導(dǎo)數(shù)題型五-利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型分類精選題型五利用導(dǎo)數(shù)證明不等式〔學(xué)生用〕不等式的證明問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強(qiáng),多數(shù)學(xué)生不易想到,并且各類不等式的證明沒(méi)有通性通法.隨著新教材中引入導(dǎo)數(shù),這為我們處理不等式的證明問(wèn)題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時(shí)有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對(duì)這一問(wèn)題沒(méi)有展開(kāi)研究,使得學(xué)生對(duì)這一簡(jiǎn)便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡(jiǎn)捷,操作性強(qiáng),易被學(xué)生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的根本思路，并通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡(jiǎn)單的不等式。通過(guò)作輔助函數(shù)并對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)來(lái)證明不等的的方法對(duì)相當(dāng)廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)Ｆ〔x〕=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結(jié)為：Ｆ〔x〕≧0(a≦x≦b),這等價(jià)于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.對(duì)Ｆ〔x〕求導(dǎo)，確定F＇(x)在所考慮的區(qū)間上的符號(hào)，從而確定Ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)〔主要是單調(diào)性〕，如象例３F＇(x)的符號(hào)直接確定不了，這時(shí)一般需計(jì)算Ｆ＇＇〔x〕,直到符號(hào)能夠確定為止．注意：作輔助函數(shù)Ｆ(x)不同，確定F＇(x)符號(hào)難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù)要 不拘一格，可對(duì)原題作適當(dāng)變更．不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來(lái)源對(duì)原不等式的不同 同解變形．一般來(lái)說(shuō):輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:由欲證形式構(gòu)造“形似〞函數(shù)。例如：構(gòu)造出對(duì)含兩個(gè)變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四那么運(yùn)算的形式，再將其中一個(gè)變量改為x，移項(xiàng)使等式一端為0，那么另一端即為所求作的輔助函數(shù)F〔x〕例如：兩邊可取對(duì)數(shù)，變?yōu)榍笞C：令一．構(gòu)造形似函數(shù)型1．對(duì)證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構(gòu)造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數(shù)型并 通過(guò)一階求導(dǎo)到達(dá)證明目的的不等式。例1．求證以下不等式〔1〕〔相減〕〔2〕〔相除兩邊同除以x得〕〔3〕〔4〕：，求證；〔換元：設(shè)〕〔5〕函數(shù)，，證明：穩(wěn)固練習(xí)：1.證明時(shí)，不等式2.，證明：3.時(shí)，求證：綜合應(yīng)用4.例：〔理做〕設(shè)a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx〔x>0〕.〔Ⅰ〕令F〔x〕＝xf＇〔x〕，討論F〔x〕在〔0.＋∞〕內(nèi)的單調(diào)性并求極值；〔Ⅱ〕求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x－2alnx＋1.例2.〔08全國(guó)卷22〕〔本小題總分值14分〕函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解：、〔2023全國(guó)卷Ⅱ理〕(本小題總分值12分)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且〔I〕求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；II〕證明：例：〔1〕：，求證；〔2〕：，求證：。解：(22)(2023山東理科22題本小題總分值13分)函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意.[來(lái)源:解：2023天津理科〔21〕〔本小題總分值14分〕函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．證明當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)；(Ⅲ)如果且證明．解：〔Ⅱ〕證明：〔Ⅲ)證明：〔1〕導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型分類精選題型五利用導(dǎo)數(shù)證明不等式〔教師用〕不等式的證明問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強(qiáng),多數(shù)學(xué)生不易想到,并且各類不等式的證明沒(méi)有通性通法.