力學競賽之拉格朗日方程

第一章

分析力學基礎18世紀提出了處理多個約束的剛體系統動力學問題。利用矢量力學分析出現以下問題：對于復雜約束系統約束力的性質和分布是未知的；表述形式復雜。如球坐標系下的運動方程。質點系問題為大量方程的微分方程組。1788年拉格朗日發(fā)表了《分析力學》一書，提出了解決動力學問題的新觀點和新方法：采用功和能量來描述物體的運動和相互作用力之間的關系。與矢量力學相比，分析力學的特點：（3）追求一般理論和一般模型，對于具體問題，只要代入和展開的工作，處理問題規(guī)范化。（1）把約束看成對系統位置（速度）的限定，而不是看成一種力。（2）使用廣義坐標、功、能等標量研究系統運動，大量使用數學分析方法，得到標量方程。（4）不僅研究獲得運動微分方程的方法，也研究其求解的一般方法。在完整約束的條件下，確定質點系位置的獨立參數的數目，稱為質點系的自由度數，簡稱自由度?！?－1自由度和廣義坐標例：確定一個質點在空間的位置需3個獨立的參量自由質點為3個自由度。例：質點M被限定只能在球面的上半部分運動由此解出這樣該質點在空間中的位置就由x,y這兩個獨立參數所確定它的自由度數為2。n個質點組成的質點系，若受到s個完整約束作用自由度數為

N=3n-s描述質點系在空間中的位置的獨立參數稱為廣義坐標。對于完整約束廣義坐標的數目＝系統的自由度數思考：非完整約束，廣義坐標數目和系統的自由度數目的關系？拉格朗日廣義坐標約束方程為系統N個獨立的坐標參量表示為系統的n個坐標參量

設由n個質點組成的系統受s個完整雙側約束

其中為廣義坐標的變分稱為廣義虛位移。例：一單擺在空間擺動，擺長為l。約束方程為自由度數為2。x，y為獨立變量

（單擺在xy面上的投影與x軸夾角）為獨立變量。

思考：導彈在追蹤飛機的情況下，廣義坐標的數目和自由度數目的關系如何？描述導彈的位置：質心的位置導彈的縱軸和x軸的夾角獨立的廣義坐標數目為3約束方程導彈的速度方向要對準飛機的質心－－非完整約束獨立的虛位移數目＝自由度數目＝2設作用在第i個質點上的主動力的合力

在三個坐標軸上的投影分別為

虛功方程§1－2以廣義坐標表示的質點系平衡條件1.以廣義坐標表示的質點系平衡條件稱為與廣義坐標相對應的廣義力。由于廣義坐標的獨立性可以為任一值如令質點系的平衡條件是系統所有的廣義力都等于零?！脧V義坐標表示的質點系的平衡條件求廣義力的兩種方法1.直接計算法（解析法）2.幾何法令某一個不等于零

而其他N-1個廣義虛位移都等于零

利用廣義虛位移的任意性，例1－1已知：桿OA和AB以鉸鏈相連，

O端懸掛于圓柱鉸鏈上，桿長OA=aAB=b，桿重和鉸鏈的摩擦都忽略不計。今在點A和B分別作用向下的鉛錘力和又在點B作用一水平力試求：平衡時

與，，之間的關系。

系統有兩個自由度?，F選擇和為系統的兩個廣義坐標

計算其對應的廣義力和用第一種方法計算廣義力：解：故系統平衡時應有用第二種方法計算：保持不變，

只有

時則對應于的廣義力為

可得一組虛位移保持不變，只有時可得另一組虛位移對應于的廣義力例1－2已知：重物A和B分別連接在細繩兩端，重物A放置在粗糙的水平面上。重物B繞過定滑輪E鉛直懸掛。在動滑輪H的軸心上掛一重物C。設重物A重量為重物B重量為，不計動滑輪H的重量。試求：平衡時重物C的重量

