱作單子。用單子來度量它們，也就是以無窮小線段去公度正方形的邊和對角線〕。芝諾提出“單子本身是否有長度〞的問題，并認(rèn)為無窮小假設(shè)有長度，那么無限個(gè)相連接為無限大；無窮小假設(shè)無長度，那么無限個(gè)相連接仍是沒有長度。芝諾還提出了著名的幾個(gè)悖論。整理課件〔1〕阿〔基〕里斯悖論阿里斯是荷馬〔公元前1000年〕史詩?伊里亞特?中一位善跑的英雄。假設(shè)阿里斯跑的速度是烏龜?shù)?0倍，而烏龜在阿里斯前面100米。當(dāng)阿追到100米時(shí)，烏龜前進(jìn)了10米，阿又追上10米，烏龜又前進(jìn)1米。阿又追上1米，烏龜又前進(jìn)了0.1米。如此下去，阿里斯只是越追越近，但始終追不上烏龜。整理課件〔2〕箭的悖論〔飛矢不動(dòng)〕“飛矢在每一個(gè)瞬間都占有一個(gè)特定位置，它在這一瞬間是不動(dòng)的。每個(gè)瞬間都不動(dòng)，無限個(gè)不動(dòng)的瞬間總和還是不動(dòng)的。所以飛矢不動(dòng)〞。整理課件

§2悖論的意義數(shù)學(xué)擁有美的內(nèi)容，也存在著“丑〞的東西，數(shù)學(xué)悖論就是一種“丑〞的表現(xiàn)，追求數(shù)學(xué)美能促進(jìn)數(shù)學(xué)開展，同樣地，為了消除它的“丑〞也必能推動(dòng)數(shù)學(xué)自身的開展，數(shù)學(xué)三次危機(jī)的克服對數(shù)學(xué)開展的推動(dòng)作用，就是歷史的事實(shí)。整理課件一、數(shù)學(xué)第一次危機(jī)公元前5世紀(jì)左右為古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的興盛時(shí)期，他們認(rèn)為“萬物皆數(shù)〞，“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比〞。他們發(fā)現(xiàn)并證明了勾股定理。整理課件約公元前400年一個(gè)希臘人，畢氏學(xué)派的弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了“等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約〞。這個(gè)發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)成為荒唐和違背常識(shí)的事，不僅觸犯了畢氏學(xué)派的信條，而且也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的普遍見解。因此在當(dāng)時(shí)要求人們接受這種“荒唐〞、違背常識(shí)的事實(shí)是多么困難的事啊！于是也看作是一種悖論。這個(gè)事實(shí)以及芝諾疑難就成為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。危機(jī)的消除：整理課件二、數(shù)學(xué)第二次危機(jī)在希臘的后期，除了研究直線、折線的長度、直線形的面積外，還討論過曲線的長度和曲線形的面積問題。經(jīng)過中世紀(jì)和文藝復(fù)興，直到十七、八世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)以下問題需要處理：①路程函數(shù)，求速度以及它的逆問題；②求一曲線的切線；③求一函數(shù)的極值。整理課件在研究上述問題過程中逐步產(chǎn)生了微積分，特別是牛頓和萊布尼茨的功績，使得微積分理論和應(yīng)用得以飛速開展。但是另一方面，微積分理論卻建立在當(dāng)時(shí)還是模糊不清的無窮小概念上。比方牛頓的流數(shù)〔流數(shù)是指流量生成的速度——變化率〕法。在牛頓的流數(shù)法的整個(gè)過程中，人們到底把自變量的增量看作零還是不看作零？怎么能用它去作除法運(yùn)算呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的項(xiàng)去掉呢？所以在牛頓的這個(gè)推導(dǎo)過程中存在著邏輯上的自相矛盾。整理課件這樣由于微積分當(dāng)時(shí)缺乏牢固的理論根底，英國在主教貝克萊便對微積分大肆攻擊：“既不是有限量，也不是無窮小，但又不是無〞、“是消失了的量的鬼魂〞。貝克萊是出于恐懼當(dāng)時(shí)自然科學(xué)開展所造成對宗教信仰的威脅，確也是由于當(dāng)時(shí)的微積分理論缺乏牢固根底，所以當(dāng)時(shí)的微積分遭到攻擊和非難在所難免。歷史上，人們就把微積分自誕生以來數(shù)學(xué)界出現(xiàn)的混亂情形叫做第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，也把貝克萊的攻擊稱為貝克萊悖論。危機(jī)的消除：整理課件三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)①實(shí)數(shù)理論是微積分的理論根底；②實(shí)數(shù)理論是建立在集合論的根底上。③集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論根底。人們對19世紀(jì)末德國數(shù)學(xué)家康托爾提出的集合論深信不疑。在1900年于巴黎召開的國際數(shù)學(xué)會(huì)議上，法國數(shù)學(xué)家龐加萊宣布：“現(xiàn)在，我們能夠說數(shù)學(xué)完全嚴(yán)格性到達(dá)了〞。整理課件可是時(shí)隔三年，