隨著新教材中引入導(dǎo)數(shù),這為我們處理不等式的證明問(wèn)題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時(shí)有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對(duì)這一問(wèn)題沒(méi)有展開(kāi)研究,使得學(xué)生對(duì)這一簡(jiǎn)便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡(jiǎn)捷,操作性強(qiáng),易被學(xué)生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的根本思路，并通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡(jiǎn)單的不等式?！惨弧常ㄟ^(guò)作輔助函數(shù)并對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)來(lái)證明不等的的方法對(duì)相當(dāng)廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)Ｆ〔x〕=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結(jié)為：Ｆ〔x〕≧0(a≦x≦b),這等價(jià)于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.對(duì)Ｆ〔x〕求導(dǎo)，確定F＇(x)在所考慮的區(qū)間上的符號(hào)，從而確定Ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)〔主要是單調(diào)性〕，如象例３F＇(x)的符號(hào)直接確定不了，這時(shí)一般需計(jì)算Ｆ＇＇〔x〕,直到符號(hào)能夠確定為止．注意：作輔助函數(shù)Ｆ(x)不同，確定F＇(x)符號(hào)難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù)要不拘一格，可對(duì)原題作適當(dāng)變更〔或換元〕．不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來(lái)源對(duì)原不等式的不同同解變形．一般來(lái)說(shuō):輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:由欲證形式構(gòu)造“形似〞函數(shù)；構(gòu)造出對(duì)含兩個(gè)變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四那么運(yùn)算的形式，再將其中一個(gè)變量改為x，移項(xiàng)使等式一端為0，那么另一端即為所求作的輔助函數(shù)F〔x〕例如：兩邊可取對(duì)數(shù)，變?yōu)榍笞C：令一．構(gòu)造形似函數(shù)型1．對(duì)證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構(gòu)造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數(shù)型并 通過(guò)一階求導(dǎo)到達(dá)證明目的的不等式。例1．求證以下不等式〔1〕〔相減〕〔2〕〔相除〕〔3〕〔4〕：，求證；〔換元：設(shè)〕〔5〕函數(shù)，，證明：解：證：設(shè)〔1〕∴為上∴恒成立∴設(shè)∴在上∴恒成立〔2〕〔相除〕解〔2〕原式令∴∴∴在上是減函數(shù)。又∴〔3〕解：〔3〕令∴在上是增函數(shù)?！唷?〕：，求證；〔換元：設(shè)〕解：〔4〕令，由x>0，∴t>1，〔巧點(diǎn)：巧在換元，降低了做題難度〕原不等式等價(jià)于令f(t)=t-1-lnt，∵當(dāng)時(shí)，有，∴函數(shù)f(t)在遞增∴f(t)>f(1) 即t-1<lnt另令，那么有∴g(t)在上遞增，∴g(t)>g(1)=0∴綜上得例5函數(shù)，，證明：證：函數(shù)的定義域?yàn)椋剑?＝－當(dāng)x∈〔－1，0〕時(shí)，＞0，當(dāng)x∈〔0，＋∞〕時(shí)，＜0，因此，當(dāng)時(shí)，≤，即≤0∴．令那么＝．∴當(dāng)x∈〔－1，0〕時(shí)，＜0，當(dāng)x∈〔0，＋∞〕時(shí)，＞0．∴當(dāng)時(shí)，≥，即≥0，∴．綜上可知，當(dāng)時(shí)，有．穩(wěn)固練習(xí)：1.證明時(shí)，不等式2.，證明：3.時(shí)，求證：2．對(duì)證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構(gòu)造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數(shù)，并通過(guò)一階或二階、三階求導(dǎo)到達(dá)證明目的的不等式。例3使用了二階求導(dǎo)的方法判出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性后再去證明不等式，也凸 顯判斷函數(shù)零點(diǎn)的作用。例3.當(dāng)時(shí),證明:證:令,那么, 而 當(dāng)時(shí), 因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出，的圖像可知，∴在上遞減,即,從而在(0,1)遞減∴f(x)<f(0)=0,從而原不等式得證.Ex:證明:當(dāng)時(shí),解:注意x=1時(shí),原不等式〞=〞成立,而設(shè)：F(x)=, 那么F(1)=0 且，∴F(x)=,在上是增函數(shù)。從而根據(jù)F(1)=0推出與同號(hào)，∴方法二 解：欲證當(dāng)時(shí), 即證時(shí), 設(shè)， 即證時(shí)，>0 注意到時(shí)，那么時(shí)，是減函數(shù)是增函數(shù)是減函數(shù)時(shí)是減函數(shù)是增函數(shù)∴時(shí)是增函數(shù)∴時(shí)，∴二．作輔助函數(shù)型：對(duì)含有兩個(gè)變量的不等式，可構(gòu)造出以其中一個(gè)變量為為自變量的 函數(shù)，再采用上述方法證明不等式。使使用用了使用例2.：a、b為實(shí)數(shù)，且b＞a＞e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：ab＞ba.證法一：∵b＞a＞e,∴要證ab＞ba,只要證blna＞alnb,設(shè)f(x)=xlna－alnx(x＞e),那么f′(x)=lna－.∵x＞a＞e,∴l(xiāng)na＞1,且＜1,∴f′(x)＞0.∴函數(shù)f(x)=xlna－alnx在(e,+∞)上是增函數(shù)，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.