；以及重物A與水平面間的靜滑動摩擦因數。

系統具有兩個自由度。廣義坐標：首先令向右，主動力所做虛功的和為對應廣義坐標的廣義力為

解：因為系統平衡時應有因此平衡時,要求物塊與臺面間靜摩擦因數再令向下，

2.以廣義坐標表示的保守系統的平衡條件及系統的穩(wěn)定性如果作用在質點系上的主動力都是有勢力，勢能為各力的投影為虛功為虛位移原理的表達式成為

在勢力場中，具有理想約束的質點系的平衡條件為質點系的勢能在平衡位置處一階變分為零。如果用廣義坐標表示質點系的位置。則質點系的勢能可以寫成廣義坐標的函數由廣義坐標表示的平衡條件可寫成如下形式

在勢力場中具有理想約束的質點系的平衡條件是勢能對于每個廣義坐標的偏導數分別等于零。不穩(wěn)定平衡：在平衡位置上系統勢能具有極大值。隨遇平衡：系統在某位置附近其勢能是不變的。穩(wěn)定平衡：在平衡位置處系統勢能具有極小值。對于一個自由度系統，系統具有一個廣義坐標q，因此系統勢能可以表示為q的一元函數即當系統平衡時，在平衡位置處有如果系統處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處系統勢能具有極小值。即系統勢能對廣義坐標的二階導數大于零——一個自由度系統平衡的穩(wěn)定性判據例1－3已知：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長度為l，在擺桿上的點A連有一剛度為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時彈簧未變形。設OA=a擺桿重量不計。試求：擺桿的平衡位置及穩(wěn)定平衡時所應滿足的條件。解：該系統是一個自由度系統，選擇擺角為廣義坐標。擺的鉛直位置為擺錘重力勢能和彈簧彈性勢能的零點。系統的總勢能為由有由得到系統的平衡位置為對于穩(wěn)定平衡要求即§1－3動力學普遍方程n個質點組成的系統第i個質點,，，，。慣性力為理想約束作用在理想約束的條件下，質點系在任一瞬時所受的主動力系和虛加的慣性力系在虛位移上所作的功的和等于零。

寫成解析表達式——動力學普遍方程特別適合于求解非自由質點系的動力學問題。例1－4已知：滑輪系統中，動滑輪上懸掛著質量為的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛著質量為的重物。設滑輪和繩子的重量以及輪軸摩擦都忽略不計。求：質量為的物體下降的加速度。解：取整個滑輪系統為研究對象。由動力學普遍方程例1－5已知：兩相同均質圓輪半徑皆為R，質量皆為m。求：當細繩直線部分為鉛垂時，輪II中心C的加速度。解：研究整個系統。此系統具有兩個自由度取轉角為廣義坐標令則點C下降動力學普遍方程（a）令則代入動力學普遍方程或（b）運動學關系（c）聯立式（a）（b）（c）解出§1－4第二類拉格朗日方程

設由n質點組成的系統受s個完整約束作用，系統具有N=3n-s個自由度。設為系統的一組廣義坐標對于完整約束系統，其廣義坐標是相互獨立的。故是任意的，為使上式恒成立，必須有廣義慣性力上式不便于直接應用，為此可作如下變換：（1）證明：注意

和

只是廣義坐標和時間的函數（2）證明：對時間求微分而若函數的一階和二階偏導數連續(xù)得到——第二類拉格朗日方程拉格朗日方程方程式的數目等于質點系的自由度數。如果作用在質點系上的主動力都是有勢力（保守力）于是拉格朗日方程可以寫成引入拉格朗日函數（又稱為動勢）則拉格朗日方程又可以寫成例1－6已知：輪A沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯于墻上。A，B兩輪皆為均質圓盤，質量為的物塊C以細繩跨過定滑輪B聯于點A，半徑為R，質量為，彈簧剛度為k，質量不計。試求：當彈簧較軟，在細繩能始終保持張緊的條件下，此系統的運動微分方程。解：此系統具有一個自由度，以物塊平衡位置為原點。取x為廣義坐標。以平衡位置為重力零勢能點。取彈簧原長處為彈性力零勢能點。系統在任意位置x處的勢能為其中為平衡位置處彈簧的伸長量此系統的動能為系統的動勢為代入拉格朗日方程得注意到則系統的運動微分方程為例1－7試求：此系統的運動微分方程。已知：運動系統中，，可沿光滑，兩個物體重物的質量為擺錘的質量為水平面移動。用無重桿連接，桿長為l。解：選和為廣義坐標（a）將式（a）兩端對時間求導數（b）系統的動能則系統的勢能為選質點在最低處時的位置為系統的零勢能位置