證法二：要證ab＞ba,只要證blna＞alnb(e＜a＜b,即證,設(shè)f(x)=(x＞e)，那么f′(x)=＜0,∴函數(shù)f(x)在(e,+∞)上是減函數(shù)，又∵e＜a＜b,∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.Ex:假設(shè),證明:解：要證：,需證：,設(shè)，那么需證因?yàn)椤邥r(shí)，?！嘣谏显谏鲜窃龊瘮?shù)∴∴在上成立練習(xí)證明(1)(2)思考：(3),證明,并指出〞=〞成立的條件綜合運(yùn)用典例精講例1.〔理做〕設(shè)a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx〔x>0〕.〔Ⅰ〕令F〔x〕＝xf＇〔x〕，討論F〔x〕在〔0.＋∞〕內(nèi)的單調(diào)性并求極值；〔Ⅱ〕求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x－2alnx＋1.解：〔Ⅰ〕根據(jù)求導(dǎo)法那么有， 故，于是， 列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．〔Ⅱ〕證明：由知，的極小值．于是由上表知，對(duì)一切，恒有．從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)時(shí)，，即．(利用單調(diào)性證明不等式〕故當(dāng)時(shí)，恒有．例2.〔08全國(guó)卷22〕〔本小題總分值14分〕函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(-1,∞),，令，解得：x=0，當(dāng)-1<x<0時(shí),,在〔-1，0〕上是增函數(shù)當(dāng)x>0時(shí),，在〔0，+∞〕上是減函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值，f(x)≤f(0)又f(0)=0，f(x)最大值是0(II)證法一：〔綜合法〕由(I)的結(jié)論知，由題設(shè)0<a<b,得a-b<0,因此，所以又〔這一隱性條件的挖掘很重要，一是看學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力，二是看學(xué)生的分析能力，據(jù)需取舍?！?1)(使用了放縮法，放縮的目的要明確。)綜上(II)證法二：作輔助函數(shù)法(構(gòu)造新函數(shù)法)：解：∵，那么，又設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2. 構(gòu)造輔助函數(shù)：設(shè)，那么，當(dāng)0<x<a時(shí)，因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù)當(dāng)x>a時(shí)，因此F(x)在(a,+∞)上為增函數(shù)從而，當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)(x)有極小值F(a)因?yàn)镕(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即設(shè),那么當(dāng)x>0時(shí),,因此G(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，因?yàn)镚(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即例3.〔2023全國(guó)卷Ⅱ理〕(本小題總分值12分)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且〔I〕求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；〔II〕證明：解:〔I〕令，其對(duì)稱軸為。由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得x⑴當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；x⑵當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；o-1x⑶當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；o-1x〔II〕由〔I〕，〔學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是考試的區(qū)分點(diǎn)〕y設(shè)，那么⑴當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；⑵當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減。故．例4.〔1〕：，求證；〔2〕：，求證：。解：〔1〕令，由x>0，∴t>1，〔巧點(diǎn)：巧在換元，降低了做題難度〕原不等式等價(jià)于令f(t)=t-1-lnt，∵當(dāng)時(shí)，有，∴函數(shù)f(t)在遞增∴f(t)>f(1) 即t-1<lnt另令，那么有∴g(t)在上遞增，∴g(t)>g(1)=0∴綜上得〔2〕由〔1〕令x=1,2,……(n-1)并相加得…即：高考新動(dòng)態(tài)例1.(2023山東理科22題本小題總分值13分)函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意 .[來(lái)源:解：(I)，由，，∴.(II)由(I)知，.設(shè)，那么，即在上是減函數(shù)，由知，當(dāng)時(shí)，從而，當(dāng)時(shí)，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知，當(dāng)時(shí)，≤0＜1+，故只需證明在時(shí)成立.當(dāng)時(shí)，＞1，且，∴.設(shè)，，那么，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以.綜上，對(duì)任意，.例2.〔2023天津理科21題，本小題總分值14分〕函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．證明當(dāng)x>1時(shí)， f(x)>g(x)；(Ⅲ)如果且證明．〔21〕本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利